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北师大版（2024）八年级下册 2.4 一元一次不等式组 题型专练
【题型1】一元一次不等式组的定义
【典例】下列不等式组是一元一次不等式组的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练1】下列不等式组为一元一次不等式组的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练2】下列不等式组：
①②③④⑤
其中是一元一次不等式组的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【强化训练3】给出下列组合：①②③④⑤其中，属于一元一次不等式组的是 　　（填序号）．
【强化训练4】一元一次不等式组的定义：未知数相同的几个一元一次不等式所组成的 　 　，叫作一元一次不等式组．如等都是一元一次不等式组．
【强化训练5】下列不等式组中，哪些是一元一次不等式组？
①
②
③
④
【题型2】一元一次不等式组解集在数轴上表示
【典例】如图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（　　）
A.x≥1 B.x＞-1 C.-1＜x≤1 D.无解
【强化训练1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练2】若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是 ．
【强化训练3】两个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则由这两个不等式组成的不等式组的解集为 ．
【强化训练4】解不等式组请按以下步骤完成解答：
（1）解不等式①，得_________；
（2）解不等式②，得_________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
【题型3】解一元一次不等式组
【典例】不等式组的解集表示在数轴上为（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练1】已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练2】不等式组的解集在数轴上表示正确的为（　　）
A. B. C. D.
【强化训练3】不等式组的解集是 　 　．
【强化训练4】解不等式组：
【强化训练5】解不等式组并将其解集表示在数轴上．
【题型4】一元一次不等式组整数解与字母系数取值范围
【典例】关于x的不等式的所有整数解的积为2，则m的取值范围为（　　）
A.m＞﹣3
B.m＜﹣2
C.﹣3≤m＜﹣2
D.﹣3＜m≤﹣2
【强化训练1】不等式组的最小整数解是（　　）
A.5 B.0 C.﹣1 D.﹣2
【强化训练2】关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为 　 　．
【强化训练3】若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围是 　 　．
【强化训练4】解不等式组：并写出此不等式组的整数解．
【强化训练5】解不等式组，并写出该不等式组的所有正整数解．
【题型5】一元一次不等式组与方程（或组）
【典例】如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A.﹣5 B.﹣8 C.﹣9 D.﹣12
【强化训练1】若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程﹣＝1的解满足y＞21．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A.31 B.48 C.17 D.33
【强化训练2】若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为（　　）
A.﹣17 B.﹣16 C.﹣14 D.﹣12
【强化训练3】关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【强化训练4】若整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有m的和为 　 　．
【强化训练5】若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥﹣7；且关于y的方程2（y﹣8）＝m﹣y有正整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是 　 　．
【强化训练6】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足y﹣2x＜0，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 　 　．
【强化训练7】平面直角坐标系中的点P（m﹣4，m）在第二象限，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的整数m的和等于 　 　．
【题型6】一元一次不等式组与新定义型问题
【典例】我们用[a]表示不大于a的最大整数；用（a）表示大于a的最小整数．下列说法：
①[2.5]＝2，（﹣2）＝﹣1；
②如果[]=4，则满足条件的所有正整数x只有7和8；
