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北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 题型专练
【题型1】求边长或坐标
【典例】如图，在平面直角坐标系中， ABCD的边AD在x轴上，顶点B在y轴上，点A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），∠OBA=30°，则顶点C的坐标为（　　）
A.(2，5) B.(5，4) C.(5，2) D.(4，5)
【强化训练1】在 ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB=3 cm,AD=10 cm,则EF的长为（　　）
A.3 cm B.3.5 cm C.4 cm D.4.5 cm
【强化训练2】如图， ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA的延长线于点E，已知∠ABC=60°，AB=4，BC=6，则点E的坐标为（　　）
A. B. C. D.
【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)， (5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________．
【强化训练4】如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【强化训练5】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长.
【题型2】求周长或面积
【典例】已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　)
A.4 B.12 C.24 D.28
【强化训练1】已知，在 ABCD中，BC－AB＝2（cm），BC＝4 cm，则 ABCD的周长是(　　)
A.6 cm B.12 cm C.8 cm D.10 cm
【强化训练2】小明为了计算 ABCD的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示 ABCD的高的是（　　）
A.BF B.GH C.DE D.BD
【强化训练3】如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________．
【强化训练4】一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是________米．
【强化训练5】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【强化训练6】如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积.
【题型3】求角的大小
【典例】如图，在 ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）
A.130° B.110° C.120° D.140°
【强化训练1】四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（　　）
A.55° B.50° C.40° D.35°
【强化训练2】将一个三角板按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG=90°，∠EGF=30°，∠BEF=50°，则∠EGD的度数为（　　）
A.80° B.90° C.110° D.140°
【强化训练3】如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B.3α C.2α D.180°-α
【题型4】平行四边形的对角相等
【典例】如图，在 ABCD中，点E是BC延长线上一点，且∠A＝120°，则∠DCE的度数是(　　)
A.120° B.60° C.45° D.30°
【强化训练1】在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
【强化训练2】如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE＝42°，则∠D度数是(　　)
A.42° B.48° C.58° D.138°
【强化训练3】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________.
【强化训练4】如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
【强化训练5】如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D，∠BAD的度数．
【强化训练6】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G.
求证：（1）BD=BE；
（2）∠A=∠BHE；
（3）AB=BH.
【题型5】平行四边形的对角线互相平分
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，BD，图中的全等三角形有(　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：
①AO＝BO；
②OE＝OF；
③△EAM≌△FCN；
④△EAO≌△CNO.
其中正确的是(　　)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【强化训练2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，则下列说法一定正确的(　　)
A.AO＝OD B.AO⊥OD C.AO＝OC D.AO⊥AB
【强化训练3】 ABCD的周长为40 cm，对角线AC,BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm.
【强化训练4】如图， ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________．
【强化训练5】如图， ABCD中，∠B=60°，AB=4，BC=5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，且PF∥CD交AD于F，求阴影部分的面积.
【题型6】平行四边形的判定
【典例】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD＝BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB∥DC，AD∥BC
【强化训练1】在平面直角坐标系中，点O,B,D的坐标分别是（0，0）,（5，0）,（2，3），若存在点C，使得以点O, B, D,C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（　　）
A.（3，-3） B.（-3，3） C.（3，5） D.（7，3）
【强化训练2】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件：__________，使四边形BDFC为平行四边形．
【强化训练3】四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有________种．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
(1)给出以下条件：①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【题型7】平行四边形性质与判定的综合
【典例】如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：(1)四边形ABDC是平行四边形；(2)BE＝DF；(3)S四边形ABDC＝S四边形BDFE；(4)BD＝CE.其中正确的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，AB=，EF=4，则CF的长是（　　）
A. B. C.2 D.
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC＝5，EF＝3.
