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2025-2026学年陕西省西安市雁塔区益新中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算结果最小的是（　　）
A. |-1| B. （-1）0 C. D. （-1）2
2.景德镇创作的“春碗”亮相2025年春晚，“春碗”不仅是一件精美的陶瓷艺术品，更是春节文化传承与创新的生动见证，其包含的青花瓷元素更是景德镇四大传统名瓷之一.如图为一个青花瓷碗，则它的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
3.光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射.如图，∠1=70°，∠2=175°，则∠3的度数是（　　）
A. 70°
B. 80°
C. 85°
D. 75°
4.下列运算正确的是（　　）
A. x2+x3=2x5 B. （-x3）2=x5
C. （2x）2 3x=6x3 D. x4÷x=x3
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED.若BC=6，AE=4.则DE为（　　）
A. 4
B. 2.5
C. 3
D.
6.在同一平面直角坐标系中，直线y=2x向上平移m（m＞0）个单位长度后，与直线y=x+3的交点可能是（　　）
A. （0，2） B. （3，6） C. （1，-4） D. （2，5）
7.如图，在 ABCD中，过点A分别作BC，CD的垂线段，垂足为E，F，若 BC=4，AE=4，CE=1，则线段AF的长为（　　）
A. 3
B. 3.2
C. 3.6
D. 4
8.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（-1，0），对称轴为直线x=2.对于下列结论：①abc＜0；②a+c=b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1） （x-5）；④当m＞-9a时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.-2026的相反数是 .
10.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花.单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为 .
11.如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是______．
12.如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦AC=6cm,弦BC=8cm,∠ACB的平分线交⊙O于D，则BD长是 cm.
13.如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函数相交于点A和点B.若点A的横坐标为1，则点B的坐标为 .
14.如图，点F是矩形ABCD内一点，点E在边BC上，连接AF，EF.将线段AF绕点A顺时针旋转90°得到AP，连接PE.若AB=8，BC=6，，EF=4，则线段PE的最小值为 .
三、解答题：本题共12小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：．
16.(本小题5分)
解不等式：1-＜，并写出它的负整数解.
17.(本小题5分)
解方程：.
18.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点D，使∠DCA与∠B互余．（保留作图痕迹，不写作法）
19.(本小题5分)
如图，已知AB=AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°．求证：AD=BC．
20.(本小题5分)
2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行.小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋.现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个.
（1）小何抽到C（空中无人作战方队）图片的概率是______.
（2）用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率P.
21.(本小题6分)
如图1，机翼是飞机的重要部件之一，一般分为左右两个翼面，对称地布置在机身两边，机翼的一些部位（主要是前缘和后缘）可以活动，驾驶员操纵这些部分可以改变机翼的形状，控制机翼升力或阻力的分布，以达到增加升力或改变飞机姿态的目的．
如图2是某种型号飞机的机翼形状，图中，MC∥ND∥BE，AB∥CE，∠BEC=90°，请你根据图中的数据计算AB的长度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留小数点后一位）
22.(本小题7分)
2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，DeepSeek的崛起无疑成为了全球科技界的焦点.某公司尝试利用DeepSeek智能技术优化生产流程，提高生产效率.在生产一种产品时，发现生产成本y（元）与产品数量x（件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如表所示：
产品数量x（件） … 10 12 16 20 …
生产成本y（元） … 450 460 480 500 …
请你根据表中信息，解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若这种产品每件的售价为15元，请计算当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为多少元？
23.(本小题7分)
某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，计算出D：90≤x≤100这一组对应的圆心角是______度；
（3）所抽取学生成绩的中位数在哪个组内，并说明理由；
（4）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？
24.(本小题8分)
如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，连结AC，CD．
（1）求证：∠PBH=2∠HDC；
（2）若sin∠P=，BH=3，求BD的长
25.(本小题8分)
天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
26.(本小题12分)
（1）如图1，已知⊙O半径是4，A是⊙O上一动点，OP=9，则PA的最大值是______.
