北师大版(2024)八年级下册数学 5.1 分式及其基本性质 题型专练(原卷版+含答案)

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北师大版(2024)八年级下册数学 5.1 分式及其基本性质 题型专练(原卷版+含答案)

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北师大版(2024)八年级下册 5.1 分式及其基本性质 题型专练(参考答案)
【题型1】分式的概念
【典例】下列各式,,, ,,=中,分式的个数为(  )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【解析】, ,是分式,共3个.
故选:C.
【强化训练1】下列各式:①;②;③;④中,是分式的有(  )
A.①② B.③④ C.①③ D.①②③④
【答案】C
【解析】和分母中含有字母,所以它们是分式.
故选:C.
【强化训练2】如图,甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片,则卡片中的式子是分式的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】甲卡片中,是分式;乙卡片中,中,π是一个数,故不是分式;丙卡片中,是分式;丁卡片中,,分母不含字母,不是分式.
综上,是分式的有甲、丙,共2个.
故选:B.
【强化训练3】下列式子中:,,,,,,整式有        ,分式有       .
【答案】, ,,,
【解析】分母中不含有字母的有:,,是整式;
分母中含有字母的有:,,,,是分式.
【强化训练4】请你写出一个含有字母x,y的分式: .
【答案】(答案不唯一)
【强化训练5】一组按规律排列的式子: ,, ,,…,(ab≠0,n为正整数)分别写出第5个、第8个、第n个式子?
【答案】解:分子的变化规律是(-1)1b2,(-1)2b2+3,…,(-1)nb3n-1;
分母的变化规律是a1,a2,a3…an.
∴分式的变化规律是…;
∴第5个分式是( 1)5=;
第8个分式是=( 1)8=;
第n个分式是.
【题型2】分式有意义的条件
【典例】x,y满足什么条件,分式有意义(  )
A.x,y不都为0 B.x,y都不为0 C.x,y都为0 D.x=-y
【答案】A
【解析】分式有意义,则x2+y2≠0,而x2≥0,y2≥0,所以当x,y不都为0时,分母x2+y2≠0.
故选:A.
【强化训练1】使分式有意义的x的取值范围是(  )
A.x≠1 B.x≠-1 C.x<1 D.x>1
【答案】A
【解析】∵分式有意义,∴x-1≠0,解得x≠1.
故选:A.
【强化训练2】x的值为 时,分式无意义.
【答案】-1
【解析】由分式无意义,得x+1=0,解得x=-1.
【强化训练3】在学习第9章第1节“分式”时,小明和小丽都遇到了“当x取何值时,有意义?”
小明的做法是:先化简==,要使有意义,必须x﹣2≠0,即x≠2;
小丽的做法是:要使有意义,只须x2﹣4≠0,即x2≠4,所以x1≠﹣2,x2≠2.
如果你与小明和小丽是同一个学习小组,请你发表一下自己的意见.
【答案】解:因为当分母不为0时,分式有意义.
小明的做法错误在于他先把分式约分,使原来的分式中字母x的取值范围缩小了.
小丽的做法正确.
【题型3】分式值为0的条件
【典例】若分式的值为0,则x的取值是(  )
A.x=1 B.x=-1 C.x=±1 D.x=0
【答案】A
【解析】由分式的值为零的条件得解得x=1.
故选:A.
【强化训练1】分式中,当x=﹣a时,下列结论正确的是(  )
A.分式的值为零 B.分式无意义 C.若a≠﹣,分式的值为零 D.若a≠,分式的值为零
【答案】C
【解析】∵3x﹣1≠0,解得x≠,
故把x=﹣a代入分式中,当x=﹣a且﹣a≠时,即a≠﹣时,分式的值为零.
故选:C.
【强化训练2】对于分式,当x=﹣1时其值为0,当x=1时此分式没有意义,那么(  )
A.a=b=﹣1 B.a=b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=1
【答案】A
【解析】当x=-1时,原式==0,∴解得b=-1;
当x=1时,原式==0,∴a+1=0,解得a=-1.
故选:A.
【强化训练3】当x=   时,分式的值为0.
【答案】
【解析】∵分式的值为0,∴解得x=.
【强化训练4】已知y=,x取哪些值时,y的值是零?分式无意义?y的值是正数?
【答案】解:由题意得当x=0时,y的值是零;
当3-5x=0,即x=时,分式无意义;
当>0,即x<且x≠0时,y的值是正数.
【题型4】已知某些字母的值求分式的值
【典例】当x=﹣2时,分式的值是(  )
A.0 B.无意义 C.1 D.
【答案】A
【解析】把x=﹣2代入分式中,得=.
