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2025-2026学年山西省临汾市尧都区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.若，则的值为（　　）
A. B. - C. D.
3.关于x的一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=150°，则∠C的大小是（　　）
A. 75°
B. 80°
C. 105°
D. 100°
5.如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观地描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高.其中合理的是（　　）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④
6.下列说法中，正确的是（　　）
A. 在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大3倍，则cosA也扩大3倍
B. 若α为锐角，，则
C. cos30°+cos45°=cos（30°+45°）
D. 三角形的三边长分别为a,b,c,则
7.在数学活动课中，小丁用自己做的“直角角尺”测量、计算圆的半径.如图所示是“直角角尺”，∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=6，OD=8，则此圆的半径约为（　　）
A. 10
B. 5
C. 8
D. 6
8.在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-2x+3的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（　　）
A. （-1，4） B. （1，2） C. （-1，1） D. （0，2）
9.规定以下两种运算：①f（m,n）=（m,-n），如f（2，1）=（2，-1）；②g（m,n）=（-m,-n），如g（2，1）=（-2，-1）；按照以上运算有：f[g（3，4）]=f（-3，-4）=（-3，4），那么g[f（-3，2）]等于（　　）
A. （-1，2） B. （2，-3） C. （3，2） D. （2，3）
10.如图1是山西平遥推光漆器，图2是选取该漆器上的部分图案并且放大后的示意图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O.则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 2π-4 B. π-2 C. 2π D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.比较大小：4______（填入“＞”或“＜”号）．
12.从数学的观点看，成语“水中捞月”描述的是 （填“必然”“不可能”“随机”）事件.
13.如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过点A（0，4），B（4，4），C（6，2），则该圆弧所在圆的圆心为 .
14.制作山西特色手擀面时，将面团擀成一块矩形面片，其面积为480平方厘米，然后将其均匀切成6根宽为x cm的面条，且每根面条的长比宽多16cm,则可列一元二次方程为 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=10，tanB=，E，D分别为AB，AC边上的点，且∠B=2∠AED，BE=AD，则AD的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：；
（2）解方程：x2+6x-7=0.
17.(本小题7分)
2025年山西暑期非遗研学活动热度高涨，山西省非遗文创馆推出”亲手传艺”互动体验环节，让青少年近距离感受三晋非遗魅力.游戏规则如下：
现场设置3项山西经典非遗体验任务，对应3张背面完全相同的任务卡，正面分别标注“捏花馍”（晋南特色非遗）、“推光漆器”（太原传统技艺）、“剪纸”（山西广泛流传非遗）.参与者先随机抽取1张卡片，记录任务后放回摇匀，再随机抽取1张卡片，根据两次抽取结果完成对应的非遗体验任务，请用列表法或画树状图的方法，求两次抽取的卡片恰好都是“捏花馍”任务的概率.
18.(本小题8分)
如图，已知AB为⊙O的直径，点C、F均为⊙O上一点，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，延长AB、DC交于点E，若点C是弧BF的中点，连接BC，CF.求证：CD是⊙O的切线.
19.(本小题9分)
已知函数.
（1）填下表并在所给坐标系中画出这个函数的图象；
x 0 1
y 0 0
（2）利用函数图象直接写出的解集；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围是______.
20.(本小题8分)
永和红枣作为山西省永和县特产，其种植历史可迫溯至唐代，以核小、皮薄、肉厚、无虫蛀、无公害为显著特点.某电商选择了销售永和特产红枣，其进价为每箱40元.按每箱60元出售，平均每天可售出120箱.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20箱.若该电商销售这种红枣，要想平均每天获利2520元.
（1）每箱红枣应定价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下为尽可能让利于顾客赢得市场，应按原售价的几折出售？
21.(本小题8分)
旅游开发是人类的活动之一，传统的观光旅游占有重要地位，某区管委会计划开发风景优美的景点，聘请了技术小组抽象出数学模梨如下表：
问题情境 数学模型图（示意图）
该市郊外一条笔直的公路经过点A、B两个景点，景区管委会计划开发景点C
测量数据 ∠CDB=90°，∠CAD=30°，∠CBD=45°，AD=4km
问题解决：
（1）该技术小组将实际问题抽象出数学模型图，然后利用三角函数解决问题，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出一个即可）；
A.分类讨论B.转化思想C.数学建模D.公理化思想
（2）求出景点A到景点C及景点B到景点C的距离.
22.(本小题12分)
如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽AB=12m时，桥洞顶部离水面4m.若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系.
（1）请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式；
（2）如图2，若拱桥上的路面E-D-F也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：.
①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离CD的长度；
②已知桥上路面起点E的横坐标为-2，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由.
23.(本小题13分)
综合与探究
问题情境：
如图1，已知点E在正方形ABCD的边BC上，点G在边AB的延长线上，正方形BEFG与正方形ABCD有公共点A，连接AE、DF.
问题解决：
（1）如图2，连接BD、BF，则BD和BF的位置关系是______；DF和AE的数量关系是______.
操作探究：
（2）如图3，将正方形BEFG绕点B按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），试探究（1）中DF和AE的数量关系是否仍然成立，并说明理由.
（3）如图4，将正方形BEFG绕点B按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），使点G、F、D恰好在同一条直线上，若AB=4，，求AE的长.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】＜
12.【答案】不可能
13.【答案】（2，0）
14.【答案】6x（x+16）=480
15.【答案】
16.【答案】 x1=1，x2=-7
17.【答案】．
18.【答案】连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠BAC=∠FAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA（等边对等角），
∴∠OCA=∠FAC，
∴OC∥AF（内错角相等，两直线平行），
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线．
19.【答案】-1，2，1，1；函数的图象如下：
-1＜x＜2 -2＜y≤
20.【答案】每箱红枣应定价54元或58元 应按原售价的九折出售
21.【答案】C 景点A到C的距离为，景点B到C的距离为km
22.【答案】（6，4），；
①1m；②点E在水平面上方，理由：将E点横坐标x=-2代入，得，
则，
当水面宽为10m时，
将x=1代入，得，
因为，所以点E在水平面上方
23.【答案】BD⊥BF;DF=AE DF和AE的数量关系仍然成立；理由如下：
如图3，连接BD，BF，
由（1）知∠ABD=∠EBF=45°，==，
∵∠ABD-∠EBD=∠ABE，∠EBF-∠EBD=∠DBF，
∴∠ABE=∠DBF，
∴△DBF∽△ABE，
∴==，
∴
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