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河北省张家口市桥东区2025--2026学年上学期九年级数学期末考试试卷
1．（2026九上·桥东期末）下列各图中，物体的影子不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为太阳光是一束平行光线，因此，选项B是错误的.
故答案为：B.
【分析】 因为太阳光是一束平行光线，因此，选项B是错误的.
2．（2026九上·桥东期末）从正方体毛坯的一角，挖去一个小正方体，得到一个如图所示的零件，则下列不属于这个零件三视图的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察可知，A是主视图，B是左视图，C是俯视图，只有D不是其三视图．
故答案为：D．
【分析】根据主视图，左视图，俯视图的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
3．（2026九上·桥东期末）如图，在中，，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴，，，；
故答案为：C．
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，进而根据三角函数的定义，逐项进行计算，即可得出答案。
4．（2026九上·桥东期末）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下：
由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种，
则配得紫色的概率是，
故选：D．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一个为红色，一个为蓝色的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．（2026九上·桥东期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（　　）．
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为，
由题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条等宽，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
在直角中，．
故答案为：A．
【分析】首先连接和，设交点为。然后作垂线于，以及于。根据题意分析，四边形是一个平行四边形。进而根据两张纸条宽度相等，根据平行四边形的面积计算公式，可得出，即可得出四边形是菱形，进而根据菱形的性质可得出，，，再根据勾股定理即可得出AB的长。
6．（2026九上·桥东期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
故选：D
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等可得∠AOB，再根据正多边形性质即可求出答案.
7．（2026九上·桥东期末）已知点在第四象限，若，分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，
A.，，故A不符合题意；
B.，，故B符合题意；
C.，，故C不符合题意；
D.，，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据第四象限内点的坐标特征可得，再根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
8．（2026九上·桥东期末）对于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．顶点坐标为
C．有最小值3
D．向右平移2个单位后的解析式为
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴函数有最小值为3，
当抛物线向右平移2个单位时，新的抛物线的解析式为；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数二次项的系数为1＞0，可得出A不正确；根据顶点式可得出顶点坐标为（-1，3），最小值为3，可得出B不正确；C正确；再根据平移规律可得出D不正确，即可得出答案。
9．（2026九上·桥东期末）一篇文章，嘉淇输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，嘉淇原来20分钟输入完成，改变输入方法后，嘉淇每分钟输入100个字，则改变输入方法后（　　）
A．提前了5分钟 B．提前了10分钟
C．提前了15分钟 D．落后了5分钟
【答案】A
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，把代入得，，
∴，
∴y与x的函数表达式为，
将代入得，，
（分钟），
∴改变输入方法后提前了5分钟．
故答案为：A．
【分析】设，根据，利用待定系数法即可得出y与x的函数表达式为，进而求出当x=100时的函数值，即可得出改变输入方法后所用的时间，进而即可得出答案。
10．（2026九上·桥东期末）如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为，直角边，则这个正方形木板的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵直角三角形木板的面积为，直角边，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
设正方形的边长为，则：，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
故答案为：A．
【分析】首先根据三角形的面积计算公式求得，进而设正方形的边长为，根据，可得出，可得出，即，求解即可。
11．（2026九上·桥东期末）如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，，
在中，则勾股定理可得，
由可知，
，
连接交于，如图所示：
由矩形性质可知，则是等边三角形，
，
要打掉墙体的面积是：，
故答案为：B．
【分析】首先根据勾股定理求得，再解直角三角形可得出，进而得出，根据矩形的性质可得出是等边三角形，进而得出，进一步即可得出要打掉墙体的面积是：。
12．（2026九上·桥东期末）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，．
∵，
∴点Q在以为直径的上，
∴当三点共线时，取得最小值，如图，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据矩形性质可得，，，则点Q在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，由题意可得，，根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2026九上·桥东期末）若是一元二次方程的解，则m的值　 　.
【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由条件可得1-m+3=0，
解得m=4，
故答案为：4.
【分析】把x=1代入方程 即可求解.