故选:A.
【强化训练1】设P=,请你计算当x=1,2,3,4,5,…时P的值,猜想当x非常大时,P的值接近哪个数(  )
A. B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】当x=1时,P==,
当x=2时,P==,
当x=3时,P==,
当x=4时,P==,
当x=5时,P==,
…,
可得出当x非常大时,P的值接近.
故选:A.
【强化训练2】已知x﹕y=3,则分式的值是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵x﹕y=3,∴x=3y,∴===.
故选:C.
【强化训练3】当x=2时,= .
【答案】1
【解析】当x=2时,原式==1.
【强化训练4】当x=0,-2,时,求分式的值.
【答案】解:当x=0时,原式==-1;
当x=-2时,原式==-1;
当x=时,原式===.
【题型5】整体代入法求分式的值
【典例】已知x2﹣3x﹣4=0,则分式的值是(  )
A.3 B.2 C. D.
【答案】D
【解析】已知等式整理得x﹣=3,则原式===.
故选:D.
【强化训练1】已知=2,则的值是(  )
A.-5 B.5 C.-4 D.4
【答案】B
【强化训练2】若分式的值是整数,则整数x的值是   .
【答案】0或2
【解析】当x=0时,原式=0,符合题意;
当x=2时,原式=2,符合题意;
则整数x的值是0或2.
【强化训练3】两个正数a,b满足a2﹣2ab﹣3b2=0,则式子的值为  .
【答案】
【解析】∵a2﹣2ab﹣3b2=0,∴(a﹣3b)(a+b)=0,
∵a,b是两个正数,∴a+b>0,∴a﹣3b=0,∴a=3b,∴==.
【强化训练4】已知=,求的值.
【答案】解:∵=,
∴=9,
x﹣+1=9,
x﹣=8,
∴==(x+2+1=82+3=67,
∴=.
【题型6】由分式值正负确定字母的取值范围
【典例】若分式的值为正数,则x的取值范围是(  )
A.x< B.x>0 C.0<x< D.x<且x≠0
【答案】D
【解析】∵﹣2x2≤0,且分式的值为正数,∴x≠0,
3x﹣1<0,解得x<,且x≠0.
故选:D.
【强化训练1】若分式的值是负数,则x的取值范围是(  )
A.x> B.x> C.x< D.x<
【答案】B
【强化训练2】当x的取值范围为   时,分式的值为负数.
【答案】x<2且x≠1
【解析】∵分式的值为负数,且|x﹣1|为正数,∴x﹣2<0且x﹣1≠0,即x<2且x≠1.
【强化训练3】使分式的值为正数的x的取值范围为   .
【答案】x<
【解析】∵x2+1≥1,∴当2﹣3x>0时,分式的值为正数,解得x<.
【强化训练4】在y=中,当x取何值时,
(1)y是正数?
(2)y是负数?
(3)y的值是0?
【答案】解:(1)∵y是正数,∴或解得1<x<2.
(2)∵y是负数,∴或解得x>2或x<1.
(3)∵y的值是0,∴3x﹣6=0,且﹣x+1≠0,解得x=2.
【强化训练5】若x为整数,且的值也为整数,求所有符合条件的x的值之和.
【答案】解:==.
∵x为整数,为整数,∴x-2=±1,x-2=±2,x-2=±4,
∴x的值为-2,0,1,3,4,6.
若原分式有意义,则x2-4≠0,∴x≠2且x≠-2.
∴x的值为0,1,3,4,6.
故所有符合条件的x的值之和为0+1+3+4+6=14.
【题型7】分式的应用
【典例】小明在电脑上1分钟录入汉字50个,小明的爸爸1分钟录入汉字30个.如果小明和爸爸各录入x个汉字,那么爸爸比小明多用(  )
A.( )分钟 B.( )分钟 C.( )分钟 D.( )分钟
【答案】B
【解析】根据题意可得:爸爸比小明多用的时间为( )分钟.
故选:B.
【强化训练1】一辆汽车以v千米/时的速度行驶,从A地到B地需要t小时.若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米/时,那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少(  )
A.小时 B.小时 C.小时 D. t小时
【答案】B
【解析】A地到B地的路程=vt(千米),
提速后的速度=v+m(千米/时),
提速后的时间=(小时),
∴提速后从A地到B地需要的时间比原来减少小时.
故选:B.
【强化训练2】长方形的面积为S,它的一边长为a,则长方形的另一边长为 .
【答案】
【解析】根据矩形的面积公式,得长方形的另一边长为.
【强化训练3】李师傅a小时加工了40个零件,每小时加工 个.
【答案】
【强化训练4】已知梯形的上底为a,下底为b,面积为S,求它的高.
