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7.1.2 两条直线垂直 跟踪练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，则与相等的角为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．如图，三角形中，，垂足为点P，则的长可能是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
7．如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（ ）
A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短
C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离
8．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是 （ ）
A．4cm2 B．8cm2
C．12cm2 D．16cm2
二、填空题
9．如图，点O是直线上一点，射线在同侧，且，若，则的度数为_____．
10．如图，，点B、O、D在同一直线上，则_______．
11．下列语句：
①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直；
②一条直线的垂线有无数条；
③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直；
其中正确的是__________．
12．如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为______，点到直线的距离为______，点到直线的距离为______．
13．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③∠BOC+∠AOD=180°；④∠AOC﹣∠COD=∠BOC中，正确的有________（填序号）．
14．如图，点为直线上一点，，、分别是和的平分线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有____________．
三、解答题
15．如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
16．如图，直线与相交于点O，平分．

(1)当时，求的度数；
(2)若，，求的度数．
17．已知：O是直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若．则 ________°．
(2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)；
(3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D C A B B
1．B
【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据垂线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据对顶角相等，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查余角和补角，由垂直的定义得出，即，根据余角的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查垂直的定义，角的和差运算，根据垂直的定义可得，再根据即可求解．
【详解】解：，，
，
又，
，
故选B．
4．D
【分析】本题主要考查尺规作垂直，根据垂线的性质，直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：过直线外一点向直线作垂线，则过点的垂线垂直于直线，交点处所成角度为，
∴运用直角尺操作正确的是D选项，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．
故选C．
6．A
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即：；
∴的长可能是6；
故选A．
7．B
【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意；
C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
8．B
【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
【详解】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．
9．/52度
【分析】本题考查了角的计算，准确识图是解题的关键．由可知，再根据平角等于列式计算即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
10．102
【分析】本题考查了垂直的定义，求一个角的余角、补角，数形结合是解题的关键．根据垂直的定义可求得，进而即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：102．
11．①②
【分析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断．
【详解】解：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直，正确；
②一条直线的垂线有无数条，正确，过任意一点都可以作；
对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点无数条直线与已知直线垂直，当这点在直线外时，过这点也有无数条直线与已知直线垂直，故③错误；
④错误，必须是两个邻角相等，如下图：
故答案为：①②．
【点睛】此题主要考查垂线的定义，解题的关键是熟知相交直线之间的特点与垂直的定义．
12． 4 3
【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解．
【详解】解：，
，
，
点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，
故答案为：4，3，．
13．①③④
【分析】根据垂直的定义和同角的余角相等分别计算后，再对各小题分析判断即可求解．
【详解】∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，
∴∠AOB=∠COD，故①正确；
∠AOB+∠COD不一定等于90°，故②错误；
∠BOC+∠AOD=90°-∠AOB+90°+∠AOB=180°，故③正确；
∠AOC-∠COD=∠AOC-∠AOB=∠BOC，故④正确；
综上所述，说法正确的是①③④．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查了余角和补角，垂直的定义，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
14．①③④
【分析】根据角平分线的定义，垂直的定义，逐一判断即可得出结论．
本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键．
【详解】①∵是的平分线
∴，故①正确；
②∵
∴
∴，故②错误；
③∵、分别是和的平分线
∴，
∴，故③正确；
④∵，，
∴，故④正确；
综上所述，正确结论的序号有①③④．
故答案为：①③④．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查几何图形中的角度计算，垂直的定义：
（1）根据可得，等量代换可得，再根据平角的定义即可求解；
（2）根据角的和差关系可得，根据垂直的定义可得，进而可得，则．
【详解】（1）解： ，
．
，
，
．
（2）解：，
．
，
，
，
．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解；
（2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解．
【详解】（1）解：∵直线与相交于点O，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵若，
∴
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
解得.
∴．
17．(1)15
(2)
(3)，见解析
【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）求出，求出，根据角平分线求出，代入求出即可．
（2）类似（1）的解题过程可得出结论；
（3）先根据角平分线的定义得出，结合，，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵是直角，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：∵是直角，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：．
（3）解：．理由如下：
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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