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直线的相交
（5大常考题型突破）
参考答案
题号 1 3 4 5 10 11 12 15 16 21
答案 C D D B D A C A D C
题号 22 23 27 28
答案 B A D C
1．C
本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上进行判断，即可得出结论．
解：A．直线与直线相交，点M在直线，不在直线上，故本选项不符合题意；
B．直线与直线相交，点M不在直线，在直线上，故本选项不符合题意；
C．直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上，故本选项符合题意；
D．直线与直线相交，点M既不在直线，也不在直线上，故本选不项符合题意；
故选：C．
2．线段AB和直线c相交于点P
本题主要考查了几何语言运用，掌握数学术语比较重要．利用几何语言叙述．
解：图中有线段，直线c,它们相交于点P；用几何语言叙述图的含义是：线段和直线c相交于点P．
故答案为：线段和直线c相交于点P．
3．D
本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键．
根据对顶角的判定条件依次判断各选项．
解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
选项：和没有公共顶点，不是对顶角；
选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角；
选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角．
故选：．
4．D
本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解．
解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；
B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；
C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意；
D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意．
故选：D．
5．B
本题考查求角度，涉及垂直定义、对顶角相等等知识，数形结合表示出相关角度是解决问题的关键．
由得到，从而得到，再由对顶角相等即可得到答案．
解：于，
，
，
，
，
故选：B．
6．/48度
本题考查了对顶角相等．
直接根据对顶角相等作答即可．
解：∵直线，相交于点O，，
∴．
故答案为：．
7．/110度
本题考查了对顶角、平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据对顶角的性质解题即可．
解：由题意知，，
∵，
∴．
故答案为： ．
8．或
本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，分类讨论是解答的关键．
分为当射线在上方时和当射线在下方时两种情况，根据垂线的定义得到，再根据角之间的关系进行求解即可．
解：如图1，当射线在上方时，
∵，
∴，
∵，
∴，
如图2，当射线在下方时，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上，的度数为或．
故答案为：或．
9．
本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，垂线的定义．先利用垂直关系确定角的和，根据比例设未知数求解角，紧接着利用对顶角相等转化角，再利用角平分线求出角度，最后利用平角求出目标角．
解：∵，
∴，
即，
∵，
设，，
∴，解得，
∴，
由对顶角相等，可得：，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
10．D
本题可先根据垂直的定义得到直角，再结合已知角度求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算出的度数．
解：∵，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
本题考查了知识点垂直的定义与角的和差计算，解题关键是利用垂直关系确定直角，再通过角的和差进行角度推导．
11．A
本题考查对垂线定义的理解．
根据直线垂直的定义，对各选项进行分析判断即可．
解：A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上，原说法正确，符合题意；
B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足可能在它们的延长线（或反向延长线）上，原说法错误，不符合题意；
C．过线段或射线外一点可以画出一条直线与之垂直，原说法错误，不符合题意；
D．在同一平面内，过直线上一点可画一条直线与该直线垂直，原说法错误，不符合题意．
故选：A．
12．C
本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可．
解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意．
故选：C．
13．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案．
解：∵，，为垂足，
∴，，三点在同一直线上，
理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
14．60
本题主要考查角的计算、角平分线的性质，根据角平分线的性质得到角度是解题的关键．
首先根据平角得到的度数，再根据角平分线的性质得到的度数，再结合得到的度数，进而即可求解的度数．
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：60．
15．A
本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可．
解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故选A．
16．D
本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可．
解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短．
故选：D．
17．
本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解．
解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米．
故答案为：
18．
本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键．
由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可．
解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是，
点P到直线l的距离是的长，测量值为，
故答案为：，．
19．见解析
本题考查垂线段最短的知识点．运用垂线段最短的性质来确定使水渠长度最短的挖渠位置．
解：如图，过水池C作河岸的垂线段，垂足为点，这条垂线段就是连接水池C与河岸的最短路径，故水渠最短．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)，，理由见解析
本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图．
（1）根据垂线的画法，画出图形，即可求解；
（2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解；
（3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短求解即可．
（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：，，
理由如下：
因为线段的长度是点P到直线的距离，
所以；
因为线段的长度是点C到直线的距离，
所以．
21．C
本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键．
根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段．
解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离；
选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离；
故选：C．
22．B
此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键．
根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意；
