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2025-2026学年山东省临沂市兰山区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数学之美，美不胜收.如图所示的4个图案中，属于轴对称图形的是（　　）
A. 阿基米德螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线
2.华为品牌是我们的民族骄傲.目前，华为手机自主研发了最新型号麒麟9000系列芯片，其晶体管栅极的宽度约为0.0000000052米，将数据0.0000000052用科学记数法表示为（　　）
A. 5.2×10-8 B. 52×10-7 C. 0.52×10-6 D. 5.2×10-9
3.下列式子中，能用平方差公式计算的是（　　）
A. （a+4）（4+a） B. （-2x-y）（-2x+y）
C. （m-1）（m+2） D. （-p-q）（p+q）
4.下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解，并且因式分解正确的是（　　）
A. ma+mb-c=m（a+b）-c B. a3-a=a（a2-1）
C. 9x2+y2-6xy=（3x-y）2 D. （x+1）（x+3）=x2+4x+3
5.下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
6.如图，点E，F在AD上，AB∥CD，AB=CD，增加下列一个条件：①∠B=∠C；②AE=DF；③BF=CE；④∠AFB=∠DEC.其中能判△ABF≌△DCE的条件个数有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7.如果关于x的方程的解为非负数，则k的取值范围是（　　）
A. k≥-9 B. k≥-9且k≠3 C. k＞-9且k≠-3 D. k≥-9且k≠-3
8.3（22+1）（24+1）（28+1） （232+1）+1的个位数是（　　）
A. 6 B. 8 C. 4 D. 2
9.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，CF⊥AB于点F，点D，E是边AC，BC上的两个动点，在运动过程中，当满足CE=AD时，连接DE.下列结论：①AB=2CF；②DF=EF；③∠DEF=45°；④DE的长度是定值；⑤△DEF的面积最大值为1.其中正确结论的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，若∠AOB=∠COD=60°，AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①∠AMB=60°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD.其中正确的结论是（　　）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若9x2-kxy+25y2是一个完全平方式，则k的值为 .
12.若分式的值为0，则x的值为 .
13.如图，∠AOE=15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C.若EC=5，则OD的长为 .
14.如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解： .
15.杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列（如图）.观察下面的杨辉三角：
请按照前面式子的规律，写出（a+b）6= .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
（1）计算：a8 a-2-（-3a3）2-2a10÷a4；
（2）计算：（a-b+1）（a-b-1）；
（3）因式分解：（a2+1）2-4a2.
17.(本小题8分)
（1）解方程：；
（2）先化简分式，然后从-2＜x＜2的范围内取一个合适的整数作为x的值代入求值.
18.(本小题8分)
求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图，在△ABC中，______.
求证：______.
证明：
19.(本小题10分)
如图1是2026年1月份的月历，用“反Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），如图2，将“反Z”字型框架中位于B，D处的数相乘，位于A，E处的数相乘，得到的值再相减，不难发现，结果都等-13，例如：在图1中，19×5-18×6=-13，16×2-3×15=-13.设位于C处的数为x.
（1）用含x的代数式表示位于A，B，D，E处的数：A______，B______，D______，E______；
（2）用含x的式子表示发现的规律：______；
（3）利用整式的运算对（2）中的规律加以证明；
（4）如图3，若长方形方框框住4个数字，右上角的数和左下角的数乘积为72.请求出a的值.（提示：可用因式分解的方法）
20.(本小题8分)
临沂炒鸡作为齐鲁名菜，其独特风味已经家喻户晓.在临沂某美食街有一家小餐馆和一家大餐馆都主营炒鸡.已知小餐馆每小时炒制x份炒鸡，大餐馆每小时比小餐馆多炒制5份，在某一特定的营业时段内，大餐馆炒制30份炒鸡所用的时间和小餐馆炒制20份炒鸡所用的时间相同.求大小餐馆每小时各炒制多少份炒鸡？
21.(本小题10分)
【材料阅读】
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0可求出多项式x2+bx+c的最小值.
