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（提升版）浙教版数学七下 3.4乘法公式 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·南海月考）如果多项式是完全平方式的展开式，则m等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵a2 ± 2ab + b2 = (a ±b)2，
∴x2+mx+4=(x ± 2)2，
∴m =±4；
故答案为：D.
【分析】根据a2 ± 2ab + b2 = (a ±b)2得b2=4，得b=±2，所以mx=±2ab，即可得答案.
2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边图形中阴影部分的面积为a2-b2，右边图形中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
由两个图形面积相等得a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：D.
【分析】用大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积表示出左边图形中阴影部分的面积，再根据矩形的面积计算公式表示出右边图形中阴影部分的面积，进而根据两个图形面积相等即可求解.
3．（2024七下·凤城期中）如图，从边长为（）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：矩形的面积为：
（a＋4）2－（a＋1）2
＝（a2＋8a＋16）－（a2＋2a＋1）
＝a2＋8a＋16－a2－2a－1
＝6a＋15.
故答案为：D．
【分析】根据矩形的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即可列出代数式：（a＋4）2－（a＋1）2，进一步计算机可得出答案。
4．（2025七下·台州期中）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲、图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A、B的面积之和为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，因为图中阴影部分的面积为1，
所以即①
图乙中阴影部分的面积为10
所以即②
由①②即
故答案为：C.
【分析】 题目涉及两个正方形A和B的面积之和，已知图甲（B在A内部）和图乙（A、B并列构成新正方形）的阴影面积分别为1和10，通过建立方程组求解两正方形的面积之和。
5．（2025七下·龙港期中） 如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图
∵左边长方形面积=（a+b）（a-b），右边图形中阴影部分的面积=a2-b2，
而右边阴影图形是左边图形的两个长方形重新摆放而来的，面积没有改变。
∴（a+b）（a-b）=a2-b2.
故答案为：D.
【分析】根据长方形面积计算公式和图形的重新摆放、拼接，面积不发生改变可得.
6．（2023七下·大埔期中）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式，
由结果不含的一次项，得到，
解得：，
故选：B．
【分析】
由平方差公式知，的结果不含x的一次项，即．
7．（2025七下·温江期末）若完全平方式（3x+a）=9x2+12x+b，则a+b=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ （3x+a）2=9x2+12x+b，
∴（3x+a）2=9x2+6xa+a2，
∴9x2+6xa+a2=9x2+12x+b
∴6a=12，a2=b，
∴a=2，b=4
∴a+b=6；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点，把代数式的左边按照完全平方式展开，再与右边的式子对比，计算出a，b的值.
8．（2025七下·杭州期中） 已知，则的值是（　　）
A．4 B．8 C．17 D．34
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：令 a= x 2024 ，b =x 2026 ，则原方程变为：a2+ b2 = 38，
∵2 ab = a2 + b2 ( a b )2，
∴a-b=(x-2024)-(x-2026)=2，
∵2 ab = a2 + b2 ( a b )2，
∴2ab=38-22=34，
解得ab=17.
故答案为：C.
【分析】先将原方程变为：a2+ b2 = 38，再求出a-b，然后将a2+ b2 = 38，a-b=2代入2 ab = a2 + b2 ( a b )2，求出ab.
二、填空题
9．（2025七下·慈溪期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=12，ab=32，那么阴影部分的面积是　 　.
【答案】24
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：24.
【分析】阴影部分面积=两个正方形面积之和-直角边长为b、（a+b）的三角形面积-直角边长为a的等腰直角三角形面积.
10．（2025七下·瑞安期中）如图，左边是一个张长方形卡片，把五张相同的小长方形卡片放入一个大长方形中，若阴影部分的面积为5，大长方形的周长为12，则一张小长方形卡片的面积为　 　.
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设小长方形的长为a、宽为b，
根据题意和题图可得：
大长方形的面积：，解得①
大长方形的周长：，解得，
进而可得，
即②
将①代入②可得
解得
∴ 一张小长方形卡片的面积=ab=.
故填：.
【分析】设小长方形的长为a、宽为b，用a、b列式分别表示大长方形的面积和周长，可得①和②，将将①代入②代入即可求解.
11．（2025七下·滨江期末） 设，，．若，，则　 　．
【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得
则
故答案为：25.
【分析】由题意得 利用完全平方公式计算 的值即可.
12．（2025七下·德清期末） 若满足，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设
故答案为：
【分析】设 ，则 然后利用完全平方公式进行计算，即可解答.
