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2025-2026学年黑龙江省佳木斯市同江三中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程2x2-3x-1=0的二次项系数、常数项分别为（　　）
A. 2，-1 B. 2，1 C. -3，-1 D. 3，1
2.下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.某商场一月份的利润是50万元，三月份的利润是60.5万元，设利润平均每月增长率为x,则依题意列方程为（　　）
A. 50+50x=60.5 B. 50（1+x）=60.5
C. 50[1+（1+x）+（1+x）2=60.5 D. 50（1+x）2=60.5
4.下列事件中是随机事件的个数为（　　）
（1）守株待兔；
（2）拔苗助长；
（3）海枯石烂；
（4）日出东方；
（5）心想事成；
（6）水中捞月.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（　　）
A. 10π B. 12π C. 15π D. 20π
6.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0），（3，0），（0，-5）.则当x=2时，y的值为（　　）
A. -3 B. -4 C. -5 D. -6
8.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
9.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+4上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m,n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　）
A. m+n=1
B. m-n=1
C. mn=1
D.
10.如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（　　）
A. 8
B. 8.5
C. 9
D. 9.5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.从3名男生和2名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号是男生的概率为 .
12.点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是______．
13.二次函数y=2（x-1）2-7的顶点坐标是 .
14.如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠C= ______度．
15.把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 .
16.如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC= ______°．
17.如图，在扇形OEF中，∠EOF=90°，正方形ABCD的顶点C是弧EF的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，正方形ABCD的边长为1，则图中阴影部分的面积为______．
18.如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
19.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是___________．
20.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（-1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2025为止，则点A2025的坐标为 .
三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
解方程：
（1）x2-4x=2；
（2）x（x+3）=2（x+3）
22.(本小题6分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，-4），B（4，-4），C（1，-1）.
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，直接写出线段AB扫过的面积（结果保留π）.
23.(本小题6分)
如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A（1，0），C（3，0），交y轴于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标.
24.(本小题8分)
学生对小区居民的健身方式进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查______人；
（2）补全图（1）中的条形统计图，图（2）中“跑步”所在扇形对应的圆心角度数是______；
（3）估计2000人中喜欢打太极的大约有多少人？
25.(本小题8分)
已知：反比例函数和一次函数y=2x-1相交于点A（m,5）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出两个函数的另外一个交点B点的坐标；
（3）根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围______.
26.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC，交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）若点A的坐标为（0，-2），点D的坐标为（4，0），求⊙F的半径；
（3）直接写出线段AG，AD，CD之间满足的数量关系，不用证明.
27.(本小题8分)
已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF=S△ABC；
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
28.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根（OA＞OB）．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】（3，-4）
13.【答案】（1，-7）
14.【答案】40
15.【答案】y=-（x+1）2-3
16.【答案】125
17.【答案】π-
18.【答案】2-2
19.【答案】（-2，0）或（2，10）
20.【答案】（31013，0）
21.【答案】解：（1）x2-4x=2，
x2-4x+4=2+4，
（x-2）2=6，
x-2=，
x1=2+，x2=2-；
（2）x（x+3）=2（x+3），
x（x+3）-2（x+3）=0，
（x+3）（x-2）=0，
x+3=0，x-2=0，
x1=-3，x2=2．
22.【答案】如图，△A1B1C1即为所求 如图，△A2B2C2即为所求； 3π
23.【答案】抛物线的解析式为：y=x2-4x+3 P（2，1）
24.【答案】（1）50；
（2）36° ；
（3） 2000×=120（人）．
答：估计2000人中喜欢打太极的大约有120人．
25.【答案】y= B（-，-6） -＜x＜0或x＞3
26.【答案】证明：如图1，AE平分∠BAC，连接EF，
∴∠FAE=∠CAE，
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∴∠FEA=∠CAE，
∴FE∥AC，
∴∠FEB=∠C=90°，
∵EF是圆的半径，
∴BC是⊙F的切线 ⊙F的半径为5 AG=AD+2CD
27.【答案】解：（1）显然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都为等腰直角三角形，且全等，
则S△DEF+S△CEF=S△ABC；
（2）图2成立；图3不成立．
图2证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN=AC，MD=BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME与△DNF中，
∵，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME=S△DNF，
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四边形DMCN=S△ABC，
∴S△DEF+S△CEF=S△ABC．
图3不成立，连接DC，
证明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）
∴S△DEF=S五边形DBFEC，
=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+，
∴S△DEF-S△CFE=．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC．
28.【答案】解：（1）x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
过D作DE⊥y于点E，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∠DAE+∠OAB=90°，
∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°=∠AOB，
在△DAE和△ABO中，，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴DE=OA=4，AE=OB=3，
∴OE=7，
∴D（4，7）；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，
同上可证得△BCM≌△ABO，
∴CM=OB=3，BM=OA=4，
∴OM=7，
∴C（7，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
代入B（3，0），C（7，3）得，，
解得，
∴y=x-；
（3）存在，如图，
点P与点B重合时，P1（3，0），
点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．
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