③已知x，y满足方程组则x，y的取值范围﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
其中正确的个数为（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
【强化训练1】若定义一种新的取整符号[]，即[x]表示不小于x的最小整数．例如：[2.4]＝3，[﹣2.9]＝﹣2．则下列结论正确的是（　　）
①[﹣3.5]+[2]＝﹣1；
②[x]+[﹣x]＝0；
③方程[x]﹣x＝的解有无数多个；
④当﹣1≤x＜1时，则[x﹣1]+[x+1]的值为0、1或﹣2；
⑤若[x+3]＝2，则x的取值范围﹣2＜x≤﹣1．
A.①②③ B.①③④ C.①③⑤ D.①④⑤
【强化训练2】高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.4]＝3，[﹣1.6]＝﹣2，若﹣1＜x＜1，则[x]+[x+1]的值为（　　）
A.﹣1，0 B.﹣1，1 C.0，1 D.﹣1，0，1
【强化训练3】定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．如果[]＝﹣5，满足条件的所有整数x是 　 　．
【强化训练4】对于任意有理数x,y定义一种新运算f，规定f（x，y）＝ax+by（其中a,b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：f（2，1）＝2a+b．
（1）已知f（2，﹣1）＝4，f(,)=2．
①求a,b的值；
②若f（x，x﹣1）＜﹣7，则x的取值范围是 　 　；
（2）已知f（5，0）＞5，f（﹣3，0）＞﹣9，且a+b＝﹣1，求出符合条件的a,b的整数值；
（3）在（2）的条件下，若关于m的不等式组恰有两个整数解，则n的取值范围是 　 　．
【强化训练5】对于x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（2，1）＝2a+2b﹣1．
（1）已知T（1，1）＝3，T（2，﹣1）＝1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有三个整数解，求实数k的取值范围．
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对于任意不相等的实数x，y都成立，求a与b满足的关系式．
【题型7】根据实际问题列一元一次不等式组
【典例】某企业决定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1 380吨，该企业有哪些购买方案呢？为解决这个问题，设购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练1】研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以30岁为例计算，220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（　　）
A.114≤p≤152
B.114＜p＜152
C.114≤p≤190
D.114＜p＜190
【强化训练2】开发区某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流货车共15辆，运送360件A种货物和396件B种货物．已知甲种物流货车每辆最多能载30件A种货物和24件B种货物，乙种物流货车每辆最多能载20件A种货物和30件B种货物．设安排甲种物流货车x辆，你认为下列符合题意的不等式组是（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练3】用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆汽车只装6吨，则最后一辆货车装的货物不足5吨．若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是　 　．
【强化训练4】把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生最多得3个，求学生人数和苹果数？设有x个学生，依题意可列不等式组为 　 　．
【强化训练5】某班50名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系．
【强化训练6】某公司从超市购买了墨水笔和圆珠笔共15盒，所付金额超过570元，但不到580元．已知墨水笔的单价为每盒34.90元，圆珠笔的单价为每盒44.90元．设购买圆珠笔x盒，列不等式组.
【题型8】一元一次不等式组的应用
【典例】某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）
A.x＞23 B.23＜x≤47 C.11＜x≤23 D.x≤47
【强化训练1】每年3月12日是“植树节”，某班为响应“绿水青山就是金山银山”的理念，在植树节这天组织学生开展植树活动，老师提前购买了一定数量的小树苗，在分发树苗的过程中，若每人种3棵，则多出86棵，若每人种5棵，则有一人可分得但不足3棵，则这批小树苗共有（　　）
A.122棵 B.186棵 C.212棵 D.221棵
【强化训练2】安排学生住宿，若每间住4人，则还有17人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为 　 　．
