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1.3 平行线
（4大题型突破）
参考答案
题号 1 2 3 6 7 8 11 12 13 14
答案 D C C B B B B D D A
题号 21 22 23 24 25 30 31
答案 D B A C C B A
1．D
本题考查立体图形中平行的棱．
根据四棱柱的性质，即可求解．
解：四棱柱的侧棱互相平行，各个侧面都是平行四边形，当底面的四条棱互不平行时，平行棱的对数最少，
如图，在四棱柱中，，，，，，，，，，，共有对，
∴一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有对．
故选：D．
2．C
本题考查立体图形中平行的棱．
根据几何体的棱的性质，对各选项进行分析判断即可．
解：A．正方体的所有棱都相等，原说法正确，不符合题意；
B．长方体的相对棱平行，原说法正确，不符合题意；
C．棱柱的侧棱一定平行，原说法错误，符合题意；
D．正四面体中没有平行的棱，原说法正确，不符合题意．
故选：C．
3．C
本题考查立体图形中平行的棱．
根据长方体的长互相平行并且长度相等，即可求解．
解：∵ 长方体的长，宽，高，
∴ 该长方体有条棱长度为，且互相平行，
∴与平行的棱有（条），它们的长度都是．
故选：C．
4．
平行
4
本题考查立体图形中平行的棱．
根据四棱柱侧棱的性质，即可求解．
解：四棱柱共有条侧棱，且侧棱互相平行．
故答案为：平行，．
5． 3 垂直
本题考查了正方体的结构特征，熟练掌握基本特征是解题的关键
根据正方体的结构特征，其12条棱分为3组互相平行的棱，每组4条；每个顶点处的三条棱两两垂直。
正方体的12条棱可分为3组，每组4条棱互相平行，因此每条棱有且仅有3条棱与它平行；与同一个顶点相连的三条棱互相垂直．
故答案为：3，垂直；
6．B
本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可．
解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①，
故选：B．
7．B
本题主要考查画平行线，解题的关键是掌握在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．平面内经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，据此即可得到答案．
解：经过直线外一点画的平行线，能画出1条平行线，
故选：B
8．B
根据中点的定义，平行线的定义判断即可．
解：过AC的中点D作AB的平行线，
正确的图形是选项B，
故选：B．
本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．①②③
本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定．
解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③，
故答案为：①②③．
10．④②①③
本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答；
解：正确的步骤是：
④用三角尺的一边贴住直线a；
②用直尺紧靠三角尺的另一边；
①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；
③沿三角尺的边作出直线b；
故答案为：④②①③；
11．B
此题考查了平行公理、垂线定义、相交线的性质，根据平行公理、垂线定义、相交线的性质判断即可．
解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项说法正确；
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误；
C．两条直线相交，有且只有一个交点，选项说法正确；
D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，选项说法正确．
故选：B．
12．D
本题考查平行公理，关键考虑点与直线的位置关系．
分点在直线上和不在直线上两种情况，根据平行公理判断．
解：分两种情况讨论：
①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）；
②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）．
∴ 这样的直线有一条或不存在．
故选：D．
13．D
本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键．
解：∵已知，，
∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出，
∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行，
故选：D．
14．A
本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键．
根据平行线的定义进行逐一判定即可．
解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意；
故选A．
15．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键．
解：∵，
∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）
故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
16． 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断．
解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
∴点在一条直线上．
故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
17．
垂直
本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系．
解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，……
∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…，
∵，
∴与的位置关系是垂直．
故答案为：垂直．
18．平行于同一条直线的两条直线互相平行
本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可．
解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行
延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
19．，理由见解析
本题考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线互相平行解答．
解：，理由如下：
，，
（平行公理）．
20．在同一条直线上，见解析，理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可．
解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示．
理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
21．D
此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键．
根据平行线和相交线的概念判断即可．
解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交，
∴不平行于的是选项D．
故选：D．
22．B
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行.
