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2025-2026学年河北省石家庄市鹿泉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花.单片雪花的重量其实很轻，约为0.0003kg,数据0.0003用科学记数法表示为（　　）
A. 0.3×10-3 B. 3×10-3 C. 0.3×10-4 D. 3×10-4
3.下列运算正确的是（　　）
A. a3 a2=a6 B. ab2÷ab=b
C. （m-n）2=m2-n2 D. （-3x3y）2=9x9y2
4.在同一平面直角坐标系中，若点（-3，4）与点（a2，b2）关于y轴对称，则（a+b）（a-b）=（　　）
A. -1 B. 1 C. 7 D. -12
5.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（　　）
A. 1m B. 2m C. 3m D. 4m
6.如图所示，△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E.若AE=3，则△ABC的边长为（　　）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
7.如图，AD和BC相交于点E，已知AE=CE，则添加下列条件仍不能判定△ABE≌△CDE的是（　　）
A. AB=CD
B. BE=DE
C. ∠A=∠C
D. ∠B=∠D
8.若a+b=3，x+y=1，则a2+2ab+b2-x-y+5的值是（　　）
A. 9 B. 7 C. 13 D. 14
9.在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB≠AC，若用无刻度的直尺和圆规在BC上找一点D，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中，正确的有（　　）
A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①②③
10.如图，在纸片△ABC中，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠至△ADB′，∠ACB=2α，连接CB′，CB′平分∠ACB，则∠ABD的度数是（　　）
A. B. 60°+α C. D. 90°-α
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：（π-3.14）0+2-1= .
12.请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是______．
13.已知a+b=5，ab=3，=______．
14.如图，线段AB，AC的垂直平分线m,n相交于点O.连接OB，OC，若∠BOC=86°，则∠1= °.
15.如图，在△ABC中，BC=BA=36，∠C=15°，AD平分∠BAC，点E、F分别是射线AD和线段AC上的动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
解答下列各题：
（1）计算：（x+2）2+x（x-4）；
（2）分解因式：x2（m-n）+y2（n-m）.
17.(本小题9分)
先化简，再求值：，其中x=-2，y=1.
18.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC=31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数．
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点（不与点B，C重合），将DA沿直线BC翻折得到DE，将BD平移得到EF（点B与点E为对应点），连接DF.
（1）求证：△ADB≌△DEF；
（2）连接CF，若在点D的运动过程中，始终有AD=CF，写出△ABC需要满足的条件，并证明.
20.(本小题9分)
如图，△ABC中，∠ABC=90°.
（1）用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：
在AC边上求作点Q，使得QB=QC；
（2）在（1）的条件下，连接BQ，若∠C=60°，BQ=5，求AC长.
21.(本小题9分)
“冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多.某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱.
（1）求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？
（2）该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱.第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了20%，长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？
22.(本小题9分)
把完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2适当的变形，如：（a+b）2=（a-b）2+4ab等，这些变形可解决很多数学问题.
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值.
解：因为a+b=3，ab=1，所以（a+b）2=9，2ab=2
即a2+b2+2ab=9，2ab=2，所以a2+b2=7.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题.
（1）①若2m+n=3，mn=1，且2m＞n,则2m-n=______；
②我们知道（2-m）-（5-m）=-3，若（2-m）（5-m）=3，则（2-m）2+（5-m）2=______.
（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AB=5，两个正方形的面积和为15，设AC=x,BC=y,求图中阴影部分的面积.
23.(本小题12分)
探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，则∠ADB+∠ADE=______度；
（3）如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E、点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC=60°，猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】（答案不唯一）
13.【答案】
14.【答案】43
15.【答案】18
16.【答案】2x2+4 （m-n）（x+y）（x-y）
17.【答案】解：
=1-
=
=
=，
当x=-2，y=1时，原式=．
18.【答案】解：∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=25°，∠BAC=31°，
∴∠ACD=25°+31°=56°．
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵∠ACD=56°，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=28°，
∴∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118°．
19.【答案】（1）证明：∵将DA沿直线BC翻折得到DE，
∴∠ADB=∠EDB，AD=DE，
∵将BD平移得到EF，
∴BD=EF，BD∥EF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴∠ADB=∠DEF，
在△ADB与△DEF中，
，
∴△ADB≌△DEF（SAS）；
（2）AB=AC，
证明：如图，
∵将DA沿直线BC翻折得到DE，
∴∠ADC=∠EDC，AD=DE，
∵将BD平移得到EF，
∴BD∥EF，
∵AD=CF，
∴ED=FC，
∴四边形CDEF是等腰梯形，
∴∠EDC=∠FCD，
∴∠FDC=∠ADC，
∴AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴DF=AC，
由（1）知：△ADB≌△DEF，
∴DF=AB，
∴AB=AC．
20.【答案】解：（1）如图，作线段BC的垂直平分线，交AC于点Q，
则点Q即为所求．
（2）∵QB=QC，∠C=60°，
∴△BCQ为等边三角形，
∴BC=BQ=5．
∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-90°-60°=30°，
∴AC=2BC=10．
21.【答案】解：（1）设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为2x元，根据题意，得
-=5，
解得x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
∴2x=2×20=40．
答：圆萝卜每箱售价为40元，长萝卜每箱售价为20元；
（2）设圆萝卜打了m折，根据题意，得
（40×200+20×300）-[40××200×（1+20%）+20×（300-50）]=840，
解得m=8.5．
答：圆萝卜打了八五折．
22.【答案】1;15 （2）5
23.【答案】解：（1）CE∥AB，
理由如下：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE=60°，
∴AB∥CE；
（2）180；
（3）结论：BE=AE+EC，
理由如下：如图3， 在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=60°，
∵∠BEC=60°，
∴∠BAO=∠OEC=60°，
∵∠AOB=∠EOC，
∴∠ABH=∠ACE，
在△ABH和△ACE中，
，
∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，
∴∠HAE=∠BAC=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE=EH，
∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+EC．
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