(1)若AB＝DC，则四边形ABCD的面积S＝________；
(2)若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′________S(用“＞” “＝”或“＜”填空)．
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则AO 的长度等于________．
【强化训练4】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF，连接DE，BE，BF，DF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
【题型8】平行线之间的距离
【典例】如图，点P为平行四边形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积为（　　）
A.21 B.19 C.17 D.15
【强化训练1】如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　)
A.2 B.4 C.5 D.10
【强化训练2】如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是(　　)
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE＝FG
C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D.AC＝BD
【强化训练3】已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，到直线b的距离是3 cm，那么直线a和直线b之间的距离为__________．
【强化训练4】如图，已知直线AB∥CD，直线EF截AB，CD于E，F，EG⊥CD，∠EFD＝45°且FG＝6，则AB，CD之间的距离为__________．
【强化训练5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值.
【题型9】梯形的定义与识别
【典例】下列图形中，不是梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练1】下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练2】下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【强化训练3】下列图形中，不是梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【题型10】梯形的分类
【典例】梯形的任一条高可把梯形最多分成（ ）个直角梯形.
A.0 B.1 C.2 D.3
【强化训练1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF∥BC，则图形等腰梯形有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF⊥BC.则图中的等腰梯形为 ，直角梯形为 .
【强化训练3】已知平行四边形ABCD，以点D为圆心，以DC长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：
（1）△DCE为等腰三角形；
（2）四边形ABED为等腰梯形.北师大版（2024）八年级下册 6.1 平行四边形的性质及判定 题型专练（参考答案）
【题型1】求边长或坐标
【典例】如图，在平面直角坐标系中， ABCD的边AD在x轴上，顶点B在y轴上，点A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），∠OBA=30°，则顶点C的坐标为（　　）
A.(2，5) B.(5，4) C.(5，2) D.(4，5)
【答案】C
【解析】∵A（2，0），则OA=2，
∵∠OBA=30°，
∴AB=2OA=4，
在Rt△AOB中，OB＝=2，
∴B(0，2)，
∵四边形ABCD是平行四边形，A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），
∴BC=AD=5，
∴C(5，2).
故选：C．
【强化训练1】在 ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB=3 cm,AD=10 cm,则EF的长为（　　）
A.3 cm B.3.5 cm C.4 cm D.4.5 cm
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB =3 cm,AD∥BC，
由尺规作图后留下的痕迹可知，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE=∠CBE，∠DCF=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DFC=∠BCF，
∴∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，
∴AE=AB=3 cm, DF = CD =3 cm,
∴EF=AD-AE-DF=10-3-3=4(cm)，
故选：C．
【强化训练2】如图， ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA的延长线于点E，已知∠ABC=60°，AB=4，BC=6，则点E的坐标为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点E作EF⊥y轴于点F，
则∠EFO=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，AD∥BC，
∴∠EAD=∠ABC=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=30°，
∴AE=AD=3，
∴BE=AB+AE=4+3=7，
∵∠EOF=90°-∠ABC=30°，
∴EF=OE=，
∴OF===，
∴点E的坐标为（-,），
故选：C．
【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0,0)， (5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是________．
【答案】(7,3)
【解析】因为CD∥AB，
所以C点纵坐标与D点相同，为3，
又因为AB＝CD＝5，
故可得C点横坐标为7.故答案为(7,3)．
【强化训练4】如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF.
(1)求证：DE＝CF；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵F是AD的中点，
∴FD＝AD.∵CE＝BC，
∴FD＝CE.
又∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
∴DE＝CF.
(2)过D作DG⊥CE于点G.如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，BC＝AD＝6.
∴∠DCE＝∠B＝60°.
在Rt△CDG中，∠DGC＝90°，
∴∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝2.
由勾股定理得DG＝＝2.
∵CE＝BC＝3，
∴GE＝1.
在Rt△DEG中，∠DGE＝90°，
∴DE＝＝.
∴AF∥CE.
【强化训练5】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF=DE=5，BE=24，求BC的长.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴BE=2BF，
∴BF=12，
∴AB===13，
∴AE=AB=13，
∴BC=AD=AE+DE=13+5=18.