14．（2026九上·桥东期末）在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则　 　0．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解∵正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，
∴、异号，
∴．
故答案为：．
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象没有公共点，可得出、异号，根据有理数乘法法则，即可得出。
15．（2026九上·桥东期末）如图，在中，，点I是内心，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点I是的内心，
∴、分别平分、，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】首先点I是的内心，，，再根据三角形内角和定理可得出进而得出，再根据三角形内角和定理即可得出58°=122°。
16．（2026九上·桥东期末）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为　 　．
【答案】2或4
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：联立，得：，
∵抛物线a和线段b有两个交点，
∴，
解得：．
当时，．
将代入抛物线解析式得：，
．
同理，当时，，
∴．
∵m为整数，
∴m的值为2或3或4．
当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求；
当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求；
当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求．
∴m的值为2或4．
故答案为：2或4
【分析】题目给出抛物线a与线段b有两个交点，需要确定参数m的取值范围。解题步骤如下：将和分别代入抛物线方程，求出对应的y值；根据交点条件，得到m的范围满足；由于m为整数，可能的取值为2，3或4，因为 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 即可 m的值为2或4．
17．（2026九上·桥东期末）计算：
【答案】解：原式．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先将 的三角函数值代入原式，然后进行二次根式的混合运算即可。
18．（2026九上·桥东期末）经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法．
（1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是___________；
（2）求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率．
【答案】（1）
（2）列表或画树状图正确
直行 左拐 右拐
直行 （直行，直行） （直行，左拐） （直行，右拐）
左拐 （左拐，直行） （左拐，左拐） （左拐，右拐）
右拐 （右拐，直行） （右拐，左拐） （右拐，右拐）
一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，
两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的有2钟结果：（左拐，直行），（直行，左拐）
两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是；
故答案为：．
【分析】（1）总共有三种可能的结果，其中左拐的结果有一种，根据概率计算公式，即可得出答案；
（2首先利用列表发进行分析，可得出一共有9种等可能的结果，其中 一人直行，另一人左拐 的有2钟结果，进而根据概率计算公式即可得出两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是．
（1）解：小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是；
故答案为：．
（2）列表或画树状图正确
　 直行 左拐 右拐
直行 （直行，直行） （直行，左拐） （直行，右拐）
左拐 （左拐，直行） （左拐，左拐） （左拐，右拐）
右拐 （右拐，直行） （右拐，左拐） （右拐，右拐）
一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，
两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的有2钟结果：（左拐，直行），（直行，左拐）
两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是．
19．（2026九上·桥东期末）如图，D，E分别是的边，上的点，，，且．
（1）求证：；
（2）若的面积为8，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）首先通过计算可得出，再结合公共角，根据SAS即可判定；（2）根据相似三角形的性质可得出，进而可得出．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
20．（2026九上·桥东期末）一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮．
（1）用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹）
（2）求车轮的半径是多少？
【答案】（1）解：如图，点即为所求的圆心；
（2）解：如图，连接，，设车轮的半径为，
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，
答：车轮的半径是．
【知识点】垂径定理；确定圆的条件；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）要确定车轮的圆心O，首先连接点A到点G的线段AG和点B到点G的线段BG。然后分别作出AG和BG的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为圆心O的位置。
（2）连接OG和OB，设车轮的半径为，根据题意可得OH的长度为。根据垂径定理，可以得出BH的长度为AB的一半，即。最后，在直角三角形OBH中，利用勾股定理建立方程，解出半径r的值。
（1）解：如图，点即为所求的圆心；
（2）解：如图，连接，，设车轮的半径为，
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，
答：车轮的半径是．
21．（2026九上·桥东期末）高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．
（1）图（2）中， ．
（2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（3）杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）：
① ；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，）
【答案】（1）126
（2）解：①54
②如图，过点E作的垂线，交于点F，
在直角中，，
∴，
∵，
∴乘客水杯的最大高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，作，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）可知，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）首先作辅助线。根据题目条件可知，因此可以得出。再利用平行线性质，就能计算出的角度；
（2）①根据第（1）问结果，已知，利用平角性质即可求出的度数。②解题时需要在点E处作的垂线，与相交于点F。根据正切函数定义，可以得到。最后加上凹槽本身的高度，就能得出乘客水杯的最大允许高度。
（1）解：如图，作，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：①由（1）可知，，
∴，
故答案为：；
②如图，过点E作的垂线，交于点F，
在直角中，，
∴，
∵，
∴乘客水杯的最大高度为．
