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浙江省新阵地教育联盟 2026 届第二次联考 数学试题卷
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分。
考试时间 120 分钟, 本次考试不得使用计算器, 请考生将所有题目都做在答题卡上。
第 I 卷
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是正确的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知向量 ,若 ,则 的值为
A. 6 B. 2 C. -2 D. -6
3. 已知平面 互相垂直，则下列正确的是
A. 若直线 ,则 B. 若直线 ,则
C. 内有无数条直线与 平行 D. 内的所有直线与 都垂直
4. 已知 是定义在 上的奇函数,满足 , 则
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
5. 已知数列 的前 项和为 ,则“ 为等差数列”是“ 为常数列”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 一知识问答竞赛每题有 3 个选项. 甲参加该竞赛有以下情况:若甲掌握该知识，则一定回答正确； 若甲未掌握该知识，则从 3 个选项中随机选择一个作答. 已知甲回答正确的概率为 ，则甲掌握该知识的概率为
A. B. C. D.
7. 已知正实数 ,满足 ,则 的大小关系不可能的是
A. B. C. D.
8. 已知 ,曲线 ,则
A. 当 时,曲线 表示两条直线
B. 当 时,曲线 表示圆
C. ,曲线 过原点
D. ,曲线 不能表示抛物线
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求。全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 设 为复数,其中 ,则下列正确的是
A. B.
C. 若 . 则 D. 若 ,则
10. 已知 ,则下列正确的是
A. 直线 为 的切线
B. 若 ，则
C. 若 在 上单调递增，则
D. 设 为曲线 在 处的两条切线,若 ,则
11. 已知 的面积为 ，若 ， ，则
A.
B.
C. 的外接圆半径为 1 D.
第 II 卷
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 的展开式中，常数项为_____▲_____.
13. 已知椭圆 ，点 ， 分别为椭圆的左、右焦点， ， 是椭圆上位于第一象限内的两点,满足 ,则椭圆 离心率的取值范围是_____▲_____.
14. 已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球 与圆锥的侧面、底面均相切. 球 与球 外切，且与圆锥的侧面相切. 球心 位于圆锥的顶点和 之间，则球 的体积为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为线段 中点， 为线段 上的动点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.
16.(15分)如图，已知直线 ， 是 ， 之间的定点。过 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ，点 为 上的动点，满足 . 设 ， ， .
(1)当 时，求 的长度；
(2)求 面积的最小值.
17. (15 分)为研究主、客场比赛是否影响自身的发挥，甲统计在主、客场进行的 150 场比赛，得到如下列联表:
场地 胜负情况 合计
胜 负
主场 60 40 100
客场 20 30 50
合计 80 70 150
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析胜负情况是否与主、客场有关；
(2)用上述胜负的频率估计甲在两个场地胜负的概率. 现在甲进行 场比赛，规定:若甲胜， 则下一场比赛在甲的主场进行；若甲负，则下一场比赛在甲的客场进行。第一场比赛在甲的主场开始,记第 场比赛甲获胜的概率为 .
(i) 求 :
(ii) 记 ,求 .
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.(17分)已知双曲线 的离心率为 ，且过点 ， 为坐标原点. 设点 ，过 作 的两条切线 (其中直线 的斜率小于直线 的斜率).
(1)求双曲线 的方程；
(2)求 的直线方程；
(3)平面上一动点 ，过 作 的两条切线 与双曲线的左支切于点 ， 与双曲线的右支切于点 与 交于点 与 交于点 . 求直线 与直线 的交点 的轨迹方程.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)当 时，判断函数 的单调性；
(2)当 时，设正项数列 ，其中 为函数 从小到大的第 个极值点，
(i) 证明: 数列 为等比数列;
(ii) 证明: .
浙江省新阵地教育联盟 2026 届第二次联考 数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D B A B D
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BC ACD ACD
三、填空题
12. 24
13.
四、解答题
15.(1)因为 ，且 为线段 中点，所以 .
又因为 底面 平面 ,所以 .
而 ，且 ，因此 平面 3 分
而 平面 ，因此 .
又因为 ，所以 平面 .
而 平面 ,所以平面 平面 .6 分
(2)法一:由(1)可知直线 与平面 所成角为 ， .8 分
因此 . 10 分
不妨设 ,则 ,
所以 13 分
法二: 以 为原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系.
不妨设 ,设 ,则 8 分
,
设平面 的一个法向量 ，
,即 ,令 ,则 , 10 分
则 .
因此 13 分
16.(1)因为 ，且 ，所以 .2 分易知 ，且 ，故 .4 分所以 6 分
(2)因为 ，所以 .
又因为 ，所以 .
故 .8 分
因此 10 分
而 .
12 分
此时 . 故面积的最小值为 15 分
17.(1)零假设 : 胜负情况与主、客场无关，
根据表中数据可得, .3 分
根据小概率值 的 独立性检验,我们推断 不成立,即认为胜负情况与主、客场有关, 该推断犯错的概率不超过 0.05 . .5 分
(2)(i)根据题意设甲在主场获胜的概率为 ，在客场获胜的概率为 .
第 场获胜的概率 ,可能存在两种情况,即第 场甲胜或甲负,
所以 ,即 .7 分
因为 ,
所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列.
所以 10 分
(ii) ,
记 ,
则 ,
两式相减,得 ,
故 ,
则 15 分
18.(1)因为 ，则 ，将点 代入双曲线方程，
得 ,解得 ,则 .2 分
故双曲线方程为 .4 分
(2)设过 的切线方程为 .
与双曲线方程 联立,得 .6 分
,即 . .8 分
故 的直线方程为 .9 分
(3)已知 ，设 ，与双曲线方程 联立，
得 ,需满足 ,即 .
而 ,
解得 . 因为 ,所以 ,即 .
故 ,
切点 ,且 ,即 11 分
当斜率不存在时,切线方程 ,切点 .
故 .
与 联立,得 ,解得 .
与 联立,得 ,解得 14 分
故 ,
所以 .
与 联立,得 ,解得 .
故交点 的轨迹为 17 分
(若使用极点极线结论得到答案 ,得 2 分)
19. ( 1 )已知 的定义域为 1 分
3 分
而 ,故 ,故 .
因此函数 的单调增区间为 .5 分
(2)(i) ，即 .
不妨设 为满足要求的最小极值点,易知 ,
则 或 .
即 或 .
所以 .
因此 ,
又因为 ,故 ,所以 为等比数列. 11 分
(ii) 由题意, ,
①当 为偶数时，
14 分
②当 为奇数时，
综上所述 17 分

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