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2025—2026学年上学期期末考试
九年级数学
一、单选题（本大题共计10小题，每题3分，共计30分）
1.漯河市于被正式命名为“国家卫生城市”．为了进一步巩固创卫成果，近日我市多个小区实行垃圾分类，以下是几种常见的垃圾分类标志图片，其文字上方图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A.当时，随着的增大而减小 B.图象在第一、三象限
C.当时， D.图象经过点
3.如右图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成，
它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4.如右图，若，则下列各式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5.为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从名志愿者（名男生，名女生）中随机抽取人担任活动宣讲员，抽取的恰好是名男生和名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.若二次函数的图象过、、三点，则、、的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（ ）
A. B. C. D.
8.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，顶点，分别在反比例函数与的图像上，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在等边三角形中，是边的中点，动点从点出发沿边匀速运动到点，同时动点从点出发，以相同的速度沿边运动到某一点，再从该点沿直线匀速运动到终点．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图所示，那么当时，的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共计5小题，每题3分，共计15分）
11.如果抛物线有最低点，那么的取值范围是________．
12.如图，正五边形内接于，连接，则的度数为___________．
13.如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是________.
14.如图，在矩形中，，将矩形绕顶点旋转得到矩形，点恰好落在矩形的边上，则扫过的部分（即阴影部分）面积为_________________．
第12小题图 第13小题图 第14小题图
定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么__________．
三、解答题（本大题共计8小题，共计82分）
16.（9分）解方程及计算：
（1）； （2）；
（3）计算
17.（8分）如图，已知：在正方形中，是边的中点，连接．
（1）请用尺规作图法，在上求作一点，使得 （不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（）的条件下，若，求的长．
18.（9分）汉书《淮南万毕术》记载：取大境高悬，置水盆于下，则见四邻．如图左，这句话是说，利用高挂上面的镜子所成的像，再反射到水盆中，借此观察院墙外景象．相关光的路径和围墙等，用几何图形表示如图右，已知点，，，在同一条水平线上，点在围墙的正上方， 于点，于点，，，米，，求点到墙脚的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，，）

19.（10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，．
（1）以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出．
（2）在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形；
（3）与的周长比是___________；面积比是___________．

20.（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，
（1）求的值及点的坐标；
（2）写出时的取值范围；
（3）是轴上一点，且满足的面积等于．求点坐标．

21.（9分）如图，已知中，，平分，交于点，是边上一点，经过点，，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．

22.（10分）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求，的值．
（2）求当时，二次函数的最大值．
（3）现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为，求平移后新的二次函数的表达式．

23.（10分）下面是某数学兴趣小组“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
活动：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图所示，则由，可得．
活动：如图，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则．
任务：
（1）在活动、活动中，判定三角形全等的依据依次是_______，_______ (填序号)．
①；②；③；④；⑤．
（2）如图，在中，，是的两条角平分线，且交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图，在四边形中，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点，若，，当有一个内角是时，直接写出的长．
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