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（培优版）浙教版数学七下 3.3多项式的乘法 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·瑞安期中） 如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长为m宽为n的长方形卡片组成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用大长方形的面积你能得到下列哪个乘法公式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：若直接计算大长方形面积，有；而大正方形面积实际可通过对组成其中的6个图形面积求和可得，有.
于是有 .
故答案为：B.
【分析】根据各部分面积之和与大长方形面积的关系，并与选项进行匹配.
2．（2025七下·来宾期末）规定，若，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】本题是新定义运算问题，关键在于理解题目给定的行列式运算规则，将所给行列式按照此规则转化为整式运算，再通过等式变形求出的值 即可.
3．（2025七下·慈溪期中）如图四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　）
①（2a+b）（m+n）②2a（m+n）+b（m+n）③m（2a+b）+n（2a+b）④2am+2an+bm+bn
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图中该长方形的边长分别为2a+b、m+n.
因此其面积为S=(2a+b)(m+n)，故①正确；
(2a+b)(m+n)=2a(m+n)+b(m+n)，故②正确；
(2a+b)(m+n)=m(2a+b)+n(2a+b)，故③正确；
(2a+b)(m+n)= 2am+2an+bm+bn，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据图中长方形的面积可表示为总长X总宽，也可表示成各矩形的面积和.
4．（2025七下·台州期中）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：S1=(a+b) 2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，
∵，
∴2ab=8(ab-a2)，
∴2ab=8ab-8a2
∴b=4b-4a
∴4a=3b，
故答案为：A．
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，代入已知的等式S1=8S2整理即可求解．
5．（2024七下·越城期末） 我国南宋时期杰出的数学家杨辉 (钱塘 (今杭州) 人)， 下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的 “杨辉三角”.
此图揭示了 ( 为非负整数) 的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： 假如今天是星期三，再过 7 天还是星期三，那么再过 天是星期几 (　　)
A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意知=(7+1)2024=72024+2024×72023+.......2024×7+1，知(7+1)2024=72024+2024×72023+.......2024×7为7的整数倍，
故除以7的余数为1，故再过天是星期四.
故答案为：B.
【分析】根据题意将=(7+1)2024展开，由展开式可知余数即可知结果.
6．（2024七下·保定期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，之间的关系是（　　）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：设，即：，
则有：，
因为，均为正数，
所以，
所以E故选：A.
【分析】设，即可得出，，计算出，即可得出答案.
7．（2024七下·新化期末）某公园形如长方形，长为，宽为该公园中有条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，
则该公园小草的面积=（a-2c）（b-c）=．
故答案为：D．
【分析】利用平移法可得该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
8．（2024七下·义乌期末）已知 是常数， 若化简 的结果中不含 的二次项， 则 的值为（ ）
A．-3 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（-2x+a）（x2+bx-3）
=-2x3-2bx2+6x+ax2+abx-3a
=-2x3+(-2b+a)x2+（6+ab）x-3a，
∵多项式中不含x的二次项，
∴a-2b=0，
∴-12a+24b-3=-12(a-2b)-3=-12×0-3=-3.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”将原式去括号，然后由多项式中不含x的二次项可得关于a、b的等式，将所求代数式变形得：原式=-12(a-2b)-3，再整体代换计算即可求解.
二、填空题
9．（2024七下·滨江期末）如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则　 　．
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，，则，
∵三角形面积为6，
∴，
∴
∵正方形、正方形面积和为40，
∴，
∴，
∴，
∴，
将①代入②得，
∴（负值已舍去）
∴，
故答案为：4．
【分析】根据三角形面积为6可得，利用两正方形的面积和为40可得，然后整体代入计算解答即可．
10．（2024七下·桑植期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”．
请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是　 　．
【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：；
∴含项的系数是10，
故答案为：10．
【分析】根据“杨辉三角”展开，再找出展开式的规律即可．
11．（2024七下·南浔期中）已知a，b是常数，若化简的结果不含x的二次项，则　 　．
【答案】0
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
∵结果不含x的二次项，
∴，即b-2a=0
∴
．
故答案为：0．
【分析】利用多项式乘多项式的法则展开括号，再按字母x合并同类项，再根据结果不含x的二次项，可得x的二次项系数为0，据此可得b-2a=0，进而将待求式子逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
12．（2023七下·巨野期末）对于任意实数规定的意义是．则当时，　 　．
【答案】1
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
=（x+1）（x-1）-3x（x-2）
=x2-1-3x2+6x
=-2x2+6x-1
=-2（x2-3x）-1，
∵x2-3x+1=0，
∴x2-3x=-1，
原式=-2×（-1）-1=1，
故答案为：1．
【分析】由得，根据规定可列算式（x+1）（x-1）-3x（x-2），化简后把x2-3x的值代入计算即可求解．
三、解答题
13．有一些长方形和正方形的卡片，形状．如图 1 所示， 图 2 是选取了 2 张不同的卡片拼成的一个图形， 借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式 成立． 根据图 3 ， 利用面积的不同表示方法， 写出一个代数恒等式．
【答案】解：根据图3可知：阴影部分的面积是：①（a＋b）（a＋2b），
②a2＋ab＋ab＋ab＋b2＋b2＝a2＋2b2＋3ab，
∴（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2b2＋3ab，
故答案为：（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2b2＋3ab.