【答案】解:∵S=×(a+b)×高,∴梯形的高为.
【题型8】用分式基本性质将分式变形
【典例】若x,y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据分式的基本性质,可知若x,y的值均扩大为原来的2倍,
A选项,==;
B选项,≠;
C选项,;
D选项,.
故选:A.
【强化训练1】如果把分式中的x和y都扩大3倍,那么分式的值(  )
A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.扩大9倍
【答案】C
【解析】根据题意,得=,所以分式的值不变.
故选:C.
【强化训练2】若x,y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据分式的基本性质,可知若x,y的值均扩大为原来的2倍,
A选项,==;
B选项,≠;
C选项,;
D选项,.
故选:A.
【强化训练3】下列各式正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【强化训练4】若等式成立,则A= .
【答案】x+1
【解析】分子变化成第二个分式的分子,变化的方法是除以x-1, ∴分母为(x2-1)÷(x-1)=x+1, ∴A=x+1.
【强化训练5】填空:(1);(2).
【答案】(1)x;(2)x+y
【解析】(1)根据分式的基本性质,分子、分母都除以a,得分母为x;
(2)分子乘(x+y),分母也乘(x+y).
【强化训练6】在下列各题括号内,填上使等式成立的分子. (1); (2).
【答案】(1)2;(2)2x
【解析】(1)观察该等式的分母的变化是分母扩大了2xy倍,则分子也扩大2xy倍,填2x2y; (2)观察该等式的分母的变化是分母缩小了xy倍,则分子也缩小xy倍,填2x.
【题型9】把分子与分母的系数变为整数
【典例】不改变分式的值,使分式的各项系数化为整数,分子、分母应同时乘(  )
A.10 B.9 C.45 D.90
【答案】D
【解析】因为分式分子的各项系数化为整数要乘以10,分式分母的各项系数化为整数要乘以9,所以分式的各项系数全部化为整数则要乘以10和9的最小公倍数90.
故选:D.
【强化训练1】将分式中分子与分母的各项系数都化成整数,正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分式中分子与分母的各项系数都化成整数,同乘2,正确的是.
故选:A.
【强化训练2】不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分式的分子和分母乘6,原式=.
故选:D.
【强化训练3】不改变分式的值,把它的分子和分母中的各项系数化为整数:=  .
【答案】
【解析】分子分母都乘以10,分式的值不变,得.
【强化训练4】不改变分式的值,把分子分母中各项系数化为整数,结果是   .
【答案】
【解析】根据分式的基本性质,把分式的分子分母分别乘以100,分式中各项系数化为整数,结果是.
【强化训练5】不改变分式的值,使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数.
【答案】解:
【强化训练6】不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数:
①;②
【答案】解:①分式的分子与分母同时乘6得:原式=.
②分式的分子与分母同时乘10得:原式=.
【题型10】把分子与分母的最高次项系数变为正数
【典例】与分式相等的是(  )
A. B. C.- D.
【答案】C
【强化训练1】下列各式变形正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.原式=,故错误;
B.原式=,故错误;
C原式=,故错误;
D.,故正确.
故选:D.
【强化训练2】下列分式的变形中:①=(c≠0);②=-1;③=;④=,错误的是________.(填序号)
【答案】③④
【解析】③原式=,故③错误;
④原式=,故④错误.
【强化训练3】不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含负号.
(1);(2);(3);(4)-.
【答案】解:(1)=-.
(2)=-.
(3)=.
(4)-=-.
【题型11】公因式为单项式的约分
【典例】化简的结果是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式==.
故选:B.
【强化训练1】当=时,k的值为(  )
A. 3x2y2(2x-1) B. 3xy(2x-1) C. xy2(2x-1) D. xy(2x-1)
【答案】B
【解析】∵=,∴kxy=3x2y2(2x-1),∴k=3xy(2x-1).
故选:B.
【强化训练2】约分的结果是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式==.
故选:A.
【强化训练3】化简的结果是(  )
A. B. C. D.4y
【答案】C
【解析】原式==.
故选:C.
【强化训练4】约分:= .
【答案】
【解析】原式=-=.
【强化训练5】约分:= .
【答案】-
【强化训练6】约分:= .
【答案】
【题型12】公因式为多项式的约分
【典例】下列各式约分正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.原式=,故本选项错误;
B.分子、分母没有公因式,不能约分,故本选项错误;
C.原式=,故本选项正确;
D.原式=,分子、分母没有公因式,不能约分,故本选项错误.
故选:C.
【强化训练1】在等式中,M的值为(  )
A.a B.a+1 C.﹣a D.a2﹣1
【答案】A
【解析】原式=,所以M=a.