【题型2】求周长或面积
【典例】已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　)
A.4 B.12 C.24 D.28
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2(AB＋BC)＝32，
∴AB＋BC=16，
又∵AB=4，
∴BC＝12.
故选B.
【强化训练1】已知，在 ABCD中，BC－AB＝2（cm），BC＝4 cm，则 ABCD的周长是(　　)
A.6 cm B.12 cm C.8 cm D.10 cm
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵BC－AB＝2（cm），BC＝4 cm，
∴AB＝CD＝2 cm，
∴ ABCD的周长是＝2＋2＋4＋4＝12(cm).
故选B.
【强化训练2】小明为了计算 ABCD的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示 ABCD的高的是（　　）
A.BF B.GH C.DE D.BD
【答案】D
【解析】∵从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高，
由图可知，BD并不垂直于B点的对边CD，
∴BD不能表示 ABCD的高，
故选：D．
【强化训练3】如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________．
【答案】8或10
【解析】如图所示：
①当AE＝1，DE＝2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝1，
∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝8；
②当AE＝2，DE＝1时，同理得AB＝AE＝2，
∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝10.
【强化训练4】一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是________米．
【答案】2.5
【解析】设长边和短边长分别为5x米,3x米，
∴2(5x＋3x)＝8，解得x＝0.5，
∴5 x=5×0.5=2.5（米），
∴长边的长是2.5米．
【强化训练5】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
(1)求证：BE＝CD；
(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，∴BE＝CD.
(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，AF＝EF，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE·BF＝×4×2＝4.
【强化训练6】如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝2 cm2，S△BQC＝8 cm2，求阴影部分的面积.
【答案】解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF=∠CFB，∠BEC=∠FCE，
∵BQ=FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ=CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴S△BEF＝2S△BQC＝16 cm2，
∵S△AED=S△AEF，
∴S△APD＝S△EPF＝2 cm2，
∴S阴影＝S△EPF+S△EBF＝18(cm2).
【题型3】求角的大小
【典例】如图，在 ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）
A.130° B.110° C.120° D.140°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠1=20°，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠1=20°，
∵BE⊥AB交对角线AC于点E，
∴∠ABE=90°，
∴∠2=∠BAC+∠ABE=20°+90°=110°，
故选：B．
【强化训练1】四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（　　）
A.55° B.50° C.40° D.35°
【答案】D
【解析】∵∠ABC=70°，BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABC=35°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=70°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=35°，
∵DF∥BE，
∴∠EDF=∠AEB=35°，
∴∠CDF=∠ADC-∠EDF=70°-35°=35°，
故选：D．
【强化训练2】将一个三角板按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG=90°，∠EGF=30°，∠BEF=50°，则∠EGD的度数为（　　）
A.80° B.90° C.110° D.140°
【答案】C
【解析】∵∠EFG=90°，∠EGF=30°，
∴∠GEF=60°，
∵∠BEF=50°，
∴∠BEF+∠GEF=50°+60°=110°，
即∠BEG=110°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠EGD=∠BEG=110°．
故选：C．
【强化训练3】如图，四边形ABCD是平行四边形，线段BE垂直平分边CD于点，点F是边AD上一点，连接BF，若BF＝DF，∠CBE=α，则∠BFA的度数是( )
A.4α B.3α C.2α D.180°-α
【答案】A
【解析】如图，连接BD，
∵线段BE垂直平分边CD于点E，
∴BD＝BC，
∴∠DBE =∠CBE =α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDB=∠CBD=2α，
∵FB=FD，
∴∠FBD=2α，
∴∠AFB=∠FBD+∠FDB=4α.
故选：A．
【题型4】平行四边形的对角相等
【典例】如图，在 ABCD中，点E是BC延长线上一点，且∠A＝120°，则∠DCE的度数是(　　)
A.120° B.60° C.45° D.30°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BE，
∴∠B＝180°－∠A＝60°，
∴∠DCE＝∠B＝60°.故选B.