解：∵，，，，…，，
∴由平行线的传递性，.
故选：B
23．A
本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可．
解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．
故选：A．
24．C
本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系．
同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行．
解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况．
只有平行的直线无公共点；
故选：C．
25．C
本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量．
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交．
故选C．
26． 三 相交、平行、重合
本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可．
解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合，
故答案为：三；相交、平行、重合．
27． 平行 相交
本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可求解．
解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交，
故答案为：平行，相交．
28．
本题主要考查了平行线的识别，正方形对边平行，据此可得答案．
解：由题意得，，
故答案为：．
29．(1)见解析
(2)见解析
本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键，
（1）根据所有横线都是平行的作图即可；
（2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：所求图形如图所示．
30．B
本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．
利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论．
解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意；
②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意；
④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意；
∴ 错误的有①和④，共个．
故选：B．
31．A
本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键．
根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可．
解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∵ ，
∴ ．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵ ，
∴．
……
可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
32．
本题考查立体图形中棱的平行关系．平行六面体的侧棱互相平行，因此与一条侧棱平行的棱只有其他三条侧棱．
解：平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，其侧棱均互相平行．对于任意一条侧棱，其余三条侧棱与之平行，故与它平行的棱共有3条．
故答案为：3．
33．③④/④③
根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可．
解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；
⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确．
故答案为③④．
本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键．
34．①⑥
利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥．
①对顶角相等正确；
②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确；
③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
⑤由线段中点的性质，若，点C在AB上，则点C是线段的中点，所以若，则点C是线段的中点不正确；
⑥同角的余角相等正确；
正确的有①⑥．
故答案为：①⑥．
本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键．
35．(1)见解析
(2)见解析
(3)
本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）按照作平行线的方法画图即可；
（2）按照作平行线的方法画图即可；
（3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题．
（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：如图，直线即为所求．
（3）解：，，
，
故答案为：．1.3 平行线
（4大题型突破）
题型一：立体图形中的平行
1．一个四棱柱的棱中，平行的棱至少有（ ）对．
A．2 B．4 C．6 D．10
2．下列说法错误的是（ ）．
A．正方体的所有棱都相等 B．长方体的相对棱平行
C．棱柱的侧棱不一定平行 D．正四面体中没有平行的棱
3．一个长方体的长，宽，高．在这个长方体中，与平行的棱有（ ）条，它们的长度都是（ ）．
A．1，6 B．2，6 C．3，6 D．4，6
4．四棱柱的侧棱都相互 ，共有 条侧棱．
5．在正方体的12条棱中，每一条棱都有且仅有 条棱与它平行．在正方体中，与同一个顶点相连的三条棱互相 ．
题型二：画平行线
6．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②
7．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
8．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）．
10．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）

题型三：平行公理的运用
11．下列说法中可能错误的是（　　）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线相交，有且只有一个交点
D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直
12．已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在
13．如果，，那么，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．同位角相等，两直线平行
C．垂直于同一直线的两条直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
14．下列说法中不正确的是（　　）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
15．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ．
16．如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ．
17．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是 ．
18．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ．
19．如图，，在上取一点，过点作交于点，试说明与的位置关系，并说明理由．
题型四：平面内两条直线的位置关系
20．在同一平面内，直线l的同侧有A，B，C三点，如果，，那么A，B，C三点是否在同一条直线上？画图并说明理由．
21．下列图形中，不平行于的是（ ）
A． B．
C． D．
22．在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行
C．垂直或平行 D．不能确定
23．将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
24．在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直
25．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
26．同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ．
27．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种．
28．如图，从正方形中写出互相平行的边：
29．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作：
(1)过点作的平行线；
(2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点．
30．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
31．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合
32．在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有 条．
33．下列说法正确的有（填序号）： ．
①同位角相等；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
34．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有 ．（填序号）
35．如下图，已知三角形，点P在边上．
(1)过点P画的平行线交于点T；
(2)过点C画；
(3)直线_______（填位置关系）．

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