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7.1.2 两条直线垂直 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3．过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ）
A．可能为 B．可能为
C．可能为 D．可能为
5．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离（　　）
A．不大于3 B．等于3 C．小于3 D．不小于3
6．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，相交于点，下列条件：①；②；③，其中能说明的有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图，直线相交于点O，于O，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
10．以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（ ）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．两钉子固定 D．弯曲河道改直
二、填空题
11．（1）如图1，若直线a、b相交于点O，∠1＝90°，则a______b；
（2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD ＝______；
（3）如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶3，那么∠COA＝___ ，∠BOC的补角为______．
12．如图，在直角三角形中．点为边上一动点，连接，则的最小值是_____．
13．如图，直线相交于点．若，则的度数为________．
14．如图，△ABC中，AC⊥BC，D为BC边上的任意一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．如果BC=5，AC=12，AB=13，则CE+EF的最小值为______．
15．如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为______，点到直线的距离为______，点到直线的距离为______．
16．如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为________．
三、解答题
17．如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
18．已知： 直线与直线交于点 O， 过点 O 作
(1)如图 1， ，求 的度数；
(2)如图 2， 在（1）的条件下， 过点 O 作 ，射线 平分 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与 互余的角．
19．如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线．
(1)请用一个直角三角尺作出的平分线；
(2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由．
理由：因为是的平分线，
所以，
因为_______，
所以_______，
所以，
因为，
所以______________（理由：______________），
所以是的平分线．
20．已知一条笔直的公路两侧有、、三个村庄．
(1)画出村庄、之间距离最短的路线；
(2)加油站D在村庄B、C所在直线与公路L的交点处，画出加油站的位置D；
(3)画出村庄到公路的最短路线，画图依据是：______，测量答题卡上______（精确到），如果示意图与实际距离的比例尺为，通过你的测量和计算，在实际中村庄到公路的距离是：______．
21．如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：

(1)点B到的距离是 ，点A到的距离是 ；
(2)请在图中作出点C到的垂线段；
(3) （填“”、“”、“”），理由是 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D A B A D B A
1．A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
【详解】如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，，
∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为，
故选：A．
2．B
【分析】根据垂线的性质解答即可．
【详解】解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，理解性质是解题的关键．即在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
3．A
【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答．
【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．
根据题意和垂线段最短的性质判断即可．
【详解】解：∵该女生获得满分但未加分，
∴
∵，
∴可能为，
故选项D符合题意．
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答．
【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离，即．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查垂直的定义，角的和差运算，根据垂直的定义可得，再根据即可求解．
【详解】解：，，
，
又，
，
故选B．
7．A
【分析】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为．
根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】解：①，可以得出；
②，，
，可以得出；
③，不能得到；
故能说明的有①②．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得：，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查平行线的定义，垂线的性质，平角的定义，直线，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别；根据平行线、垂线的性质，角和直线的概念逐一判断可求解
【详解】解：A、应强调在同一平面内，错误；
B、同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；
C、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，错误；
D、过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误；
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短．
【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意；
B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意；
C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意；
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意；
故选：A．
11． ⊥ 90° 60° 150°
【解析】略
12．
【分析】根据垂线段最短可得，当AP⊥BC时，AP值最小，所以根据直角三角形面积公式，即可求解．
【详解】解：当AP⊥BC时，如图，此时AP值最小，
∵，，，BC=5，AP⊥BC，
∴，
∴
∴AP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段最短，三角形面积，掌握垂线段最短是解题的关键．
13．/130度
【分析】本题考查垂直的定义，角的和差计算，对顶角的定义．由可得，进而求出，再根据对顶角相等，可得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
14．/
【分析】过C作CF⊥AB于F，交AD于E．则CE+EF的最小值为CF，利用三角形等面积法求出CF，即为CE+EF的最小值．
【详解】解：过C作CF⊥AB于F，交AD于E，
则CE+EF的最小值为CF．
∵BC=5，AC=12，AB=13，
∴AB CF=BC AC，
∴CF=，
即CE+EF的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．
15． 4 3
【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解．
【详解】解：，
，
，
点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，
故答案为：4，3，．
16．/70度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、垂直的定义，解题的关键是熟知三角形的内角和定理．先由得到，再结合求得，最后结合求得的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．
（1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案；
（2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即的度数为．
【点睛】
18．(1)
(2)，，，
【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，求角的余角，角平分线的有关计算等知识．
（1）先利用平角的定义以及即可得出，进而可求出，由垂直的定义即可求出，最后根据角的和差关系即可得出答案．
（2）根据互余两角的和为90度一一计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：由（1）知，
∵，
∴和互余．
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，，，
则和互余，和互余，和互余，
综上：与互余的角有，，，．
19．(1)见解析
(2)；；；；等角的余角相等
【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键．
（1）利用三角尺作，即可；
（2）先推出，，然后根据等角的余角相等逐步推理证明，即可求证是的平分线．
【详解】（1）解：作，如图；
（2）理由：因为是的平分线，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以（理由：等角的余角相等），
所以是的平分线．
故答案为：；；；；等角的余角相等．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析；垂线段最短；，
【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接即可，
（2）两条直线的交点就是加油站的位置，
（3）依据点到直线的所有线段中，垂线段最短，和比例尺的意义可得．
【详解】（1）如图所示．根据两点之间线段最短，连接，
（2）如图所示．线与公路的交点，即为加油站，
（3）如图所示．
作图依据：垂线段最短．
过点作交点为
测量，．
示意图与实际距离的比例尺是
：实际距离：
实际距离
在实际中村庄到公路的最短线路为．
【点睛】本题考查了两条直线的交点，垂线段最短，以及过直线外一点作已知直线的垂线，以及比例尺，解题的关键是掌握两点之间线段最短，以及垂线段最短．
21．(1)8，6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）过点作的垂线，垂足为；
（3）根据垂线段最短进行判断．
【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是；
故答案为：8，6；
（2）如图，为所作；

（3），理由是垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．
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