22．（2026九上·桥东期末）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求与线段的长度，并比较二者的大小．
【答案】（1）解：，理由如下：
如图，连接，
是的切线，
，即．
点是的中点，
，
，
，即；
（2）解：，，
∴，
，
的长，
，
，
，
，
，
，
∴的长，
综上，的长，，的长．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；弧长及其计算；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）首先连接。由于是圆的切线，根据切线性质可得。又因为点是弧的中点，根据圆周角定理可以推导出，从而得出的结论，再利用平行线的性质即可完成证明。（2）由已知条件可推出。先计算弧的长度。根据（1）中的结论，可得，因此得出。最后通过勾股定理求出的长度并进行比较即可得到最终结果。
（1）解：，理由如下：
如图，连接，
是的切线，
，即．
点是的中点，
，
，
，即；
（2）解：，，
∴，
，
的长，
，
，
，
，
，
，
∴的长，
综上，的长，，的长．
23．（2026九上·桥东期末）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 33 0
根据以上数据，解决下列问题：
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）．
【答案】（1）230，45
（2）解：设，
把代入中得，解得，
∴满足条件的函数表达式为；

（3）能
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是；
∵当和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴当时的函数值与当的函数值相同，
∴；
（3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上．
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出答案.
（2）设，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移可得当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，再将y=0代入解析式，求出x值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是；
∵当和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴当时的函数值与当的函数值相同，
∴；
（2）解：设，
把代入中得，解得，
∴满足条件的函数表达式为；
（3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上．
24．（2026九上·桥东期末）四边形中，，，，，．点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，设．
（1）的最小值为________，此时________；
（2）在点随点运动的过程中，
①若点恰好落在边上，如图2，求的值；
②连接，若，如图3，求的值；
（3）当点Q到的距离为1时，直接写出的值．
【答案】（1）6；2
（2）解：①当点恰好落在边上时，过点作于点，如图2，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，此时，，
∴，
∴，即的值为4；
②过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图3，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）当点Q到的距离为1时，的值为或．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；求正切值
【解析】【解答】解：根据题意，当时，取最小值，如图，
∵，，，
∴，
当时，则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴的最小值是6．
故答案为：6；2；
（3）当点Q在的上方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
当点Q在的下方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
综上可知，当点Q到的距离为1时，的值为或．
【分析】（1）当时，取得最小值。此时可通过证明四边形为矩形，得出PC=AD=8，进而得出BP=2，即x=2，然后在中，根据勾股定理即可得出；
（2）①当点恰好落在边上时，需要过点作于点。通过证明，利用全等性质得出，进而得到，从而求解；
②过点作于点，过点作于点。易证，得出，。再证明，利用相似性质解得；
（3）需要分两种情况讨论：当点Q在的上方时，；以及当点Q在的下方时，。
（1）解：根据题意，当时，取最小值，如图，
∵，，，
∴，
当时，则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴的最小值是6．
故答案为：6；2；
（2）解：①当点恰好落在边上时，过点作于点，如图2，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，此时，，
∴，
∴，即的值为4；
②过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图3，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）当点Q在的上方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
当点Q在的下方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
综上可知，当点Q到的距离为1时，的值为或．
1 / 1河北省张家口市桥东区2025--2026学年上学期九年级数学期末考试试卷
1．（2026九上·桥东期末）下列各图中，物体的影子不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九上·桥东期末）从正方体毛坯的一角，挖去一个小正方体，得到一个如图所示的零件，则下列不属于这个零件三视图的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·桥东期末）如图，在中，，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·桥东期末）用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·桥东期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（　　）．
A． B．3 C． D．4
6．（2026九上·桥东期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2026九上·桥东期末）已知点在第四象限，若，分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026九上·桥东期末）对于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．顶点坐标为
C．有最小值3
D．向右平移2个单位后的解析式为
9．（2026九上·桥东期末）一篇文章，嘉淇输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，嘉淇原来20分钟输入完成，改变输入方法后，嘉淇每分钟输入100个字，则改变输入方法后（　　）
A．提前了5分钟 B．提前了10分钟
C．提前了15分钟 D．落后了5分钟
10．（2026九上·桥东期末）如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为，直角边，则这个正方形木板的边长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2026九上·桥东期末）如图，花园边墙上有一宽为的矩形门，量得门框对角线的长为，现准备打掉部分墙体，使其变成以为直径的圆弧形拱门，那么需要打掉墙体的面积是（　　）
A． B． C． D．
12．（2026九上·桥东期末）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（2026九上·桥东期末）若是一元二次方程的解，则m的值　 　.