三、解答题
13．（2025七下·杭州期中）如图，已知M是线段AB的中点，点P在线段MB上，分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF。设AB=2a，MP=b，正方形APCD和正方形PBEF的面积之差为S.
（1） 求AP和BP（用含有a，b的代数式表示）。
（2）用含a，b的代数式表示S（结果要化简），并求出当a+b=3，a2+b2=5时S的值。
【答案】（1）解：∵M是线段AB的中点，AB=2a，
∴AM=BM=AB=a，
∴AP=AM+MP=a+b，BP=BM-MP=a-b.
（2）解：∵AP=a+b，BP=a-b，
∴；
当 a+b=3，a2+b2=5 时，
（a+b）2=9，
a2+2ab+b2=9，
5+2ab=9，解得：ab=2，
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)先利用线段的中点的意义，求得AM与BM，再利用线段的和差分别求得AP与BP；
（2）先利用（1）中求得的AP与BP，得到，再根据 a+b=3，a2+b2=5，求得ab，代入求解.
14．（2025七下·奉化期末）
（1）基础体验：若实数满足，求的值．
（2）进阶实践：若实数满足，求的值．
对于（2），甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出x的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难．乙同学：本题中的x与隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第（1）题的形式求解．请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第（2）小题．
【答案】（1）解：
（2）解：设，则
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式可得，代入求得代数式的值.
(2)设，则，利用完全平方公式求得的值，进而求得代数式的值.
15．（2025七下·杭州期中）完全平方公式是同学们比较熟悉的公式．例如：，.
（1）若，求的值；
（2）如图，在正方形ABCD中，点在边AB上，．以AE，EB为一边在上方分别作正方形AEFG和正方形EBMN，连接AN．若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵a+b=6， ab=6.
∴（a+b）2=36，
∴a2+2ab+b2=36，
∴a2+b2=24
（2）解：∵S△AEN=4，S△AEC=AE·EN，
∴AE·EN=8，
∵AE=a， EB=b，
∴ab=8.
∵S阴影=S正方形ABCD-S正方形AEFG-S正方形EBMN，
∴S阴影=（a+b）2-a2-b2
=2ab
=16
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)应用完全平方公式变形求解即可；
(2)由 得 阴影的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形AEFG和正方形EBMN的面积和，即阴影部分的面积为
1 / 1（提升版）浙教版数学七下 3.4乘法公式 同步练习
一、选择题
1．（2025七下·南海月考）如果多项式是完全平方式的展开式，则m等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
2．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·凤城期中）如图，从边长为（）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·台州期中）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲、图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A、B的面积之和为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（2025七下·龙港期中） 如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·大埔期中）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·温江期末）若完全平方式（3x+a）=9x2+12x+b，则a+b=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．（2025七下·杭州期中） 已知，则的值是（　　）
A．4 B．8 C．17 D．34
二、填空题
9．（2025七下·慈溪期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=12，ab=32，那么阴影部分的面积是　 　.
10．（2025七下·瑞安期中）如图，左边是一个张长方形卡片，把五张相同的小长方形卡片放入一个大长方形中，若阴影部分的面积为5，大长方形的周长为12，则一张小长方形卡片的面积为　 　.
11．（2025七下·滨江期末） 设，，．若，，则　 　．
12．（2025七下·德清期末） 若满足，则　 　．
三、解答题
13．（2025七下·杭州期中）如图，已知M是线段AB的中点，点P在线段MB上，分别以AP，PB为边作正方形APCD和正方形PBEF。设AB=2a，MP=b，正方形APCD和正方形PBEF的面积之差为S.
（1） 求AP和BP（用含有a，b的代数式表示）。
（2）用含a，b的代数式表示S（结果要化简），并求出当a+b=3，a2+b2=5时S的值。
14．（2025七下·奉化期末）
（1）基础体验：若实数满足，求的值．
（2）进阶实践：若实数满足，求的值．
对于（2），甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出x的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难．乙同学：本题中的x与隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第（1）题的形式求解．请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第（2）小题．
15．（2025七下·杭州期中）完全平方公式是同学们比较熟悉的公式．例如：，.
（1）若，求的值；
（2）如图，在正方形ABCD中，点在边AB上，．以AE，EB为一边在上方分别作正方形AEFG和正方形EBMN，连接AN．若，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵a2 ± 2ab + b2 = (a ±b)2，
∴x2+mx+4=(x ± 2)2，
∴m =±4；
故答案为：D.
【分析】根据a2 ± 2ab + b2 = (a ±b)2得b2=4，得b=±2，所以mx=±2ab，即可得答案.
2．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边图形中阴影部分的面积为a2-b2，右边图形中阴影部分的面积为(a+b)(a-b)，
由两个图形面积相等得a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为：D.
