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2025-2026学年山西省忻州市神池县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x=-1 B. x≠-1 C. x=0 D. x≠0
2.山西的窗格文化是地域文化的重要组成部分，它将建筑艺术、民俗风情与审美观念融为一体，具有丰富的内涵，下列窗格图案是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是（　　）
A. a2 a3=a6 B. （-2a）3=-6a3 C. （a2）3=a5 D. a3÷（-a）=-a2
4.水是生命之源，在人类的生产生活中起着不可替代的作用.已知20滴水的质量为1g,那么1滴水的质量用科学记数法可以表示为（　　）
A. 5×10-5kg B. 5×105kg C. 5×10-6kg D. 2×10-6kg
5.多项式a2-4a因式分解的结果是（　　）
A. a（a2-4） B. a（a-4）（a+4）
C. a（a-2）（a+2） D. （a-4）（a+4）
6.△ABC和△BCD按如图方式放置，AC与BD交于点E.若AC=BD，AB=CD，∠DBC=40°，∠A=70°，则∠DCA的度数为（　　）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
7.分式方程的解为（　　）
A. x=2 B. x=-1 C. x=-2 D. x=-4
8.如图，在△ABC中，AB=AC，E为BA延长线上一点，∠EAC的平分线与∠EBC的平分线交于点D，连接DC.若∠BAC=70°，则∠ADC的度数为（　　）
A. 55°
B. 62.5°
C. 65°
D. 70°
9.过年回家对中国人而言，是刻在骨子里的文化执念与情感刚需，核心意义在于阖家团圆与辞旧迎新的仪式感.放寒假后，小陈爸爸驾驶汽车开往距离出发地300km的爷爷家，出发后的前1h按原计划的速度匀速行驶，1h后按原来速度的1.2倍匀速行驶，并比原计划提前0.5h到达爷爷家，若设前1h的行驶速度为x km/h,则根据题意，可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边上的一点，连接AD，过点A作AD的垂线，过点C作BC的垂线，两条垂线交于点E.已知△ADC的面积为12，BC=12，则CE的长为（　　）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：2a2+4a+2=______．
12.化简的结果是 .
13.如图，有一张三角形纸片ABC，其中∠BAC=90°.将该纸片沿EF剪开，得到一张四边形纸片EFCB，则∠1+∠2的度数为 .
14.以非遗为钥，启乡村共富之门，某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包.甲工作组每天比乙工作组多做5个，甲工作组做80个所用的时间与乙工作组做60个所用的时间相等，若设甲工作组每天做x个，则根据题意，可列方程为 .
15.如图，在△ABC中，点D是AB的中点，连接CD.将△ACD沿CD折叠，得到△A'CD，点A的对应点是A'，连接A′B.若∠ACD=30°，∠CAB=20°，则∠A'BD的度数为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：（3a-2b）2-（3a+b）（3a-b）；
（2）化简：.
17.(本小题8分)
下面是小王同学在黑板上解分式方程的部分过程，请你认真阅读，并解决老师提出的问题.
解分式方程：
解：第一步
2x-1=3（x-1）-6（x+2）第二步
2x-1=3x-3-6x+12第三步
…
问题解决：
（1）以上解方程的过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______；
（2）请写出解该分式方程的正确过程.
18.(本小题7分)
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD，连接DE.判断△BDE的形状，并说明理由.
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D.
（1）尺规作图：在AC的延长线上找一点E，使∠AED=∠B，连接ED并延长，交AB于点F；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）猜想DF与DC有怎样的数量关系，并说明理由.
20.(本小题8分)
2025太原首届航空航天展期间，某商家计划购进歼-20和运-20模型进行销售，已知一个歼-20模型的进价比一个运-20模型的进价贵10元，且用2000元购进歼-20模型的数量与用1600元购进运-20模型的数量相同.求这两种模型的进价分别是多少元.
21.(本小题9分)
下面为“科技闪耀”数学兴趣小组在完成项目式学习“测量公路弯道改直后的长度”之后撰写的项目报告，根据报告内容完成相应任务.
项目主题 测量公路弯道改直后的长度
项目背景 某地一段绕山公路，由于弯度较大、易发生交通事故、“科技闪耀”数学兴趣小组拟设计并向市政部门提出改造方需——将这段弯道公路改直，于是在弯道两端确定两点A、B，作为改直部分的起点与终点.为顺利完成设计，需实地测量AB的长度，但由于受地势限制，无法直接测量.