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】表示阴影部分的面积有两种方法：①大长方形的面积＝（a＋b）（a＋2b），②3个正方形的面积加上3个矩形的面积a2＋ab＋ab＋ab＋b2＋b2，即可得到（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2b2＋3ab．
14． 已知 展开后不含 的二次项和一次项．
（1） 求 的值．
（2） 求 的值．
【答案】（1）解：，因为不含x的二次项与一次项，则有，解得a=-2，b=4.
故答案为：a=-2，b=4.
（2）解：∵a=-2，b=4，代入得
.
故答案为：-72.
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）、先展开，后根据题意得x的二次项与一次项系数为0，得出关于a，b的等量关系式，解出a，b即可；
（2）、直接代入由（1）求得a、b后计算即可.
15．（2024七下·新晃期中） 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题，甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请求出正确的，的值．
【答案】解：∵甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为
∴，
∴，
∴，
∴，
∵乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【分析】把第一个多项式中的“+a”换成“-a”，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得2b-3a=11，把第二个多项式中x的系数换成1，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得a+2b=-9，据此得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
1 / 1（培优版）浙教版数学七下 3.3多项式的乘法 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·瑞安期中） 如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长为m宽为n的长方形卡片组成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用大长方形的面积你能得到下列哪个乘法公式（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·来宾期末）规定，若，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2025七下·慈溪期中）如图四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　）
①（2a+b）（m+n）②2a（m+n）+b（m+n）③m（2a+b）+n（2a+b）④2am+2an+bm+bn
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
4．（2025七下·台州期中）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·越城期末） 我国南宋时期杰出的数学家杨辉 (钱塘 (今杭州) 人)， 下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的 “杨辉三角”.
此图揭示了 ( 为非负整数) 的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： 假如今天是星期三，再过 7 天还是星期三，那么再过 天是星期几 (　　)
A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五
6．（2024七下·保定期中）已知，，…，均为正数，且满足，，则，之间的关系是（　　）
A． B． C． D．不确定
7．（2024七下·新化期末）某公园形如长方形，长为，宽为该公园中有条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024七下·义乌期末）已知 是常数， 若化简 的结果中不含 的二次项， 则 的值为（ ）
A．-3 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2024七下·滨江期末）如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则　 　．
10．（2024七下·桑植期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”．
请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是　 　．
11．（2024七下·南浔期中）已知a，b是常数，若化简的结果不含x的二次项，则　 　．
12．（2023七下·巨野期末）对于任意实数规定的意义是．则当时，　 　．
三、解答题
13．有一些长方形和正方形的卡片，形状．如图 1 所示， 图 2 是选取了 2 张不同的卡片拼成的一个图形， 借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式 成立． 根据图 3 ， 利用面积的不同表示方法， 写出一个代数恒等式．
14． 已知 展开后不含 的二次项和一次项．
（1） 求 的值．
（2） 求 的值．
15．（2024七下·新晃期中） 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题，甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请求出正确的，的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：若直接计算大长方形面积，有；而大正方形面积实际可通过对组成其中的6个图形面积求和可得，有.
于是有 .
故答案为：B.
【分析】根据各部分面积之和与大长方形面积的关系，并与选项进行匹配.
2．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】本题是新定义运算问题，关键在于理解题目给定的行列式运算规则，将所给行列式按照此规则转化为整式运算，再通过等式变形求出的值 即可.
