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2025-2026学年福建省龙岩市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列体育运动图案中是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性.它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2 20nm.已知20nm=0.00000002m,用科学记数法表示0.00000002为（　　）
A. 0.2×10-7 B. 0.2×10-8 C. 2×10-7 D. 2×10-8
3.在平面直角坐标系中，点A（3，-4）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是（　　）
A. （3，4） B. （-3，-4） C. （-3，4） D. （4，-3）
4.下列各式中正确的是（　　）
A. a2+a2=2a4 B. （-2a2）3=-6a6 C. a6÷a3=a2 D. a2 a3=a5
5.已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（　　）
A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17
6.下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　）
A. （a+b）（a-b） B. （m-1）（1-m）
C. （-2x+1）（-2x-1） D. （x+p）（p-x）
7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD为角平分线，BC=10，S△ABD：S△ACD=3：2，P为直线AB上一动点，连接PD，则线段PD长的最小值是（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
8.某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺ACB斜边的中点O处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的.他们得出结论的依据是（　　）
A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 三线合一 D. 等边对等角
9.张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地.张华在前半段路程的平均行走速度是a km/h,在后半段路程的平均行走速度是bkm/h；李明全程的平均行走速度是.如果a≠b,那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（　　）
A. 张华先到达 B. 李明先到达 C. 两人同时到达 D. 谁先到达无法确定
10.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D.下列结论错误的为（　　）
A. ∠B=∠DCB B. ∠BDC=90° C. DB=DC D. AD+DC=BC
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：|-2|-（π-1）0= .
12.已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB= ______．
13.若分式有意义，则实数x的取值范围是 .
14.如图，从A处观测C处仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C外观测A、B两处时视角∠ACB= ______度．
15.命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
16.已知a2=b+5，b2=a+5，且a≠b,则ab的值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）（a+3）（a-2）；
（2）（2x-5）2.
18.(本小题8分)
因式分解：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）x2-2x-8.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中x=3.
20.(本小题8分)
如图：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AB=DE，
求证：AC=DF．
21.(本小题8分)
铁包公快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物多用小时.求这台机器人每小时可分拣多少件货物？
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上.
（1）如图1，作出△ABC关于x轴对称的△DEF（点A，B，C的对称点分别是点D，E，F），请直接写出点D的坐标为（______，______）；
（2）请你仅用没有刻度的直尺完成下列作图：
（i）如图1，作出△ABC的重心G；
（ii）如图2，在x轴上作出点P，使∠PAB=45°.
（要求保留作图痕迹，不写作法）
23.(本小题10分)
如果一个正整数m能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数m为“可乐数”.例如：3=22-12，8=32-12，64=102-62，所以3，8，64都是“可乐数”.
（1）在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有______；（填序号）
（2）求证：当正整数n≥1时，m=2n+1是“可乐数”；
（3）把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”.
24.(本小题12分)
阅读材料，回答问题.
“最短路径问题”再探究
材料1 在八年级上学期的“综合与实践——最短路径问题”中，我们利用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识对最短路径问题进行探究.接下来，我们循着这个思路，继续探究一些问题.
材料2 学校及周边的设施的平面图上，如果将道路抽象成线，建筑物抽象成点，那么就可以将一些问题转化成数学问题来解决.
材料3 如图是某学校平面图的一部分，A处是校门，B处是教学楼，C处是办公楼，△ABC是等边三角形，两条主干道AB和CE恰好互相垂直.
任务
任务1 在教学楼B和办公楼C之间有一教学楼D，且CD=BD.现矿泉水公司欲在主干道CE上的某处建一个供水点P，使得供水点P与教学楼B和与教学楼D的距离之和最短，请在图中画出符合条件的点P，此时∠PBA= ______°.
任务2 如图，在主干道E处有一条通往道路AC的小道FE（点F在AC上，∠CFE是锐角），学校想在△CFE区域建一个三
角形的宣传栏△KMN，使点K在FE上，点M在CF上，点N在CE上，为节省资金，△KMN周长需最小.若CE=a,CF=b,EF=c,求△KMN周长的最小值（用a,b,c表示）；
小马同学是这样想的：分别作点K关于AC和CE的对称点K1和K2，连接K1K2，CK1，CK2，则△KMN周长的最小值即为K1K2的长度…
请你画出图形并继续解答.
任务3 大型住宅小区的大门G与学校间隔一条大道，大道的边缘a,b互相平行.为了让小区住户的学生上学安全，开发商想在小区与学校之间建一座天桥RS（天桥与道路垂直，点R在大道边缘a上，点S在大道边缘b上），使从G到A的路径GRSA最短，天桥应建在哪里？请帮开发商画出设计方案的示意图并简要说明理由.
25.(本小题14分)
在△ABC和△CEF中，AB=AC，EC=EF.
（1）如图1，若∠BAC=∠CEF=60°，连接BE，AF.
①求证：BE=AF；
②设BE和AF的交点为点P，求证：PC平分∠BPF；
（2）如图2，若∠BAC+∠CEF=180°，连接BF，设BF的中点为点M，连接AM，EM，求证：AM⊥EM.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】6
13.【答案】x≠3
14.【答案】15
15.【答案】真
16.【答案】-4
17.【答案】a2+a-6 4 x2-20x+25
18.【答案】4ab2（2a2+3bc） （x+2）（x-4）
19.【答案】x+1，4．
20.【答案】证明：∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF，
∵AB∥ED，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF．
21.【答案】这台机器人每小时可分拣3000件货物．
22.【答案】4;-4 （i）
（ii）

23.【答案】①② 证明：∵（n+1）2=n2+2n+1，
∴2n+1=n2+2n+1-n2=（n+1）2-n2
即2n+1能表示为两个正整数n+1和n的平方差，
∴当正整数n≥1时，m=2n+1是“可乐数” 2704
24.【答案】30
25.【答案】①∵AB=AC，EC=EF，∠BAC=∠CEF=60°，
∴△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CF，∠BCA=∠ECF=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠FCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴BE=AF；②过点C作CG⊥BE，垂足为G，过点C作CH⊥AF，垂足为H，如下图，
则∠BGC=∠AHC=90°，
由①可知△BCE≌△ACF，
∴∠CBE=∠CAF，
又∵CB=CA，
∴△CBG≌△CAH（AAS），
∴CG=CH，
∴点C在∠BPF的平分线上，即PC平分∠BPF 延长AM至点N，使得MN=AM，连接NF，EA，EN，
∵点M为BF的中点，
∴BM=FM，
在△ABM和△NFM中，
，
∴△ABM≌△NFM（SAS），
∴AB=NF，∠NFM=∠ABM，
又∵AB=AC，
∴AC=NF，
设∠BAC=α，
∵∠BAC+∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°-α，
∵AB=AC，
∴，
∵EC=EF，
∴，
设∠CBF=β，∠CFB=γ，
则∠NFM=∠ABM=∠ABC+∠CBF=90°-+β，
∴∠ACE=360°-∠ACB-∠BCF-∠ECF
=
=90°+β+γ，
∠NFE=∠EFC+∠CFB+∠MFN
=
=90°+β+γ，
∴∠ACE=∠NFE，
在△ACE和△NFE中，
，
∴△ACE≌△NFE（SAS），
∴AE=NE，
又∵MN=AM，
∴EM⊥AN，即AM⊥EM
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