【强化训练3】按如图的运算程序进行运算，当运算到“判断结果是否大于29”为一次运算．
（1）当x＝6时，输出的数值是 　 　；
（2）若该程序只运行了2次运算就停止了，则x的取值范围为 　 　．
【强化训练4】2022年8月金华轻轨的开通极大方便了居民的出行，全线实行按里程分段计程票制，起步价2元，不足1元按1元计算，具体收费标准如下：
（1）若上车站点与下车站点的里程数为6公里，则乘坐轻轨的车费为 　 　元．
（2）已知金华站距金华南站的里程数是14.5公里，金华站距义亭站的里程是45公里，请计算乘坐轻轨从金华站到金华南站、金华站到义亭站的费用分别是多少元？
（3）已知某人乘轻轨从一个站点到另一个站点，中途没下车，费用为12元，这两个站点之间的里程数为s公里，请直接写出s的范围．北师大版（2024）八年级下册 2.4 一元一次不等式组 题型专练（参考答案）
【题型1】一元一次不等式组的定义
【典例】下列不等式组是一元一次不等式组的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】A．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D．是分式不等式组，不是整数不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：C．
【强化训练1】下列不等式组为一元一次不等式组的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C．是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D．是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【强化训练2】下列不等式组：
①②③④⑤
其中是一元一次不等式组的有（　　）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1，
∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组；
而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，
∴它们都是一元一次不等式组，
故选：B．
【强化训练3】给出下列组合：①②③④⑤其中，属于一元一次不等式组的是 　　（填序号）．
【答案】①
【解析】①中的两个不等式是同一个未知数的一元一次不等式，所以它是一元一次不等式组；
②中x+1＝2x是方程，不是一元一次不等式，所以它不是一元一次不等式组；
③中含有两个未知数，所以它不是一元一次不等式组；
④中（x+1）（x﹣1）≤2x是一元二次不等式，不是一元一次不等式，所以它不是一元一次不等式组；
⑤中﹣2＜0.1的未知数x在分母上，不是整式，所以它不是一元一次不等式，即它不是一元一次不等式组．
故答案为：①．
【强化训练4】一元一次不等式组的定义：未知数相同的几个一元一次不等式所组成的 　 　，叫作一元一次不等式组．如等都是一元一次不等式组．
【答案】不等式组
【解析】一元一次不等式组的定义：未知数相同的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．
故答案为：不等式组．
【强化训练5】下列不等式组中，哪些是一元一次不等式组？
①
②
③
④
【答案】解 ①是一元一次不等式组；
②是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，
所以①③是一元一次不等式组．
【题型2】一元一次不等式组解集在数轴上表示
【典例】如图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（　　）
A.x≥1 B.x＞-1 C.-1＜x≤1 D.无解
【答案】A
【强化训练1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【强化训练2】若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是 ．
【答案】-2≤x≤1
【强化训练3】两个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则由这两个不等式组成的不等式组的解集为 ．
【答案】a＜x≤b
【强化训练4】解不等式组请按以下步骤完成解答：
（1）解不等式①，得_________；
（2）解不等式②，得_________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】解 （1）解不等式①，得x＞-1.
（2）解不等式②，得x≥2.
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
（4）原不等式组的解集为x≥2．
【题型3】解一元一次不等式组
【典例】不等式组的解集表示在数轴上为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
由①得，x≤3，
由②得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：B．
【强化训练1】已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解不等式2x﹣1≥﹣5得，x≥﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