故选:A.
【强化训练2】下列运算正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A正确;
B错误,不能约分;
C错误,应为;
D错误,应为.
故选:A.
【强化训练3】下列各式约分正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.原式=,故本选项错误;
B.分子、分母没有公因式,不能约分,故本选项错误;
C.原式=,故本选项正确;
D.原式=,分子、分母没有公因式,不能约分,故本选项错误.
故选:C.
【强化训练4】分式约分等于(  )
A.1﹣x B. C. D.
【答案】D
【解析】 ==.
故选:D.
【强化训练5】计算的结果是   .
【答案】1﹣2a
【解析】原式==1﹣2a.
【强化训练6】化简分式:=   .
【答案】
【解析】原式==.
【强化训练7】分式可化简为   .
【答案】
【题型13】最简分式
【典例】若分式是最简分式,则△表示的是(  )
A.2x+2y B.(x-y)2 C.x2+2xy+y2 D.x2+y2
【答案】D
【解析】因为x2-y2=(x+y)(x-y),且分式是最简分式,所以△中肯定不含有(x+y)或(x-y).
观察选项,只有选项D符合题意.
故选:D.
【强化训练1】下列分式中,最简分式是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A项,==,不是最简分式,故此选项不符合题意;
B项,是最简分式,故此选项符合题意;
C项,==,不是最简分式,故此选项不符合题意;
D项,==,不是最简分式,故此选项不符合题意.
故选:B.
【强化训练2】下列分式中是最简分式的是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵=a,=,=,∴A,C,D三个选项都不是最简分式;
的分子与分母没有公因式,是最简分式.
故选:B.
【强化训练3】分式的最简分式是 .
【答案】
【解析】原式==.
【强化训练4】分式是最简分式吗?若不是最简分式请把它化为最简分式,并求出x=2时此分式的值.
【答案】解:分式不是最简分式. 原式==, 当x=2时,原式==.北师大版(2024)八年级下册 5.1 分式及其基本性质 题型专练
【题型1】分式的概念
【典例】下列各式,,, ,,=中,分式的个数为(  )
A.5 B.4 C.3 D.2
【强化训练1】下列各式:①;②;③;④中,是分式的有(  )
A.①② B.③④ C.①③ D.①②③④
【强化训练2】如图,甲、乙、丙、丁四人手中各有一个圆形卡片,则卡片中的式子是分式的有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练3】下列式子中:,,,,,,整式有        ,分式有       .
【强化训练4】请你写出一个含有字母x,y的分式: .
【强化训练5】一组按规律排列的式子: ,, ,,…,(ab≠0,n为正整数)分别写出第5个、第8个、第n个式子?
【题型2】分式有意义的条件
【典例】x,y满足什么条件,分式有意义(  )
A.x,y不都为0 B.x,y都不为0 C.x,y都为0 D.x=-y
【强化训练1】使分式有意义的x的取值范围是(  )
A.x≠1 B.x≠-1 C.x<1 D.x>1
【强化训练2】x的值为 时,分式无意义.
【强化训练3】在学习第9章第1节“分式”时,小明和小丽都遇到了“当x取何值时,有意义?”
小明的做法是:先化简==,要使有意义,必须x﹣2≠0,即x≠2;
小丽的做法是:要使有意义,只须x2﹣4≠0,即x2≠4,所以x1≠﹣2,x2≠2.
如果你与小明和小丽是同一个学习小组,请你发表一下自己的意见.
【题型3】分式值为0的条件
【典例】若分式的值为0,则x的取值是(  )
A.x=1 B.x=-1 C.x=±1 D.x=0
【强化训练1】分式中,当x=﹣a时,下列结论正确的是(  )
A.分式的值为零 B.分式无意义 C.若a≠﹣,分式的值为零 D.若a≠,分式的值为零
【强化训练2】对于分式,当x=﹣1时其值为0,当x=1时此分式没有意义,那么(  )
A.a=b=﹣1 B.a=b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=1
【强化训练3】当x=   时,分式的值为0.
【强化训练4】已知y=,x取哪些值时,y的值是零?分式无意义?y的值是正数?
【题型4】已知某些字母的值求分式的值
【典例】当x=﹣2时,分式的值是(  )
A.0 B.无意义 C.1 D.
【强化训练1】设P=,请你计算当x=1,2,3,4,5,…时P的值,猜想当x非常大时,P的值接近哪个数(  )
A. B. C.1 D.2
【强化训练2】已知x﹕y=3,则分式的值是(  )
A. B. C. D.
【强化训练3】当x=2时,= .