【分析】用大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积表示出左边图形中阴影部分的面积，再根据矩形的面积计算公式表示出右边图形中阴影部分的面积，进而根据两个图形面积相等即可求解.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：矩形的面积为：
（a＋4）2－（a＋1）2
＝（a2＋8a＋16）－（a2＋2a＋1）
＝a2＋8a＋16－a2－2a－1
＝6a＋15.
故答案为：D．
【分析】根据矩形的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即可列出代数式：（a＋4）2－（a＋1）2，进一步计算机可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，因为图中阴影部分的面积为1，
所以即①
图乙中阴影部分的面积为10
所以即②
由①②即
故答案为：C.
【分析】 题目涉及两个正方形A和B的面积之和，已知图甲（B在A内部）和图乙（A、B并列构成新正方形）的阴影面积分别为1和10，通过建立方程组求解两正方形的面积之和。
5．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图
∵左边长方形面积=（a+b）（a-b），右边图形中阴影部分的面积=a2-b2，
而右边阴影图形是左边图形的两个长方形重新摆放而来的，面积没有改变。
∴（a+b）（a-b）=a2-b2.
故答案为：D.
【分析】根据长方形面积计算公式和图形的重新摆放、拼接，面积不发生改变可得.
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式，
由结果不含的一次项，得到，
解得：，
故选：B．
【分析】
由平方差公式知，的结果不含x的一次项，即．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ （3x+a）2=9x2+12x+b，
∴（3x+a）2=9x2+6xa+a2，
∴9x2+6xa+a2=9x2+12x+b
∴6a=12，a2=b，
∴a=2，b=4
∴a+b=6；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点，把代数式的左边按照完全平方式展开，再与右边的式子对比，计算出a，b的值.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：令 a= x 2024 ，b =x 2026 ，则原方程变为：a2+ b2 = 38，
∵2 ab = a2 + b2 ( a b )2，
∴a-b=(x-2024)-(x-2026)=2，
∵2 ab = a2 + b2 ( a b )2，
∴2ab=38-22=34，
解得ab=17.
故答案为：C.
【分析】先将原方程变为：a2+ b2 = 38，再求出a-b，然后将a2+ b2 = 38，a-b=2代入2 ab = a2 + b2 ( a b )2，求出ab.
9．【答案】24
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：24.
【分析】阴影部分面积=两个正方形面积之和-直角边长为b、（a+b）的三角形面积-直角边长为a的等腰直角三角形面积.
10．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设小长方形的长为a、宽为b，
根据题意和题图可得：
大长方形的面积：，解得①
大长方形的周长：，解得，
进而可得，
即②
将①代入②可得
解得
∴ 一张小长方形卡片的面积=ab=.
故填：.
【分析】设小长方形的长为a、宽为b，用a、b列式分别表示大长方形的面积和周长，可得①和②，将将①代入②代入即可求解.
11．【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由题意得
则
故答案为：25.
【分析】由题意得 利用完全平方公式计算 的值即可.
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设
故答案为：
【分析】设 ，则 然后利用完全平方公式进行计算，即可解答.
13．【答案】（1）解：∵M是线段AB的中点，AB=2a，
∴AM=BM=AB=a，
∴AP=AM+MP=a+b，BP=BM-MP=a-b.
（2）解：∵AP=a+b，BP=a-b，
∴；
当 a+b=3，a2+b2=5 时，
（a+b）2=9，
a2+2ab+b2=9，
5+2ab=9，解得：ab=2，
∴
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)先利用线段的中点的意义，求得AM与BM，再利用线段的和差分别求得AP与BP；
（2）先利用（1）中求得的AP与BP，得到，再根据 a+b=3，a2+b2=5，求得ab，代入求解.
14．【答案】（1）解：
（2）解：设，则
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式可得，代入求得代数式的值.
(2)设，则，利用完全平方公式求得的值，进而求得代数式的值.
15．【答案】（1）解：∵a+b=6， ab=6.
∴（a+b）2=36，
∴a2+2ab+b2=36，
∴a2+b2=24
（2）解：∵S△AEN=4，S△AEC=AE·EN，
∴AE·EN=8，
∵AE=a， EB=b，
∴ab=8.
∵S阴影=S正方形ABCD-S正方形AEFG-S正方形EBMN，
∴S阴影=（a+b）2-a2-b2
=2ab
=16
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)应用完全平方公式变形求解即可；
(2)由 得 阴影的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形AEFG和正方形EBMN的面积和，即阴影部分的面积为
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