3．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图中该长方形的边长分别为2a+b、m+n.
因此其面积为S=(2a+b)(m+n)，故①正确；
(2a+b)(m+n)=2a(m+n)+b(m+n)，故②正确；
(2a+b)(m+n)=m(2a+b)+n(2a+b)，故③正确；
(2a+b)(m+n)= 2am+2an+bm+bn，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据图中长方形的面积可表示为总长X总宽，也可表示成各矩形的面积和.
4．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：S1=(a+b) 2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，
∵，
∴2ab=8(ab-a2)，
∴2ab=8ab-8a2
∴b=4b-4a
∴4a=3b，
故答案为：A．
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，代入已知的等式S1=8S2整理即可求解．
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意知=(7+1)2024=72024+2024×72023+.......2024×7+1，知(7+1)2024=72024+2024×72023+.......2024×7为7的整数倍，
故除以7的余数为1，故再过天是星期四.
故答案为：B.
【分析】根据题意将=(7+1)2024展开，由展开式可知余数即可知结果.
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：设，即：，
则有：，
因为，均为正数，
所以，
所以E故选：A.
【分析】设，即可得出，，计算出，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，
则该公园小草的面积=（a-2c）（b-c）=．
故答案为：D．
【分析】利用平移法可得该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
8．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：（-2x+a）（x2+bx-3）
=-2x3-2bx2+6x+ax2+abx-3a
=-2x3+(-2b+a)x2+（6+ab）x-3a，
∵多项式中不含x的二次项，
∴a-2b=0，
∴-12a+24b-3=-12(a-2b)-3=-12×0-3=-3.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”将原式去括号，然后由多项式中不含x的二次项可得关于a、b的等式，将所求代数式变形得：原式=-12(a-2b)-3，再整体代换计算即可求解.
9．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，，则，
∵三角形面积为6，
∴，
∴
∵正方形、正方形面积和为40，
∴，
∴，
∴，
∴，
将①代入②得，
∴（负值已舍去）
∴，
故答案为：4．
【分析】根据三角形面积为6可得，利用两正方形的面积和为40可得，然后整体代入计算解答即可．
10．【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：；
∴含项的系数是10，
故答案为：10．
【分析】根据“杨辉三角”展开，再找出展开式的规律即可．
11．【答案】0
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
，
∵结果不含x的二次项，
∴，即b-2a=0
∴
．
故答案为：0．
【分析】利用多项式乘多项式的法则展开括号，再按字母x合并同类项，再根据结果不含x的二次项，可得x的二次项系数为0，据此可得b-2a=0，进而将待求式子逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
12．【答案】1
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴
=（x+1）（x-1）-3x（x-2）
=x2-1-3x2+6x
=-2x2+6x-1
=-2（x2-3x）-1，
∵x2-3x+1=0，
∴x2-3x=-1，
原式=-2×（-1）-1=1，
故答案为：1．
【分析】由得，根据规定可列算式（x+1）（x-1）-3x（x-2），化简后把x2-3x的值代入计算即可求解．
13．【答案】解：根据图3可知：阴影部分的面积是：①（a＋b）（a＋2b），
②a2＋ab＋ab＋ab＋b2＋b2＝a2＋2b2＋3ab，
∴（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2b2＋3ab，
故答案为：（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2b2＋3ab.
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】表示阴影部分的面积有两种方法：①大长方形的面积＝（a＋b）（a＋2b），②3个正方形的面积加上3个矩形的面积a2＋ab＋ab＋ab＋b2＋b2，即可得到（a＋b）（a＋2b）＝a2＋2b2＋3ab．
14．【答案】（1）解：，因为不含x的二次项与一次项，则有，解得a=-2，b=4.
故答案为：a=-2，b=4.
（2）解：∵a=-2，b=4，代入得
.
故答案为：-72.
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）、先展开，后根据题意得x的二次项与一次项系数为0，得出关于a，b的等量关系式，解出a，b即可；
（2）、直接代入由（1）求得a、b后计算即可.
15．【答案】解：∵甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为
∴，
∴，
∴，
∴，
∵乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【分析】把第一个多项式中的“+a”换成“-a”，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得2b-3a=11，把第二个多项式中x的系数换成1，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得a+2b=-9，据此得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
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