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2025-2026学年湖南省长沙市宁乡市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面四幅作品分别代表“立春”、“大雪”、“白露”、“芒种”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.如图，将空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（　　）
A. 垂线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的稳定性
3.下列运算正确的是（　　）
A. （a2）3=a5 B. a+a=a2 C. a2 a3=a5 D. a2（a+1）=a3+1
4.下列各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 3，4，8 C. 5，5，10 D. 2，4，7
5.若分式的值为0，则x的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
6.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A. 50° B. 58° C. 60° D. 72°
7.若x2+（a+2）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（　　）
A. -4或8 B. 4 C. -8 D. 4或-8
8.2025年10月26日长沙马拉松圆满落幕，本届赛事以“山水洲城”为赛道特色，参赛人数高达3.5万人，规模创历史新高.已知总赛程约为42km,在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是x km/h,则可列方程为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，若△ABC的面积为2，且点A，B，C分别是EC，AF，BD的中点，则阴影部分的面积为（　　）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
10.如图，△ABC的外角∠ACF，∠EAC的平分线CP，AP交于P，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的有（　　）
①PM=PN；
②BP平分∠ABC；
③S△PAC=S△MAP+S△NCP；
④∠CAB=2∠CPB.
A. .①②
B. .①②③
C. .①③④
D. .①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：xy-4x=______．
12.若a+b=2，a-b=5，则a2-b2= .
13.若，则= .
14.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，高AD，CE交于点H.若AB=20，CE=12，则BE= .
15.若（m-2）（m-n）中不含m的一次项，则n= .
16.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD=CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．
（1）求证：∠ADC+∠B=180°；
（2）若AD=3，AB=8，求AH的长．
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简，再求值：（m+2n）（m-2n）-（m+2n）2-4mn,其中.
19.(本小题6分)
因式分解：
（1）2x2-4xy+2y2；
（2）n2（m-2）-4（m-2）.
20.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中x=3.
21.(本小题8分)
已知点A（2a-b,2+b），点B（2b-1，2a-b）.
（1）若点A，B关于x轴对称，求a,b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（a-b）2026的值.
22.(本小题8分)
如图，根据要求回答下列问题：
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；
（2）点B关于y轴对称点B′的坐标是______；
（3）在y轴上找一个点P，使得PA+PC的和最小.
23.(本小题9分)
随着新能源汽车产业的飞速发展，充电基础设施的建设已成为国家战略的重要一环，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩是乙型充电桩单价的1.5倍，用18万元购买甲型充电桩比用9万元购买乙型充电桩的数量多5台.
（1）问甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）若该停车场计划用不多于30万元的资金购进甲型和乙型充电桩共40台，最多可以购进多少台甲型充电桩？
24.(本小题10分)
我们把形如x+=a+b（a,b不为零），且两个解分别为x1=a,x2=b的方程称为“十字分式方程”.
例如：x+=4为“十字分式方程”，可化为x+=1+3，∴x1=1，x2=3.
再如：x+=-6为“十字分式方程”，可化为x+=（-2）+（-4），
∴x1=-2，x2=-4
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若x+=-7为“十字分式方程”，则x1=______，x2=______；
（2）若“十字分式方程”x-=2的两个解分别为x1=m,x2=n,求代数式m3n+mn3的值；
（3）若关于x的“十字分式方程”x-=-k+3（k＞0）的两个解分别为x1，x2，其中x1＞x2，求的值.
25.(本小题10分)
已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点.
（1）如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°.
小强同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小强写出证明过程；
（2）如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°，射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数；
（3）如图3，若∠ABC=∠ADB=α（0°＜α＜90°），射线BM在BC下方，用含α的式子表示∠BDC的度数，并说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】x（y-4）
12.【答案】10
13.【答案】
14.【答案】8
15.【答案】-2
16.【答案】8
17.【答案】（1）证明：过点C作CM⊥DE，垂足为M，
∵AC平分∠EAB，CH⊥AB，CM⊥DE，
∴CM=CH，∠CMA=∠CHB=90°，
在Rt△DMC与Rt△NHC中
，
∴Rt△DMC≌Rt△NHC（HL），
∴DM=BH，∠1=∠B，
∵∠1+∠CDA=180°，
∴∠ADC+∠B=180°；
（2）解：∵∠CMA=∠CHB=90°，
在Rt△AMC与Rt△AHC中
，
∴Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），
∴AM=AH，
设BH=DM=x，
则AH=8-x，AM=3+x，
∴8-x=3+x，
解得，x=2.5，
∴AH=5.5．
18.【答案】-8n2-8mn，-6．
19.【答案】2（x-y）2 （m-2）（n+2）（n-2）
20.【答案】，4．
21.【答案】 1
22.【答案】见解析；
（4，-3）；
见解析．
23.【答案】甲型充电桩的单价是0.9万元，乙型充电桩的单价是0.6万元 最多可以购进20台甲型充电桩
24.【答案】-2;-5 -160
25.【答案】证明：如图1，在BM上取一点E，使AE=AD，
∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ADC=∠AEB=120°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=120°-60°=60° 解：如图2，在BD上取一点E，使AE=AD，
∵∠ABC=∠ADB=30°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=∠EAD=120°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ADC=∠AEB=180°-30°=150°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=150°-30°=120° 解：结论：∠BDC=2α．理由如下：
如图3，在DB的延长线上取一点E，使AE=AD，
∵∠ADB=α，
∴∠AED=α，∠EAD=180°-2α，
又∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°-2α，即∠BAC=∠EAD，
∵∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，
∴∠BAE=∠CAD，
又∵AB=AC，AE=AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠AEB=∠ADC，
在等腰△AED中，∠AED=∠ADE=α，
∴∠ADC=∠AEB=α，
∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=α+α=2α
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