14．（2026九上·桥东期末）在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则　 　0．
15．（2026九上·桥东期末）如图，在中，，点I是内心，则　 　．
16．（2026九上·桥东期末）如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为　 　．
17．（2026九上·桥东期末）计算：
18．（2026九上·桥东期末）经过校园某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有小刚和小军两人经过该路口，请用列表法或画树状图法．
（1）小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是___________；
（2）求两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率．
19．（2026九上·桥东期末）如图，D，E分别是的边，上的点，，，且．
（1）求证：；
（2）若的面积为8，求的面积．
20．（2026九上·桥东期末）一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮．
（1）用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹）
（2）求车轮的半径是多少？
21．（2026九上·桥东期末）高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．
（1）图（2）中， ．
（2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（3）杯托E处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）：
① ；
②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，）
22．（2026九上·桥东期末）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求与线段的长度，并比较二者的大小．
23．（2026九上·桥东期末）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 33 0
根据以上数据，解决下列问题：
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）．
24．（2026九上·桥东期末）四边形中，，，，，．点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，设．
（1）的最小值为________，此时________；
（2）在点随点运动的过程中，
①若点恰好落在边上，如图2，求的值；
②连接，若，如图3，求的值；
（3）当点Q到的距离为1时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为太阳光是一束平行光线，因此，选项B是错误的.
故答案为：B.
【分析】 因为太阳光是一束平行光线，因此，选项B是错误的.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察可知，A是主视图，B是左视图，C是俯视图，只有D不是其三视图．
故答案为：D．
【分析】根据主视图，左视图，俯视图的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
∴，，，；
故答案为：C．
【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，进而根据三角函数的定义，逐项进行计算，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下：
由此可知，两个转盘转动时的所有可能结果共有6种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，一个为红色，一个为蓝色的结果只有1种，
则配得紫色的概率是，
故选：D．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一个为红色，一个为蓝色的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为，
由题意可知，，，
∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条等宽，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
在直角中，．
故答案为：A．
【分析】首先连接和，设交点为。然后作垂线于，以及于。根据题意分析，四边形是一个平行四边形。进而根据两张纸条宽度相等，根据平行四边形的面积计算公式，可得出，即可得出四边形是菱形，进而根据菱形的性质可得出，，，再根据勾股定理即可得出AB的长。
6．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
故选：D
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等可得∠AOB，再根据正多边形性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第四象限，
，
A.，，故A不符合题意；
B.，，故B符合题意；
C.，，故C不符合题意；
D.，，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据第四象限内点的坐标特征可得，再根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴函数有最小值为3，
当抛物线向右平移2个单位时，新的抛物线的解析式为；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数二次项的系数为1＞0，可得出A不正确；根据顶点式可得出顶点坐标为（-1，3），最小值为3，可得出B不正确；C正确；再根据平移规律可得出D不正确，即可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，把代入得，，
∴，
∴y与x的函数表达式为，
将代入得，，
（分钟），
∴改变输入方法后提前了5分钟．
故答案为：A．
【分析】设，根据，利用待定系数法即可得出y与x的函数表达式为，进而求出当x=100时的函数值，即可得出改变输入方法后所用的时间，进而即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵直角三角形木板的面积为，直角边，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
设正方形的边长为，则：，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
故答案为：A．
【分析】首先根据三角形的面积计算公式求得，进而设正方形的边长为，根据，可得出，可得出，即，求解即可。
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，，
在中，则勾股定理可得，
由可知，
，
连接交于，如图所示：
由矩形性质可知，则是等边三角形，
，
要打掉墙体的面积是：，
故答案为：B．
【分析】首先根据勾股定理求得，再解直角三角形可得出，进而得出，根据矩形的性质可得出是等边三角形，进而得出，进一步即可得出要打掉墙体的面积是：。
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，．
∵，
∴点Q在以为直径的上，
∴当三点共线时，取得最小值，如图，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据矩形性质可得，，，则点Q在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，由题意可得，，根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：由条件可得1-m+3=0，
解得m=4，
故答案为：4.