故选：C．
【强化训练2】不等式组的解集在数轴上表示正确的为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由2x﹣2≤4得x≤3，
由8﹣4x＜0得x＞2，
则不等式组的解集为2＜x≤3，
将解集表示在数轴上如图，
故选：B．
【强化训练3】不等式组的解集是 　 　．
【答案】x＞
【解析】
由①得x＞，
由②得x≥﹣，
则不等式组的解集为x＞．
故答案为：x＞．
【强化训练4】解不等式组：
【答案】解
由①得x≤5，
由②得x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤5．
【强化训练5】解不等式组并将其解集表示在数轴上．
【答案】解 解不等式①得x＜2，
解不等式②得x＞﹣4，
∴原不等式组的解集为﹣4＜x＜2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示，
．
【题型4】一元一次不等式组整数解与字母系数取值范围
【典例】关于x的不等式的所有整数解的积为2，则m的取值范围为（　　）
A.m＞﹣3
B.m＜﹣2
C.﹣3≤m＜﹣2
D.﹣3＜m≤﹣2
【答案】C
【解析】根据题意可知原不等式组解集为m＜x≤﹣
由x≤﹣且不等式组的所有整数解的积为2得整数解为﹣1，﹣2共2个，
所以﹣3≤m＜﹣2，
故选：C．
【强化训练1】不等式组的最小整数解是（　　）
A.5 B.0 C.﹣1 D.﹣2
【答案】C
【解析】解不等式x+3＞1，得x＞﹣2，
解不等式x﹣1＜4，得x＜5，
故不等式组的解集为﹣2＜x＜5，
则该不等式组的最小整数解为﹣1，
故选：C．
【强化训练2】关于x的不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围为 　 　．
【答案】7≤a＜12
【解析】
解不等式①得x＞，
解不等式②得x≤4；
∴＜x≤4，
∵不等式组有且仅有3个整数解且为2，3，4,
∴1≤＜2，
解得7≤a＜12．
故答案为：7≤a＜12．
【强化训练3】若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围是 　 　．
【答案】﹣3≤a＜﹣2
【解析】关于x的不等式组整理得
∴原不等式组解集为-＜x≤a+4
由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为﹣1，0，1，
∴1≤a+4＜2，
解得﹣3≤a＜﹣2，
故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
【强化训练4】解不等式组：并写出此不等式组的整数解．
【答案】解
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x＞1，
所以不等式组的解集为1＜x≤2，则不等式组的整数解为x＝2．
【强化训练5】解不等式组，并写出该不等式组的所有正整数解．
【答案】解
解①得；
解②得x＜3；
所以不等式组的解集为，
所以该不等式组的所有正整数解为1，2．
【题型5】一元一次不等式组与方程（或组）
【典例】如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A.﹣5 B.﹣8 C.﹣9 D.﹣12
【答案】B
【解析】，
解得，
∵关于y的方程有非负整数解，
∴≥0，
解得a≥﹣5，且为整数，
关于x的不等式组整理得
∵不等式组的解集为x≥1，
∴a+4≤1，
解得a≤﹣3，
∴﹣5≤a≤﹣3且为整数，
∴a＝﹣5，﹣3，
于是符合条件的所有整数a的值之和为﹣5﹣3＝﹣8．
故选：B．
【强化训练1】若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程﹣＝1的解满足y＞21．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A.31 B.48 C.17 D.33
【答案】D
【解析】
解不等式①，得x≤9，
解不等式②，得x≥，
所以不等式组的解集是≤x≤9，
∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解，
∴3＜≤4，
解得13＜a≤17，
解方程﹣＝1得y＝6+a，
∵y＞21，
∴6+a＞21，
解得a＞15，
∴15＜a≤17，
∵a为整数，
∴a为16或17，
16+17＝33，
故选：D．
【强化训练2】若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为（　　）
A.﹣17 B.﹣16 C.﹣14 D.﹣12
【答案】B
【解析】不等式组整理得
由不等式组至少有1个整数解，得到a+2＜2，
解得a＜0，
解方程组得
∵关于x，y的方程组的解为正整数，
∴a﹣2＝﹣4或﹣6或﹣12，
解得a＝﹣2或a＝﹣4或a＝﹣10，
∴所有满足条件的整数a的值的和是﹣16．
故选：B．
【强化训练3】关于x的不等式组只有两个整数解，且21t＝2a+12，要使的值是整数，则符合条件的a的个数是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】解不等式＜0得x＜t，
解不等式＜﹣2得x＞﹣2，
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴0＜t≤1，
∴0＜21t≤21，
∵21t＝2a+12，
∴0＜2a+12≤21，
∴﹣6＜a≤4.5，
