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2025-2026学年河北省唐山市迁安市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图象是反比例函数图象的是（　　）
A. B.
C. D.
2.在下列事件中，不可能事件是（　　）
A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球
C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心
3.上马石是古人上下马的工具，形状如图①.它可以看作图②所示的几何体，该几何体的左视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
4.已知反比例函数的图象如图，则m的值可以是（　　）
A. -3
B. -2
C. -1
D. 0
5.如图是人行天桥的示意图，高BC=10米，斜坡AC=20米，则斜坡AC的坡度为（　　）
A. B. 1：2 C. D. ∠ACB=60°
6.如表是甲、乙两名同学的5次1分钟引体向上成绩.下列结论表述正确的是（　　）
1 2 3 4 5
甲（次数） 7 8 5 8 7
乙（次数） 9 5 7 8 6
A. 甲、乙两名同学平均数分别是5次和7次 B. 甲同学的众数是8次，乙同学没有众数
C. 甲、乙两名同学中位数分别是5次和7次 D. 甲同学发挥的较稳定
7.如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　）
A. -2 B. ±2 C. ±1 D. 1
8.已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几组数值，下列结论不正确的是（　　）
x … -2 0 1 2 3 …
y … 0 -8 -9 -8 -5 …
A. 图象的对称轴为直线x=1 B. 当x=1时，y有最大值是-9
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x=-1时，y=-5
9.琪琪在地面上画出等边△ABC，先把三根等长、等粗的木棍分别钉在三个顶点处，然后以三根木棍为支架做一个圆形茶桌，如图，经测量AB=AC=BC=30cm,则圆形茶桌面的最小面积是（　　）
A. 30πcm2
B. 300πcm2
C. 600πcm2
D. 900πcm2
10.主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，已知舞台长AB=4米，则主持人应走到离A点多远处效果最好（保留一位小数）（　　）
A. 2.4米 B. 2.5米 C. 2.4米或1.6米 D. 2.5米或1.5米
11.家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）
A. 30° B. 35° C. 38° D. 46°
12.已知点P是⊙O外一点，甲、乙两位同学用尺规过点P作⊙O的切线PM.如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（　　）
A. 甲对，乙错 B. 乙对，甲错 C. 甲乙都对 D. 甲乙都不对
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.现有羽毛球，乒乓球，踢腿子3类体育活动供学生选择，小明随机选择一类活动，则选中“乒乓球”的概率是 .
14.已知a、b是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，则代数式ab2+a2b的值是 .
15.如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB∥PC，且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP= °.
16.如图，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，连接OA、OB、AB.若OA⊥OB，且tan∠OBA=，则k的值是 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
已知：关于x的一元二次方程x2+3x-2k=0.
（1）直接写出当方程有两个相等的实数根时k的值；
（2）若k=2，请解方程.
18.(本小题7分)
【生活情境】为了测量树AB的高度，嘉嘉给出两个解决方案：
方案一：如图1，嘉嘉经反复调整后，使长为2米的标杆DE影子的顶端与树AB影子顶端C重合，此时测得标杆的影长CE=3.2米，树AB的影长BC=15米.
方案二：如图2，嘉嘉站立点C与树的距离BC=10米，眼睛D观测树的顶端A的仰角为37°，嘉嘉的眼睛离地面是1.6米.
【解决问题】请选择你认为可行的一种测量方案，求树AB的高.
（参考值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，结果保留整数.）
19.(本小题8分)
期中考试结束，某校数学老师统计了本班55分至65分的10名学生成绩，绘制成统计图1.
（1）直接写出10名学生成绩的众数和中位数；
（2）计算10名学生本次数学成绩的平均分；
（3）该教师想对本次成绩在55分及以上，60分以下的“潜力生”分两组加强辅导，嘉嘉和淇淇本次数学成绩分别是55分和57分，嘉嘉列表法分析她和淇淇分到一组的概率.请补全嘉嘉的列表2，并求出他们同组的概率是多少？
20.(本小题9分)
如图，点A（3，4）是反比例函数在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数的图象于点P，若设OB所在直线的解析式为y=mx（x＞0）.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点B坐标；
（3）依据图象，直接写出不等式的解集.
21.(本小题9分)
如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连结BE.
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）求证：∠EBD=90°
（3）直接写出sin∠BED的值.
22.(本小题10分)
随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题.政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示.已知AB=41m,AD=30m,阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为xm的车道.已知硬化的面积为630m2.
（1）求车道的宽度x的值；
（2）该停车场共有56个车位，据调查分析，当每个车位日租金为10元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位.每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？
23.(本小题10分)
月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图1是一圆弧形的月洞门.图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计原理图，若月洞门所在圆与地面BD相切于点E，四边形ABDC是一个矩形，已知AB=0.4m,BD=1.6m.
（1）在图2中用尺规画出月洞门所在圆的圆心O；
（2）求月洞门最高点到地面的距离；
（3）若要在月洞门外侧（即优弧）安装一圈灯带，求灯带的长度.（参考值：）
24.(本小题12分)
如图1，已知抛物线，把此抛物线沿x轴折叠，得到抛物线L2.
（1）当抛物线L1经过原点时，直接写出m的值；
（2）当抛物线L1和L2有且只有一个公共点，求m的值；
（3）若抛物线L1经过（2，-3）.
①求抛物线L2的函数解析式和顶点坐标；
②直线L3：y=n与L1、L2分别交于点P、Q、M、N，如图2，直接写出PQ=2MN时n的值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】C
12.【答案】C
13.【答案】
14.【答案】-6
15.【答案】60
16.【答案】-8
17.【答案】 x1=-4，x2=1
18.【答案】方案一：∵DE∥AB，
∴△CED∽△CBA，
∴=，
∴=，
∴AB=≈9（米）；
方案二：过点D作DH⊥AB于点H．则四边形DCBH是矩形．
∴CD=BH=1.6米，CB=DH=10米，
在Rt△ADH中，AH=DH tan37°=10×0.75=7.5（米），
∴AB=AH+BH=7.5+1.6≈9（米）．
19.【答案】众数是63，中位数是60 60.2分 补全嘉嘉的列表2，
嘉嘉和淇淇同组的概率是
20.【答案】y= （8，4） 0＜x＜
21.【答案】证明：将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在AB上，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACB=∠DCE，
∴，
∵∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE 证明：∵△ACD∽△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=∠CBE+∠ABC=90°，
∴∠EBD=90°
22.【答案】车道的宽度x的值为6 每个车位日租金上涨9元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为722元
23.【答案】如图，点O即为所求； 设直线OE交优弧AC于点M，交AC与点N，设OA=OE=OM=r m．
由题意四边形ABDC是矩形，
∴AB=CD=EN=0.4m，AC=BD=1.6m，
∵OE⊥AC，
∴AN=NC=AC=0.8m，
在Rt△AON中，r2=（r-0.4）2+0.82，
解得r=1，
∴MN=0.8+0.6=1.4（m），
答：月洞门最高点到地面的距离为1.4m ∵ tan∠AON===，
∴∠AON=53°，
∵OE⊥AC，
∴=，
∴∠AOE=∠COE=53°，
∴∠AOC=106°，
∴优弧AC的长==π（m），
答：灯带的长度为πm
24.【答案】m=-3 m=-2 ①顶点坐标为（1，4）；②
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