【分析】把x=1代入方程 即可求解.
14．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解∵正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，
∴、异号，
∴．
故答案为：．
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象没有公共点，可得出、异号，根据有理数乘法法则，即可得出。
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点I是的内心，
∴、分别平分、，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】首先点I是的内心，，，再根据三角形内角和定理可得出进而得出，再根据三角形内角和定理即可得出58°=122°。
16．【答案】2或4
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：联立，得：，
∵抛物线a和线段b有两个交点，
∴，
解得：．
当时，．
将代入抛物线解析式得：，
．
同理，当时，，
∴．
∵m为整数，
∴m的值为2或3或4．
当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求；
当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求；
当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求．
∴m的值为2或4．
故答案为：2或4
【分析】题目给出抛物线a与线段b有两个交点，需要确定参数m的取值范围。解题步骤如下：将和分别代入抛物线方程，求出对应的y值；根据交点条件，得到m的范围满足；由于m为整数，可能的取值为2，3或4，因为 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 即可 m的值为2或4．
17．【答案】解：原式．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先将 的三角函数值代入原式，然后进行二次根式的混合运算即可。
18．【答案】（1）
（2）列表或画树状图正确
直行 左拐 右拐
直行 （直行，直行） （直行，左拐） （直行，右拐）
左拐 （左拐，直行） （左拐，左拐） （左拐，右拐）
右拐 （右拐，直行） （右拐，左拐） （右拐，右拐）
一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，
两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的有2钟结果：（左拐，直行），（直行，左拐）
两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是；
故答案为：．
【分析】（1）总共有三种可能的结果，其中左拐的结果有一种，根据概率计算公式，即可得出答案；
（2首先利用列表发进行分析，可得出一共有9种等可能的结果，其中 一人直行，另一人左拐 的有2钟结果，进而根据概率计算公式即可得出两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是．
（1）解：小刚从这三种情况中任选一个可能左拐的概率是；
故答案为：．
（2）列表或画树状图正确
　 直行 左拐 右拐
直行 （直行，直行） （直行，左拐） （直行，右拐）
左拐 （左拐，直行） （左拐，左拐） （左拐，右拐）
右拐 （右拐，直行） （右拐，左拐） （右拐，右拐）
一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，
两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的有2钟结果：（左拐，直行），（直行，左拐）
两人之中恰好有一人直行，另一人左拐的概率是．
19．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）首先通过计算可得出，再结合公共角，根据SAS即可判定；（2）根据相似三角形的性质可得出，进而可得出．
（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：如图，点即为所求的圆心；
（2）解：如图，连接，，设车轮的半径为，
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，
答：车轮的半径是．
【知识点】垂径定理；确定圆的条件；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）要确定车轮的圆心O，首先连接点A到点G的线段AG和点B到点G的线段BG。然后分别作出AG和BG的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点即为圆心O的位置。
（2）连接OG和OB，设车轮的半径为，根据题意可得OH的长度为。根据垂径定理，可以得出BH的长度为AB的一半，即。最后，在直角三角形OBH中，利用勾股定理建立方程，解出半径r的值。
（1）解：如图，点即为所求的圆心；
（2）解：如图，连接，，设车轮的半径为，
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，
答：车轮的半径是．
21．【答案】（1）126
（2）解：①54
②如图，过点E作的垂线，交于点F，
在直角中，，
∴，
∵，
∴乘客水杯的最大高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，作，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）可知，，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）首先作辅助线。根据题目条件可知，因此可以得出。再利用平行线性质，就能计算出的角度；
