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2025-2026学年湖南省湘西州九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025年12月27日，湖南省足球联赛（简称“湘超”）在长沙贺龙体育场落下帷幕，14个市州队徽设计充分体现了各地地方特色与足球元素的融合，见证了湖南足球的荣耀与风采.下列四个地市队徽中的足球元素，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列成语中，表示必然事件的是（　　）
A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 刻舟求剑
3.已知⊙O的半径为3，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4.一元二次方程5x2-2x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 5x2，2x,1 B. 5x2，-2x,-1 C. 5，2，1 D. 5，-2，-1
5.点（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A. （2，3） B. （-2，-3） C. （2，-3） D. （-3，2）
6.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若AB=8cm,CD=2cm,则半径的长是（　　）
A. 3cm
B. 4cm
C. 5cm
D. 6cm
7.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB=110°，则∠C的度数为（　　）
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
8.如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　）
A. 144°
B. 90°
C. 72°
D. 60°
9.据统计，湖南省2025年第一季度人均可支配收入10860元，第三季度达到28248元，若第一季度至第三季度间人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是（　　）
A. 10860（1+x）2=28248 B. 10860（1+x）2=10860
C. 10860（1-x）2=28248 D. 10860（1-x）2=10860
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点，对称轴为直线x=1，以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c=0；③5a+4c＞0；④若点（-4，y1），（1，y2），（2.5，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；⑤对于任意实数m,都有a+b≤am2+bm.其中结论正确的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是______．
12.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，若∠A=60°，则∠C的度数为 .
13.已知一个圆锥底面半径为2，母线长为5，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 .
14.数学小组对如图所示的二维码开展数学实验，已知二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在0.75左右，由此可估计黑色部分的面积约为 .
15.若关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，称此方程为“三新”方程.已知方程a2x2+2025ax-1=0（a≠0）是“三新”方程，则代数式= .
16.如图，把△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△ADE的位置，使点C在线段DE上，连接BD，则∠E的度数为 .
17.2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评.为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是 米.
18.如图，正方形ABCD的边长为12，⊙O的半径为3，若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列一元二次方程：
（1）x2-6x+5=0；
（2）x（x+3）=2x+6.
20.(本小题8分)
已知关于x的方程x2-6x+（2m+1）=0.
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若x1与x2是该方程的两个实数根，且满足，求m的值.
21.(本小题8分)
湘西州是全国宜居和旅游城市，旅游资源相当丰富.春节期间，小华和爸爸妈妈准备前往湘西旅游.小华一家计划先坐高铁到吉首，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区.由于时间紧和意见难以统一，小华爸爸在外观相同的4个小球表面写上“A”，“B”，“C”，“D”，分别代表凤凰古城、花垣十八洞村、芙蓉镇景区、永顺老司城景区，并将小球装入不透明袋子里面，让小华从中随机抽取小球，来用以决定前往旅游的地点.
（1）判断：小华一家前往凤凰古城旅游与前往花垣十八洞村旅游的概率______（填“相等”或“不相等”）；
（2）小华很想去花垣十八洞村，但是妈妈想去凤凰古城.于是爸爸说：小华可以随机摸出两个小球，第一次摸出第一个小球后不放回袋子里，再摸第二次，摸出第二个小球，如果摸出的两个小球中，至少有一个小球表面写的有字母“B”，那么就去花垣十八洞村.请你求出小华一家去花垣十八洞村旅游的概率.
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（3，1），O（0，0）.
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O，写出点A1的坐标；
（2）在（1）的条件下，求点A旋转到点A1，OA所扫过的面积.
23.(本小题8分)
春节临近，“喜洋洋”饰品店试销一款定制对联，每副对联的进价为18元.试销一段时间后发现，若每副对联售价定为38元，每天可销售60副；若每副对联的售价每降价2元，每天的销售量就增加12副.
（1）若该饰品店销售这款对联想要每天获利1200元，并且尽可能让利于顾客，那么每副对联的售价应为多少元？
（2）通过计算说明，每副对联的售价为多少元时，每天销售这种对联获利最大，最大利润是多少元？
24.(本小题8分)
如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点（不与B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE和DE.
（1）求∠EBD的度数；
（2）若，求DE的长.
25.(本小题8分)
【问题背景】
如图①，⊙O的直径AB=16cm,AM，BN是⊙O的两条切线，切点分别为点A、点B，直线CD与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别交于点D、C两点.
【问题探究】
（1）如果设AD=x cm,BC=y cm,小明和小华同学在探究过程中，发现线段AD与线段BC的乘积为一个定值，他们在探究过程中采取了两种不同的思路方法，请你按照这两位同学的思路方法完成他们探究所得出的结论.
①小明同学的思路是：如图②，过点D作DF⊥BC于点F，请完成解答过程.
②小华同学的思路是：如图③，连接OD、OC、OE，也顺利的完成了探究，请补全图形，并完成解答过程.
【问题解决】
（2）请结合图形解决下列问题：如图③，若△COD的面积是80cm2，求此时线段AD的长度；
（3）在（1）的条件下，令AD=x,BC=y,，，请比较a、b的大小，并说明理由.
26.(本小题10分)
【阅读材料】如图①，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽（a）”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
【解决问题】
如图②，已知抛物线y=-x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，其横坐标为m,△APC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上与A、B、C不重合的一点，过P作PM⊥x轴于点M，交直线AC于点N，当PN=CN时，求点P的坐标.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】（2，1）
12.【答案】120°
13.【答案】144°
14.【答案】3
15.【答案】2026
16.【答案】60°##60度
17.【答案】20
18.【答案】
19.【答案】x1=1，x2=5 x1=-3，x2=2
20.【答案】m≤4 m=3
21.【答案】相等
22.【答案】△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O，如图即为所求；
A1坐标为（-4，3）
23.【答案】每副对联的售价应为28元 每副对联售价为33元时，每天获利最大，最大利润为1350元
24.【答案】∠EBD=90°
25.【答案】①∵AB=16cm，AM、BN是⊙O的切线，CD是⊙O的切线，
∴AD=DE=x cm，BC=CE=y cm，AB⊥AM，AB⊥BN，
∵DF⊥BC于F，则四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=16cm，BF=AD=x cm，FC=BC-BF=（y-x）cm．
又DC=DE+CE=（x+y）cm，
在Rt△DFC中，由勾股定理：DC2=DF2+FC2，
∴（x+y）2=162+（y-x）2，
展开得：x2+2xy+y2=256+y2-2xy+x2，
化简得：4xy=256，
∴xy=64，即AD BC=64为定值；②图见解析，解答过程见解析 AD的长度为4cm或16cm a=b，理由如下：
由（1）知，xy=64，
把xy=64代入中，得，
又∵，
∴a=b
26.【答案】抛物线解析式为y=-x2-2x+3，直线AC解析式为y=x+3 S关于m的函数关系式为，S的最大值为 点P的坐标为或
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