【强化训练4】当x=0,-2,时,求分式的值.
【题型5】整体代入法求分式的值
【典例】已知x2﹣3x﹣4=0,则分式的值是(  )
A.3 B.2 C. D.
【强化训练1】已知=2,则的值是(  )
A.-5 B.5 C.-4 D.4
【强化训练2】若分式的值是整数,则整数x的值是   .
【强化训练3】两个正数a,b满足a2﹣2ab﹣3b2=0,则式子的值为  .
【强化训练4】已知=,求的值.
【题型6】由分式值正负确定字母的取值范围
【典例】若分式的值为正数,则x的取值范围是(  )
A.x< B.x>0 C.0<x< D.x<且x≠0
【强化训练1】若分式的值是负数,则x的取值范围是(  )
A.x> B.x> C.x< D.x<
【强化训练2】当x的取值范围为   时,分式的值为负数.
【强化训练3】使分式的值为正数的x的取值范围为   .
【强化训练4】在y=中,当x取何值时,
(1)y是正数?
(2)y是负数?
(3)y的值是0?
【强化训练5】若x为整数,且的值也为整数,求所有符合条件的x的值之和.
【题型7】分式的应用
【典例】小明在电脑上1分钟录入汉字50个,小明的爸爸1分钟录入汉字30个.如果小明和爸爸各录入x个汉字,那么爸爸比小明多用(  )
A.( )分钟 B.( )分钟 C.( )分钟 D.( )分钟
【强化训练1】一辆汽车以v千米/时的速度行驶,从A地到B地需要t小时.若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米/时,那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少(  )
A.小时 B.小时 C.小时 D. t小时
【强化训练2】长方形的面积为S,它的一边长为a,则长方形的另一边长为 .
【强化训练3】李师傅a小时加工了40个零件,每小时加工 个.
【强化训练4】已知梯形的上底为a,下底为b,面积为S,求它的高.
【题型8】用分式基本性质将分式变形
【典例】若x,y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练1】如果把分式中的x和y都扩大3倍,那么分式的值(  )
A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.扩大9倍
【强化训练2】若x,y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练3】下列各式正确的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练4】若等式成立,则A= .
【强化训练5】填空:(1);(2).
【强化训练6】在下列各题括号内,填上使等式成立的分子. (1); (2).
【题型9】把分子与分母的系数变为整数
【典例】不改变分式的值,使分式的各项系数化为整数,分子、分母应同时乘(  )
A.10 B.9 C.45 D.90
【强化训练1】将分式中分子与分母的各项系数都化成整数,正确的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练2】不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是(  )
A. B. C. D.
【强化训练3】不改变分式的值,把它的分子和分母中的各项系数化为整数:=  .
【强化训练4】不改变分式的值,把分子分母中各项系数化为整数,结果是   .
【强化训练5】不改变分式的值,使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数.
【强化训练6】不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数:
①;②
【题型10】把分子与分母的最高次项系数变为正数
【典例】与分式相等的是(  )
A. B. C.- D.
【强化训练1】下列各式变形正确的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练2】下列分式的变形中:①=(c≠0);②=-1;③=;④=,错误的是________.(填序号)
【强化训练3】不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含负号.
(1);(2);(3);(4)-.
【题型11】公因式为单项式的约分
【典例】化简的结果是(  )
A. B. C. D.
【强化训练1】当=时,k的值为(  )
A. 3x2y2(2x-1) B. 3xy(2x-1) C. xy2(2x-1) D. xy(2x-1)
【强化训练2】约分的结果是(  )
A. B. C. D.
【强化训练3】化简的结果是(  )
A. B. C. D.4y
【强化训练4】约分:= .
【强化训练5】约分:= .
【强化训练6】约分:= .
【题型12】公因式为多项式的约分
【典例】下列各式约分正确的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练1】在等式中,M的值为(  )
A.a B.a+1 C.﹣a D.a2﹣1
【强化训练2】下列运算正确的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练3】下列各式约分正确的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练4】分式约分等于(  )
A.1﹣x B. C. D.
【强化训练5】计算的结果是   .
【强化训练6】化简分式:=   .
【强化训练7】分式可化简为   .
【题型13】最简分式
【典例】若分式是最简分式,则△表示的是(  )
A.2x+2y B.(x-y)2 C.x2+2xy+y2 D.x2+y2
【强化训练1】下列分式中,最简分式是(  )
A. B. C. D.
【强化训练2】下列分式中是最简分式的是(  )
A. B. C. D.
【强化训练3】分式的最简分式是 .
【强化训练4】分式是最简分式吗?若不是最简分式请把它化为最简分式,并求出x=2时此分式的值.

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