∴整数a为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴要使的值是整数的a的值为﹣3，3，﹣4，4，共4个，
故选：B．
【强化训练4】若整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有m的和为 　 　．
【答案】34
【解析】解不等式组得≤x＜7，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴4个整数解为6，5，4，3，
∴2＜≤3，
解得13＜m≤19，
∴整数m为14，15，16，17，18，19，
解方程组得
∵方程组的解是整数，
∴m＝15或19，
15+19＝34，
故答案为：34．
【强化训练5】若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥﹣7；且关于y的方程2（y﹣8）＝m﹣y有正整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是 　 　．
【答案】﹣23
【解析】∵的解集为x≥﹣7，
∴m≤﹣7，
∵关于y的方程2（y﹣8）＝m﹣y有正整数解，
∴有正整数解，
∴m＝﹣13或m＝﹣10，
∴所有满足条件的m的整数值之和为﹣13﹣10＝﹣23，
故答案为：﹣23．
【强化训练6】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足y﹣2x＜0，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 　 　．
【答案】3
【解析】解方程组得
∵关于x，y的二元一次方程组的解满足y﹣2x＜0，
∴5﹣2a﹣2（10﹣3a）＜0，
解得a＜，
解不等式①得x＞2a+1，
解不等式②得x＜a﹣1，
又∵关于x的不等式组无解，
∴2a+1≥a﹣1，
解得a≥﹣2，
即﹣2≤a＜，
∴所有符合条件的整数a为﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∴所有符合条件的整数a和为3．
故答案为：3．
【强化训练7】平面直角坐标系中的点P（m﹣4，m）在第二象限，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的整数m的和等于 　 　．
【答案】5
【解析】∵点P（m﹣4，m）在第二象限，
∴
∴0＜m＜4，
∵
∴
∴不等式组有且只有4个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，
∴0＜≤1，
∴1＜m≤6，
又∵0＜m＜4，
∴整数m为2，3，
∴整数m的和为5，
故答案为：5．
【题型6】一元一次不等式组与新定义型问题
【典例】我们用[a]表示不大于a的最大整数；用（a）表示大于a的最小整数．下列说法：
①[2.5]＝2，（﹣2）＝﹣1；
②如果[]=4，则满足条件的所有正整数x只有7和8；
③已知x，y满足方程组则x，y的取值范围﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
其中正确的个数为（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】∵[2.5]表示不大于2.5的最大整数，
∴[2.5]＝2，
∵（﹣2）表示大于﹣2的最小整数，
∴（﹣2）＝﹣1，故①正确；
∵[]=4，
∴4≤＜5，
∴8≤x+1＜10，
∴7≤x＜9，
∴满足条件的所有正整数x只有7和8，故②正确；
解得
∴﹣1≤x＜0，2≤y＜3，故③正确．
综上，正确的有①②③，共3个．
故选：D．
【强化训练1】若定义一种新的取整符号[]，即[x]表示不小于x的最小整数．例如：[2.4]＝3，[﹣2.9]＝﹣2．则下列结论正确的是（　　）
①[﹣3.5]+[2]＝﹣1；
②[x]+[﹣x]＝0；
③方程[x]﹣x＝的解有无数多个；
④当﹣1≤x＜1时，则[x﹣1]+[x+1]的值为0、1或﹣2；
⑤若[x+3]＝2，则x的取值范围﹣2＜x≤﹣1．
A.①②③ B.①③④ C.①③⑤ D.①④⑤
【答案】C
【解析】由题意可知,
[﹣3.5]+[2]＝﹣3+2＝﹣1，
∴①结论正确；
设x＝a+b，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分，
∴[x]+[﹣x]＝[a+b]+[﹣a﹣b]
＝（a+1）+（﹣a）
＝a+1﹣a
＝1，
∴②结论不正确；
设x＝a+b，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分，
则方程[x]﹣x＝可变形为
（a+1）﹣（a+b）＝，
解得b＝，
∵a的值不能够确定，
∴方程[x]﹣x＝有无数多个解，
∴③结论正确；
当﹣1≤x＜1时，
﹣2≤x﹣1＜0，
0≤x+1＜2，
∴当x＝﹣1时，
x﹣1＝﹣2，x+1＝0，
∴[x﹣1]+[x+1]＝[﹣2]+[0]＝﹣2+0＝﹣2；
当﹣1＜x≤0时，
﹣2＜x﹣1≤﹣1，
0＜x+1≤1，
∴[x﹣1]+[x+1]＝﹣1+1＝0；
当0＜x＜1时，
﹣1＜x﹣1＜0，
1＜x+1＜2，
∴[x﹣1]+[x+1]＝0+2＝2，
∴④结论不正确．
∵[x+3]＝2，
∴1＜x+3≤2，
解得﹣2＜x≤﹣1，
∴⑤结论正确；
故选：C．
【强化训练2】高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.4]＝3，[﹣1.6]＝﹣2，若﹣1＜x＜1，则[x]+[x+1]的值为（　　）