例：求多项式x2-4x+5的最小值.
解：x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1，因为（x-2）2≥0，所以（x-2）2+1≥1.当x=2时，（x-2）2+1=1，因此（x-2）2+1有最小值，最小值为1，即x2-4x+5的最小值为1.
像这样，先添加一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
【问题解决】
（1）若a+b=5，ab=6，请利用上面所学知识求值：①a2+b2；②a4+b4；
（2）已知x是实数，M=2x2-8x+10，请用配方法求M的最小值；
（3）某养殖场要将一块长为12米、宽为10米的长方形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，问：当x取何值时，长方形区域的面积S最大？最大值是多少？
22.(本小题10分)
【教材呈现】人教版八年级上册数学教材133页有“阅读与思考”：
根据多项式的乘法法则，可知（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq.
那么，反过来，也有x2+（p+q）x+pq-（x+p）（x+q）.
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式.
例如，因式分解x2+3x+2这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，符合x2+（p+q）x+pq类型，于是有x2+3x+2=（x+1）（x+2）这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
这样，我们也可以得到|x2+3x+2=（x+1）（x+2）.
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.
【知识应用】
（1）直接写出分解因式的结果：
①x2-5x-24= ______；
②x2+8xy+12y2= ______；
（2）因式分解（x2+x）2-（x2+x）-2；
【拓展提升】
（3）因式分解x2y+x2-3xy+xy2-4y2.
23.(本小题12分)
某数学兴趣小组在研究等边三角形时，做了以下探究：
已知∠MON=120°，作∠MON的平分线OP，点Q为OP上的定点.
小明：如图2，作QA⊥OM交OM于点A，作QB⊥ON交ON于点B，根据角平分线的性质，可知QA=QB.根据四边形内角和为360°，可知∠AQB=60°，则△QAB为等边三角形；
小红：如图3，将图2中△QAB绕点Q逆时针旋转（旋转过程中，图形的大小、形状均保持不变），边QA的延长线与OM交于点C，边QB的延长线与ON交于点D，连接CD，△QCD仍为等边三角形；
小华：在上述旋转过程中，QO与CO，OD之间存在某种特定的数量关系.
（1）在图1中利用尺圆规作图，作∠MON的角平分线OP（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）请证明小红的猜想；
（3）QO与CO和OD之间的数量关系______，请证明你的结论.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】±30
12.【答案】3
13.【答案】10
14.【答案】x2+3x+2=（x+1）（x+2）
15.【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
16.【答案】-10a6 a2-2ab+b2-1 （a-1）2（a+1）2
17.【答案】x=-6 ，当x=0时，原式=-1
18.【答案】∠ACB=90°，∠BAC=30° BC=AB
19.【答案】x-6;x-7;x+7;x+6 （x+7）（x-7）-（x+6）（x-6）=-13 证明：（x+7）（x-7）-（x+6）（x-6）=x2-49-（x2-36）=-13 5
20.【答案】小餐馆每小时炒制10份炒鸡，大餐馆每小时炒制15份炒鸡．
21.【答案】①13；②97 M有最小值2 当x=1时，S最大，最大值为121平方米
22.【答案】（x-8）（x+3）;（x+6y）（x+2y） （x+2）（x-1）（x2+x+1） （x+y）（xy+x-4y）
23.【答案】∠MON的角平分线OP，如图1即为所求； ∵△QAB为等边三角形，
∴∠AQB=60°，
∵△QAB绕点Q逆时针旋转（旋转过程中，图形的大小、形状均保持不变），边QA的延长线与OM交于点C，边QB的延长线与ON交于点D，
∴∠CQD=60°，
∴∠AQB-∠CQB=∠CQD-∠CQB，
∴∠AQC=∠BQD．
∵QA⊥OM，QB⊥ON，
∴∠AQC=∠BQD=90°．
在△QAC和△QBD中，
，
∴△QAC≌△QBD（ASA），
∴QC=QD，
∵∠CQD=60°，
∴△QCD为等边三角形 QO=CO+OD
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