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19.3 二次根式的加法与减法
二次根式的加法与减法
第十九章 二次根式
R·八年级数学下册
1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.
2.理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算.
3.通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习惯．
学习目标
问题1：满足什么条件的根式是最简二次根式？
①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
问题2：化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点？
（1） ， ， ；
（2） ， ， .
化简后被开方数相同
复习回顾
前面我们已经学过单项式加单项式的法则. 观察下图并思考.
a
+
a
a
a
a
=
a
a
a
a
a
由上图，易得2a+3a=5a.
当a= 时，分别代入左右得
当a= 时，分别代入左右得
……
你发现了什么？
探索新知
由特殊到一般依次往下推导，易知二次根式的被开方数相同时可以合并. 继续观察下面的过程：
a
+
b
=
2a+3b
a
b
b
当a= ，b= 时，得2a+3b= .
这两个二次根式可以合并吗？
因为 ，由前面知两者可以合并.
你又有什么发现？
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式（同类二次根式）可以合并.
注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数（式）不变，如：
归纳总结
1.若 和最简二次根式 可以合并，则m=______.
3
2.下列各式中，能与 合并的是（ ）
D
A. B. C. D.
3.下列各组二次根式中，化简后能合并的是（ ）
A. B. C. D.
D
练习
如何计算 ？
问题：所列算式能直接进行加法运算吗？如果不能，把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试（说出每步运算的依据）.
解：
（化简）
（利用分配律合并）
化为最简二次根式
利用分配律合并
整式加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
二次根式的加法与减法：
二次根式加法与减法的运算步骤：
（1）化——将二次根式化为最简二次根式；
（2）找——找出被开方数相同的二次根式；
（3）并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化二找三合并”
归纳总结
例1 计算：
（1） ；
（2） ；
（3） .
解：（1）
（2）
（3）
比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？
二次根式的加减，第一步是化简，第二步是合并被开方数相同的二次根式，第二步类似于整式的加减中的合并同类项.
例2 计算：
（1） ；
（2） .
解：（1）
（2）
有括号，先去括号.
例3 有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
8 dm2
18 dm2
分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
因为 <5，所以这块木板够宽.
解：大正方形木板的边长为 dm.
两个正方形木板的边长的和为( ) dm，而
由 <1.5可知 <7.5，
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
8 dm2
18 dm2
二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别：
二次根式的乘除法 二次根式的加减法
根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减
被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变
化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式
1. 下列计算是否正确？为什么？
【选自教材第14页 练习 第1题】
（1） ；
（2） ；
（3） .
解:（1）不正确. 理由：
=2+3=5， ，
（2）不正确. 理由：
（3）正确，
随堂练习
2. 计算：
【选自教材第14页 练习 第2题】
（1） ；
（2） ；
解：（1）
（2）
2. 计算：
【选自教材第14页 练习 第2题】
（3） ；
（4） .
解：（3）
（4）
3.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和 141.3. 求圆环的宽度d（π取3.14）.
d = 大圆的半径 – 小圆的半径
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r.
由圆的面积公式可得
【选自教材第14页 练习 第3题】
已知a，b为实数，且a+b= 8，ab=8，则 =______.
解析：因为a+b= 8<0，ab=8>0，所以a<0，b<0，
所以
把a+b= 8，ab=8代入上式得，原式= .
拓展提升
二次根式的加法与减法
法则
注意
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
运算原理
运算顺序
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样
课堂小结
下 课
Thanks!
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