B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意；
C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意；
D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意；
故选：B．
23．A
本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案．
解：∵，，
∴点到直线的距离是，
故选：A．
24． 垂线段最短
本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短．
根据垂线段最短进行解答即可得．
解：∵线段是垂线段，∴线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
25． 4 3
此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中．
根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可．
解：∵，
∴A，B两点之间的距离为，
∵，，
∴点A到直线的距离为的长，即，
∵，，
∴点C到直线的距离为的长，即．
故答案为：4；；3
26．
本题主要考查了点到直线的距离、两点间的距离等知识点，掌握点到直线的距离的定义是解题的关键．
根据点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离以及两点间的距离求解即可．
解：点到的距离是；点到的距离是，A、C两点间的距离为．
故答案为：，，．
27．D
本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解．
解：如图：
符合条件的直线共有4条；
故选：D．
28．C
根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断选项A；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可选项B；结合题意无法证明为的角平分线，即可判断选项C；根据平角的定义以及，即可判断选项D．
解：，
，
，
∴，
，
，
当时，，
∴，
∵平分，
∴，
故A选项结论正确，不符合题意；
平分，
．
直线，交于点，
．
，
，
与相等的角至少有3个，
故B选项结论正确，不符合题意；
不能证明，
无法证明为的角平分线，
故C选项结论错误，符合题意；
，，
，
故D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
本题考查了垂直的性质、同角的余角相等、对顶角相等、角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键．
29．或或
本题主要考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，灵活运用分类思想解决问题是解题的关键．
分平分、平分、平分三种情况，分别根据角平分线的定义、角的和差求解即可．
解：①当平分时，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
②当平分时，
∵，
∴；
③当平分时，
∵，
∴，
∴．
综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
30．或
根据题意分两类情况，根据垂直定义可得，然后利用角的和与差可得答案．
解：分两种情况：
如图，
，
，
，
；
如图，
，
，
．
故答案为：或．
本题考查了垂线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质及角的计算的方法进行计算是解答此题的关键．
31．
根据 “垂线段最短”，当垂直于时，的长度最短。此时可利用三角形面积的两种表示方法来计算的长度．
解：根据垂线段最短可知，当时，最短．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查了垂线段最短的性质和三角形面积公式的应用，解题关键是利用 “垂线段最短” 确定的最短位置，再通过面积法建立等式求解长度．
32．(1)、、
(2)
本题考查余角的定义与性质，角平分线的定义，对顶角的性质，掌握角的和差计算是解题关键．
（1）先由垂直关系找到的一个余角，再利用角平分线和对顶角相等的性质，推导出另外两个余角；
（2）先通过角的和差求出的度数，再根据（1）的结论，直接得到的度数．
（1）解：，
，
，
，
平分，
，
，
故的余角是、、．
答：、、．
（2）解：，，
，
根据（1）可知，，
．
答：．直线的相交
（5大常考题型突破）
题型一：相交线
1．下列图形满足“直线与直线相交，点M既在直线，又在直线上”的是（ ）
A．B． C． D．
2．如图，用几何语言叙述图的含义是 ．
题型二：对顶角
3．下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线、相交于点，于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线，相交于点O，，则的度数是 ．
7．如图所示，直线相交于点，则的度数为 ．
8．如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ．
9．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，求的度数．
题型三：垂线
10．如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上
B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上
C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线
D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直
12．下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ．
14．如图，点在直线上，，且平分，．则 ．
题型四：垂线段最短
15．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短 B．线段可以度量
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
16．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短
17．运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米．
18．如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）．
19．如图，要把河中的水引到水池C，那么，在河岸的什么地方开始挖渠才能使水渠最短？
20．如图，P是的边上的一点．
(1)过点P画的垂线，交于点C．
(2)过点P画的垂线，垂足为H．
(3)比较与，与的长短，并说明理由．
题型五：点到直线的距离
21．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（ ）
A．B．C．D．
22．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　）
A．线段的长是点P到直线a的距离
B．线段的长是点C到直线的距离
C．线段的长是点A到直线的距离
D．线段的长是点C到直线的距离
23．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
24．如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ．
25．如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ．
26．如图，，点C为垂足，，点D为垂足，，，，，那么点到的距离是 ，点到的距离是 ，A、C两点间的距离是 ．
27．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
28．如图，直线，相交于点，，，平分，下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．与相等的角至少有3个
C．一定平分 D．
29．如图，已知，射线是图中一个角的平分线，则的度数为 ．
30．已知直线与直线相交于点O，，于点O，则 ．
31．如图，在三角形ABC中，，，BC边上的高．若点P在AC边上移动，则BP最短时，其值为 ．
32．如图，直线、相交于点，平分，于．
(1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角）
(2)若，求的度数．

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