A.﹣1，0 B.﹣1，1 C.0，1 D.﹣1，0，1
【答案】B
【解析】当﹣1＜x＜0时，0＜x+1＜1，
当x=0时，x=1，
当0＜x＜1时，1＜x+1＜2，
所以[x]+[x+1]的值为﹣1，1，
故选：B．
【强化训练3】定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．如果[]＝﹣5，满足条件的所有整数x是 　 　．
【答案】﹣5,﹣4
【解析】由题意知，﹣5≤＜﹣4，
由≥﹣5得x≥﹣5，
由＜﹣4得x＜﹣，
则解集为﹣5≤x＜﹣，
∴整数x的值为﹣5,﹣4，
故答案为：﹣5,﹣4．
【强化训练4】对于任意有理数x,y定义一种新运算f，规定f（x，y）＝ax+by（其中a,b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．例如：f（2，1）＝2a+b．
（1）已知f（2，﹣1）＝4，f(,)=2．
①求a,b的值；
②若f（x，x﹣1）＜﹣7，则x的取值范围是 　 　；
（2）已知f（5，0）＞5，f（﹣3，0）＞﹣9，且a+b＝﹣1，求出符合条件的a,b的整数值；
（3）在（2）的条件下，若关于m的不等式组恰有两个整数解，则n的取值范围是 　 　．
【答案】解 （1）①由题意得，
∴
②由①可知，f（x，y）＝3x+2y．
∴f（x，x﹣1）＝3x+2（x﹣1）＝5x﹣2．
∵f（x，x﹣1）＜﹣7，
∴5x﹣2＜﹣7．
∴x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
（2）∵f（5，0）＞5，f（﹣3，0）＞﹣9，
∴
∴1＜a＜3．
又a为整数，
∴a＝2，
又a+b＝﹣1，
∴b＝﹣3．
∴符合条件的a,b的整数值为a＝2，b＝﹣3．
（3）由（2）得，f（x，y）＝2x﹣3y．
∴原不等式组可以化为
∴.
∵原不等式组恰有两个整数解，
∴4＜≤5．
∴21＜n≤27．
故答案为：21＜n≤27．
【强化训练5】对于x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（2，1）＝2a+2b﹣1．
（1）已知T（1，1）＝3，T（2，﹣1）＝1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有三个整数解，求实数k的取值范围．
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对于任意不相等的实数x，y都成立，求a与b满足的关系式．
【答案】解 （1）①根据题意得T（1，1）＝a+2b﹣1＝3，T（2，﹣1）＝2a﹣2b﹣1＝1，
解得a＝2，b＝1.
②根据题意得
由①得；
由②得m
∴不等式组的解集为,
∵不等式组恰好有3个整数解，即m＝0，﹣1，﹣2，
∴﹣3≤＜﹣2，
解得﹣9≤k＜﹣5.
（2）由T（x，y）＝T（y，x），得到ax+2by﹣1＝ay+2bx﹣1，
整理得（a﹣2b）（x﹣y）＝0，
∵T（x，y）＝T（y，x）对任意实数x，y都成立，
∴a﹣2b＝0，即a＝2b．
【题型7】根据实际问题列一元一次不等式组
【典例】某企业决定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1 380吨，该企业有哪些购买方案呢？为解决这个问题，设购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【强化训练1】研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以30岁为例计算，220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（　　）
A.114≤p≤152
B.114＜p＜152
C.114≤p≤190
D.114＜p＜190
【答案】A
【强化训练2】开发区某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流货车共15辆，运送360件A种货物和396件B种货物．已知甲种物流货车每辆最多能载30件A种货物和24件B种货物，乙种物流货车每辆最多能载20件A种货物和30件B种货物．设安排甲种物流货车x辆，你认为下列符合题意的不等式组是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【强化训练3】用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆汽车只装6吨，则最后一辆货车装的货物不足5吨．若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是　 　．
【答案】
【强化训练4】把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个学生最多得3个，求学生人数和苹果数？设有x个学生，依题意可列不等式组为 　 　．
【答案】
【强化训练5】某班50名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系．
【答案】解 设篮球数为x，根据题意可得
解得＜x＜，
因为x为整数，所以x＝9．
【强化训练6】某公司从超市购买了墨水笔和圆珠笔共15盒，所付金额超过570元，但不到580元．已知墨水笔的单价为每盒34.90元，圆珠笔的单价为每盒44.90元．设购买圆珠笔x盒，列不等式组.
