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相交线与平行线 平行线的拐点问题 重点题型梳理 强化练
2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册
一、单选题
1．滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要．如图①，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态．图②是其示意图，已知，，则当时，上身与水平线夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（ ）

A． B．
C． D．
3．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）
A．70° B．65° C．35° D．5°
4．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　）
A．76° B．78° C．80° D．82°
6．如图，，，则，和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，，将一副直角三角板如下摆放，图中点、、在同一直线上，则的度数为_________．
10．如图，若，且于点C，若，则的度数为________．
11．如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为________．
12．如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为______．
三、解答题
13．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，为、之间一点，连接，得到．
求证：，
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点作，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图2，若，，求的度数；
(2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸当小船行驶到河中点时，与两岸码头B、D所形成的夹角为（即），当小船行驶到河中点时，恰好满足，，请你直接写出此时点与码头B、D所形成的夹角＝_________．
14．【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：．
【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由．
【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数．
【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案）
15．学行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
(1)小明遇到了下面的问题：如图1：，点在、内部，探究，，的关系．小明过点作的平行线，可得到，，之间的数量关系是：_____．
(2)如图2，若，点在、外部，，，的数量关系如何？为此，小明进行了下面不完整的推理证明．请将这个证明过程补充完整，并在括号内填上依据．过点作．
（_____）
，
（_____）
，
，
_____．（_____）
(3)我们生活中经常接触小刀，小刀刀柄外形是一个直角梯形（挖去一个小半圆）．如图3，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成和，那么的大小是否会随刀片的转动而改变？说明理由．
16．课题学行线的“等角转化”功能．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴________，________． 又∵． ∴．
【问题解决】
（1）阅读并补充推理过程．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，已知，，求的度数．（提示：过点E作或的平行线）
【深化拓展】
（3）如图3，如图，，，分别平分，，且所在直线交于点F，，则_______．
17．课题学行线的“等角转化”功能．
如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作EDBC， ∴__________，__________． 又∵． ∴．
(1)问题解决：
阅读并补充推理过程．
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：
如图2，已知ABCD， ，求的度数．（提示：过点E作或的平行线．）
(3)深化拓展：
如图3，如图，ABCD，CG，BF分别平分，且所在直线交于点F，，则__________．
18．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．
例如：如图1，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．问，，之间有何数量关系？请说明理由．
小铭同学发现，并给出了部分理由．
如图，过点作，
因为，，
所以，
…；
(1)请将上面的说理过程补充完整；
(2)如图2，若，∠，．则　 　；
【方法运用】
(3)如图3，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
【联想拓展】
(4)如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果．
19．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
20．甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
(1)如图①，若，求；
(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
21．综合与实践
如图，，点，分别在直线，上，点是，之间的一点（点不在直线上）．
(1)观察猜想
如图1，当点在线段左侧时，为说明，李老师给出了辅助线的作法，请将下面说理过程省略部分补充完整．
解：过点作，……
(2)类比迁移
如图2，当点在线段右侧时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
若，的平分线相交于点，当时，请直接写出的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B A B B C A
1．B
【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于M，利用“两直线平行，同旁内角互补”求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”求出的度数即可．
【详解】解：延长交于M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，

∵AB∥EF∥CD，
∴∠γ+∠FED=180°，
∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，
∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，
∴∠α+∠β+∠γ=360°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
3．B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
4．A
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合已知条件，，进而可得，，然后根据即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，，
，，
，，
，
故选：．
5．B
【详解】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，
又∠BKC﹣∠BHC=27°，
∴∠BHC=∠BKC﹣27°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），
∴∠BKC=78°，
故选B．
6．B
【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得．
【详解】解：如图，过点作，过点作，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴①，
∵，
∴，即②，
将②代入①得：，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可．
【详解】解：如图，过作，过作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，添加平行线是解题的关键．过点C作，根据平行线的性质可求得，从而，再根据平行线的传递性可得，最后根据平行线的性质，即得答案．
【详解】解：如图，过点C作，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A
9．
【分析】本题考查的知识点是平行公理、平行线的性质、邻补角、直角三角板的特征，解题关键是梳理掌握平行线性质．
过点作，由平行公理推得后，再根据平行线的性质得，最后根据直角三角板的特征即可得解．
【详解】解：过点作，
，
，
，，
，
依题得：，，，
，
．
故答案为：．
10．60°/60度
【分析】根据，得出∠DAB+∠ABE=180°，根据，得出，根据直角三角形的性质，得出∠CAB+∠CBA=90°，从而得出∠DAC+∠CBE=90°，最后根据∠CBE=30°，得出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴∠DAB+∠ABE=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DAC+∠CBE=90°，
∵∠CBE=30°，