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边AC上一动点，连接DB，过点A作AF⊥BD于点F，连接CF，求CF的最小值.
（3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC=60米，∠ABC=90°，∠ACB=60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价高达1100元/米，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，在不考虑其他因素的前提下，请求出建造仿古长廊的最低费用.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】2026
10.【答案】3×10-5
11.【答案】144°
12.【答案】
13.【答案】（-1，-3）
14.【答案】
15.【答案】解：原式=-（-1）-4
=4-+1-4
=-+1．
16.【答案】-1、-2、-3．
17.【答案】x=2．
18.【答案】解：如图，点D为所作．

19.【答案】证明：∵AB∥DE，
∴∠CAB=∠E，
∵∠ECB+∠D=180°，∠ECB+∠ACB=180°，
∴∠D=∠ACB，
在△ABC与△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD（AAS），
∴AD=BC．
20.【答案】
21.【答案】解：∵MC∥ND∥BE，AB∥CE，∠BEC=90°，
∴∠ECM=∠EBA=∠NDE=90°，∠DBE=∠NDB=30°，
过点A作AF⊥CE于F，如图所示：
则四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE=6m，AB=EF，
∵∠MCA=45°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴CF=AF=BE=6m，
∵∠DBE=30°，
∴DE=BE=2m，
∴CE=CD+DE=（3.8+2）m，
∴AB=EF=CE-CF=3.8+2-6≈1.3（m）
∴AB的长度约为1.3米．
22.【答案】y与x之间的函数关系式为y=5x+400；
当生产成本为800元时，所生产的产品总售价为1200元．
23.【答案】108
24.【答案】解：（1）如图，连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，
∴DH∥OC，
∴∠PBH=∠BOC，
∵∠BOC=2∠HDC，
∴∠PBH=2∠HDC；
（2）如图，作OM⊥DH于H，设⊙O的半径为r，
∵∠OCH=∠OMH=∠CHM=90°，
∴四边形OMHC为矩形，
∵sin∠P=，BH=3，
∴，
∴BP=4，
∵OC∥DH，
∴△PHB∽△PCO，
∴，
∴，解得r=12，
∴MH=OC=12，
∴MB=MH-BH=12-3=9，
∴BD=2MB=18．
25.【答案】；
能安全通过，见解析．
26.【答案】（1）13；
（2）∵AF⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴点F在以AB为直径的半圆上，
如图，设AB的中点为E，连接CE，与点F的运动轨迹交于点F′，则CF′的长度即为CF的最小值．
∵AB=6，中点为E，
∴，
又∵∠ABC=90°，BC=8，
∴，
∴，
即CF的最小值为．
（3）∵BC=60，∠ABC=90°，∠ACB=60°，
∴∠CAB=30°，
∴AC=2BC=120，
∴．
如图，连接EC，EB，取AC中点为M，AB中点为N，连接MN，MF，FN，

∵点E在以BC为直径的半圆上，
∴∠CEB=90°，
∵AC中点为M，AE中点为F，AB中点为N，
∴MF为△ACE的中位线，FN为△ABE的中位线，MN为△ABC的中位线，
∴MF∥EC，NF∥EB，MN∥BC，，
∴∠MFA=∠CEA，∠NFA=∠BEA，
∴∠MFA+∠NFA=∠CEA+∠BEA，
∴∠MFN=∠CEB=90°，
∴点F在以MN为直径的左侧半圆上，
取MN中点为O，作OK⊥BC于点K，得矩形ONBK，连接CO，与点F的运动轨迹交于点F′，则CF′的长度即为CF的最小值．
∵，MN中点为O，，AB中点为N，
∴，，
∴KB=ON=15，，
∴CK=BC-KB=60-15=45，
在Rt△CKO中，CK2+OK2=OC2，
∴，
又∵OF′=ON=15，
∴，
∴CF的最小值为．
∵仿古长廊造价高达1100元/米，
（元），
∴建造仿古长廊的最低费用为元．
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