【答案】解 圆珠笔x盒，单价为每盒44.90元，共需付费44.90x元；
墨水笔（15﹣x）盒，单价为每盒34.90元，共需付费34.90×（15﹣x）元；
可列不等式组为
【题型8】一元一次不等式组的应用
【典例】某运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　）
A.x＞23 B.23＜x≤47 C.11＜x≤23 D.x≤47
【答案】C
【解析】根据运行程序，第一次运算结果为2x+1，没有输出，
∴2x+1≤95，
解得x≤47；
第二次运算结果2（2x+1）+1＝4x+3，没有输出，
∴4x+3≤95，
解得x≤23；
第三次运算结果为2（4x+3）+1＝8x+7，输出，
∴8x+7＞95，
解得x＞11，
综上可得11＜x≤23．
故选：C．
【强化训练1】每年3月12日是“植树节”，某班为响应“绿水青山就是金山银山”的理念，在植树节这天组织学生开展植树活动，老师提前购买了一定数量的小树苗，在分发树苗的过程中，若每人种3棵，则多出86棵，若每人种5棵，则有一人可分得但不足3棵，则这批小树苗共有（　　）
A.122棵 B.186棵 C.212棵 D.221棵
【答案】D
【解析】设有x人植树，则这批小树苗共有（3x+86）棵，
由题意得
解得44＜x＜45，
又∵x为正整数，
∴x＝45，
∴3x+86＝221.
故选：D．
【强化训练2】安排学生住宿，若每间住4人，则还有17人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为 　 　．
【答案】9或10或11
【解析】设共有x间宿舍，则共有（4x+17）个学生，
依题意得
解得．
又∵x为正整数，
∴x＝9或10或11．
故答案为：9或10或11．
【强化训练3】按如图的运算程序进行运算，当运算到“判断结果是否大于29”为一次运算．
（1）当x＝6时，输出的数值是 　 　；
（2）若该程序只运行了2次运算就停止了，则x的取值范围为 　 　．
【答案】（1）38　（2）5＜x≤11
【解析】（1）当x＝6时，
第一次运算：3×6﹣4＝14＜29，
第二次运算：3×14﹣4＝38＞29，
∴当x＝6时，输出的数值是38.
（2）根据题意得
解得5＜x≤11．
【强化训练4】2022年8月金华轻轨的开通极大方便了居民的出行，全线实行按里程分段计程票制，起步价2元，不足1元按1元计算，具体收费标准如下：
（1）若上车站点与下车站点的里程数为6公里，则乘坐轻轨的车费为 　 　元．
（2）已知金华站距金华南站的里程数是14.5公里，金华站距义亭站的里程是45公里，请计算乘坐轻轨从金华站到金华南站、金华站到义亭站的费用分别是多少元？
（3）已知某人乘轻轨从一个站点到另一个站点，中途没下车，费用为12元，这两个站点之间的里程数为s公里，请直接写出s的范围．
【答案】解 （1）∵6公里＜8公里，
∴乘坐轻轨的车费为2元．
（2）根据题意得,金华站距金华南站的里程数是14.5公里，即（8+6.5）公里，所需费用为2+6.5÷4＝3.625≈4（元）；
金华站距义亭站的里程是45公里，即（8+20+17）公里，所需费用为2+20÷4+17÷6＝9.83≈10（元）．
则乘坐轻轨从金华站到金华南站的费用是4元，从金华站到义亭站的费用是10元.
（3）根据题意得
解得52＜s≤58．
则s的范围为52＜s≤58．

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