∴∠CAD=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，关键在于结合平行线的性质与三角形内角和解题．
11．
【分析】本题考查平行线的性质，过点B作，先由平行线的性质推出，，再由平行线的性质推出，，再由可得答案．
【详解】解：如图，过点B作．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
12．#100度
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．(1)240°
(2)32°
【分析】（1）过E点作，过F点作，易得，，，则有∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，根据∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°；
（2）根据题目的证明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，由∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，即有∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，问题得解．
【详解】（1）过E点作，过F点作，如图，
∵，，，
∴，，，
∴∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，
∵∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，
∴∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°，
故答案为：240°；
（2）根据题目中“猪蹄模型”的证明方法，同理可以证明：∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，
∵∠E=64°，
∴∠ABE+∠CDE=64°，
∵∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，
∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，
∵∠F=∠ABF+∠CDF，
∴∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，
故答案为：32°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解答本题的关键．
14．（1），理由见解析（2）（3）
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
（1）过点作，得到，
【详解】解：（1），理由如下：
如图，过点作，
，
，
，
，
，
即；
（2）由（1）可知：，
，
，
；
（3）如图，过点作，则，
由（1）的结论得：，
，
，
，
，
，
．
15．(1)
(2)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
，等量代换
(3)不会变，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定和性质．正确作出辅助线是解题关键．
（1）设过点P作的平行线为，易得出，从而得出，．再根据，即得出；
（2）根据平行线的性质结合角的和与差补全证明过程即可；
（3）过点作，得到，推出，由为定值得到的大小不会随刀片的转动而改变．
【详解】（1）解：如图，设过点P作的平行线为．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴．
故答案为：；
（2）证明：过点P作，
（两直线平行，内错角相等）．
，
（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
．
，
（等量代换）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；，等量代换；
（3）证明：过点作，
∵
∴，
∴，．
∵，
∵为定值，
∴的大小不会随刀片的转动而改变．
16．（1），；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键．
（1）过点A作，如图1，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到；
（2）过点E作的平行线，如图，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得；
（3）过E点作，过F点作，如图，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，利用平行线的性质得到，，，，则利用，可得，然后利用求解．
【详解】解： （1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：，；
（2）过点E作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）过E点作，过F点作，如图，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)∠EAB，∠DAC
(2)100°
(3)50°
【分析】（1）过点A作EDBC，如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，然后利用平角的定义得到∠B+∠BAC+∠C=180°；
（2）过点E作HEAB的平行线，如图2，利用平行线的性质得到HECD，则∠B+∠BEH=180°，∠HEC=∠C，然后把两式相加可得∠B-∠C=100°；
（3）过E点作EMAB，过F点作FN∥CD，如图3，根据平行线的性质得到ABMECDFN，根据角平分线的定义得到∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，设，，利用平行线的性质得到，，，，则利用∠BEC=80°，可得，然后利用∠BFG=∠BFN-∠CFN求解．
【详解】（1）解： 过点A作EDBC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°；
故答案为：∠EAB，∠DAC；
（2）解：过点E作HEAB，如图，
∵ABCD，
∴HECD，
∴∠B+∠BEH=180°，∠HEC=∠C，
∴∠B+∠BEH+∠HEC=180°+∠C
∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°；
（3）过E点作EMAB，过F点作FNCD，如图，
∵ABCD，
∴ABMECDFN，
∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，
∴∠ABF=∠EBF，∠ECG=∠DCG，
设，，
∵ABFN，CDFN，
∴，，
∵MEABCD，
∴∠BEM=180°-∠ABE=，，
∵∠BEM+∠MEC=∠BEC=80°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：50°
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
(4)
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）根据平行线的判定与性质求解即可；
（4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，，
，
，，
；
（2）如图2，过点作，
，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（3），理由如下：
如图3，过点作，
，
，，
，
，
；
（4）如图4，
由知，，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
在四边形中，，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】（1）作，，如图，且
∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
20．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据解题得出，进而根据，即可求解；
（2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质得出设，进而根据平行线的性质得出，，即可得出结论；
（3）根据（2）的结论可得，，根据已知，，可得，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
解得：，
∵．
∴；
（2）解：如图所示，
过点分别作的平行线，
∴，
∴，
设，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（3）∵，，，
即，
∴，
由（2）可得，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角，找出角度之间的关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可证明结论；
（2）过点作，根据平行线的性质，得到，，再结合，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论：当点在线段左侧时；当点在线段右侧时，根据（1）和（2）所得结论，再结合角平分线的定义分别求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作，
，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点作，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，当点在线段左侧时，
由（1）可知，，
，
，
，，
，
、的平分线交于点，
，，
，
同（1）理可证，，
；
如图4，当点在线段右侧时，
由（2）可知，，
，
，
，，
，
、的平分线交于点，
，，
，
同（1）理可证，，
；
综上可知，或．
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