（2）①根据第（1）问结果，已知，利用平角性质即可求出的度数。②解题时需要在点E处作的垂线，与相交于点F。根据正切函数定义，可以得到。最后加上凹槽本身的高度，就能得出乘客水杯的最大允许高度。
（1）解：如图，作，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：①由（1）可知，，
∴，
故答案为：；
②如图，过点E作的垂线，交于点F，
在直角中，，
∴，
∵，
∴乘客水杯的最大高度为．
22．【答案】（1）解：，理由如下：
如图，连接，
是的切线，
，即．
点是的中点，
，
，
，即；
（2）解：，，
∴，
，
的长，
，
，
，
，
，
，
∴的长，
综上，的长，，的长．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；弧长及其计算；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）首先连接。由于是圆的切线，根据切线性质可得。又因为点是弧的中点，根据圆周角定理可以推导出，从而得出的结论，再利用平行线的性质即可完成证明。（2）由已知条件可推出。先计算弧的长度。根据（1）中的结论，可得，因此得出。最后通过勾股定理求出的长度并进行比较即可得到最终结果。
（1）解：，理由如下：
如图，连接，
是的切线，
，即．
点是的中点，
，
，
，即；
（2）解：，，
∴，
，
的长，
，
，
，
，
，
，
∴的长，
综上，的长，，的长．
23．【答案】（1）230，45
（2）解：设，
把代入中得，解得，
∴满足条件的函数表达式为；

（3）能
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是；
∵当和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴当时的函数值与当的函数值相同，
∴；
（3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上．
【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出答案.
（2）设，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移可得当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，再将y=0代入解析式，求出x值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是；
∵当和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∴当时的函数值与当的函数值相同，
∴；
（2）解：设，
把代入中得，解得，
∴满足条件的函数表达式为；
（3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上．
24．【答案】（1）6；2
（2）解：①当点恰好落在边上时，过点作于点，如图2，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，此时，，
∴，
∴，即的值为4；
②过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图3，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）当点Q到的距离为1时，的值为或．
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的判定与性质；求正切值
【解析】【解答】解：根据题意，当时，取最小值，如图，
∵，，，
∴，
当时，则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴的最小值是6．
故答案为：6；2；
（3）当点Q在的上方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
当点Q在的下方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
综上可知，当点Q到的距离为1时，的值为或．
【分析】（1）当时，取得最小值。此时可通过证明四边形为矩形，得出PC=AD=8，进而得出BP=2，即x=2，然后在中，根据勾股定理即可得出；
（2）①当点恰好落在边上时，需要过点作于点。通过证明，利用全等性质得出，进而得到，从而求解；
②过点作于点，过点作于点。易证，得出，。再证明，利用相似性质解得；
（3）需要分两种情况讨论：当点Q在的上方时，；以及当点Q在的下方时，。
（1）解：根据题意，当时，取最小值，如图，
∵，，，
∴，
当时，则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴的最小值是6．
故答案为：6；2；
（2）解：①当点恰好落在边上时，过点作于点，如图2，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由（1）可知，此时，，
∴，
∴，即的值为4；
②过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图3，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）当点Q在的上方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
当点Q在的下方时，作于点H，作于点E，作于点F，则，
同（2）①可证，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
综上可知，当点Q到的距离为1时，的值为或．
1 / 1

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