驱动问题 如何利用数学知识或数学原理测量公路弯道改直后的长度？
测量方案 测量步骤：
1.升空无人机到达C处，此时可直接看见A，B两点；
2.用激光测距仪分别测量C处到A和B的距离，用测角仪测量C处现察点A的俯角（水平线与视线的夹角）∠1，并测量观察A，B两点的视角∠ACB；
3.沿CD方向（与AB平行）以6m/s的速度匀速飞行35s.到达D处，继续用激光测距仪测量D处到A的距离，用测角仪测量D处观察点A的俯角∠2.
说明：点C，D、E在同一条直线上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内.
记录数据 CB=105m,CA=146m,DA=105m,∠1=40.3°，∠ACB=45.7°，∠2=86°
… …
任务：
（1）图中△ABC与△ADC全等吗？若全等，请予以证明；若不全等，请说明理由；
（2）请计算AB的长度.
22.(本小题11分)
阅读与思考
下面是小乐同学的数学学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务.
乘法公式的拓展——”连续自然数乘积”的规律与应用
观察发现：计算以下三个连续自然数的乘积：1×2×3=6；2×3×4=24；3×4×5=60；…
如果将中间的数记为n,n为整数且n＞1，那么三个连续自然数可以表示为n-1，n,n+1，它们的乘积可记为P=（n-1） n （n+1）.
规律探究：我们可以利用整式乘法的知识来化简这个乘积：
P=（n-1） n （n+1）第一步
=[（n-1） （n+1）] n第二步
=（n2-1） n第三步
=n3-n第四步
归纳结论：我们得到一个重要的结论：三个连续自然数的乘积，等于中间那个数的立方减去它本身，即（n-1） n （n+1）=n3-n（n为整数且n＞1）.
任务：
（1）“规律探究”中，第二步到第三步运用了______公式；
（2）利用材料中发现的规律计算19×20×21的值（写出必要的过程）；
（3）请仿照材料中的探究过程，推导三个连续偶数（中间的数记为m,且m＞2）的乘积的规律.
23.(本小题13分)
综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点O是BC的中点，点D是射线BA上的一个动点，连接OD，过点O作OD的垂线，交直线AC于点E.
独立思考：
（1）当OD⊥AB时，善思小组的同学认为点D是AB的中点，请你判断善思小组的观点是否正确，并说明理由；
猜想证明：
（2）如图2，当点D在线段AB上时，判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：
（3）若∠EOC=15°，请直接写出∠BDO的度数.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】2（a+1）2
12.【答案】1
13.【答案】270°
14.【答案】
15.【答案】50°
16.【答案】5b2-12ab
17.【答案】三;括号前面是“-”，去括号后，第二个括号内的第二项没有变号 ，
2x-1=3（x-1）-6（x+2），
2x-1=3x-3-6x-12，
2x-3x+6x=1-3-12，
5x=-14，
解得：，
检验：当时，3（x+2）≠0，
∴原分式方程的解为
18.【答案】△BDE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴BD⊥AC，∠ACB=60°，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=90°-∠ACB=30°，
又∵CD=CE，∠ACB=60°，
∴∠CDE+∠E=60°，∠E=∠CDE，
∴∠E=∠CDE=30°，
∴∠E=∠DBE，
∴BD=DE．
∴△BDE的形状是等腰三角形．
19.【答案】图形如图所示； 结论：DF=DC．
理由：由作图可知AB=AE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAE，
∵AD=AD，
∴△DAB≌△DAE（SAS），
∴DB=DE，∠B=∠E，
∵∠BDF=∠EDC，
∴△DFB≌△DCE（ASA），
∴DF=DC
20.【答案】一个歼-20模型的进价是50元，一个运-20模型的进价是40元．
21.【答案】△ABC≌△CDA．
证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CAB．
∵∠1=40.3°，∠ACB=45.7°，∠2=86°，
∴∠BCD=∠1+∠ACB=40.3°+45.7°=86°，
∴∠2=∠BCD，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB．
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（ASA） 210 m
22.【答案】平方差 7980 m3-4m
23.【答案】善思小组的观点正确；理由如下：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
又∵点O是BC的中点，
∴，
∴∠B=∠BAO=45°，
∴OA=OB，
∵OD⊥AB，
∴点D是AB的中点 AD=CE；理由如下：
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，连接AO，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
又∵点O是BC的中点，
∴∠AOC=90°，OA=OC，，
∴∠C=∠OAD=45°，
∵OD⊥OE，
∴∠DOE=90°，
∴∠AOD=∠COE=90°-∠AOE，
在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD=CE ∠ BDO=60°或∠BDO=30°
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