【强化训练1】在 ABCD中，∠ACB＝25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　)
A.135° B.120° C.115° D.100°
【答案】C
【解析】由折叠可得∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE，
∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝130°，
∴∠FEC＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE＋∠FEC＝180°，
∴∠DFE＝115°，
∴∠GFE＝115°，
故选C.
【强化训练2】如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BCE＝42°，则∠D度数是(　　)
A.42° B.48° C.58° D.138°
【答案】B
【解析】∵CE⊥AB，∠BCE＝42°，
∴∠B＝48°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝48°.
故选B.
【强化训练3】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D′，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D′AD＝__________.
【答案】55°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，
由折叠的性质，得∠D′AE＝∠C，
∴∠D′AE＝∠BAD，
∴∠D′AD＝∠BAE＝55°.
【强化训练4】如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
【答案】70°
【解析】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.
【强化训练5】如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D，∠BAD的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
∵EA平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°.
【强化训练6】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G.
求证：（1）BD=BE；
（2）∠A=∠BHE；
（3）AB=BH.
【答案】解：（1）∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴∠DBE=∠BDE=45°，
∴BE=DE，
由勾股定理得BD2=BE2+DE2=2BE2，
∴BD=BE.
（2）∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=90°，
∴∠BHE+∠HBE=90°=∠HBE+∠C，
∴∠C=∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=∠BHE.
（3）∵∠C+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
∠HBE=∠EDC，BE=DE，∠BEH=∠DEC=90°，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴ BH=CD，
∵AB=CD，
∴ AB=BH.
【题型5】平行四边形的对角线互相平分
【典例】如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，BD，图中的全等三角形有(　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC,OD＝OB，OA＝OC；
∵在△AOD和△COB中，DO＝BO，∠AOD＝∠COB，AO＝CO，
∴△AOD≌△COB(SAS)；
同理可得△AOB≌△COD(SAS)；
∵在△ABD和△CDB中，AD＝CB，AB＝CD，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS)；
同理可得△ACD≌△CAB(SSS)．
共有4对全等三角形．故选D.
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：
①AO＝BO；
②OE＝OF；
③△EAM≌△FCN；
④△EAO≌△CNO.
其中正确的是(　　)
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【答案】B
【解析】①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，∵∠E＝∠F，∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF，故②正确；
③由②知，△AOE≌△COF，则∠E＝∠F，AE＝CF.在△EAM与△FCN中，∠E＝∠F，AE＝CF，∠EAM＝∠FCN，∴△EAM≌△FCN(ASA)，故③正确；
④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO不全等，故△EAO和△CNO不全等，故④错误，即②③正确．
故选B.
【强化训练2】如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，则下列说法一定正确的(　　)
A.AO＝OD B.AO⊥OD C.AO＝OC D.AO⊥AB
【答案】C
【强化训练3】 ABCD的周长为40 cm，对角线AC,BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm.
【答案】12；8
【解析】∵平行四边形的周长为40 cm，
∴BC＋AB＝20 (cm)；
又∵△AOB的周长比△BOC的周长多4 cm，
∴AB－BC＝4 cm，
则AB＝12cm，BC＝8 cm.
【强化训练4】如图， ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________．
【答案】1＜a＜7
【解析】如题图所示,∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝4，OD＝BD＝3，
在△AOD中，由三角形的三边关系，
得4－3＜AD＜4＋3.即1＜a＜7.
【强化训练5】如图， ABCD中，∠B=60°，AB=4，BC=5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于E，且PF∥CD交AD于F，求阴影部分的面积.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵PE∥BC，
∴PE∥AD，
∵PF∥CD，
∴PF∥AB，
∴四边形AEPF为平行四边形，
∴AO=PO，EO=FO，∠AOE=∠POF，
∴△POF≌△AOE（SAS），
∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，
过A作AM⊥BC交BC于点M，
∵∠B=60°，AB=4，
∴AM=2，
∴S△ABC=×5×2=5，
即阴影部分的面积等于5．
【题型6】平行四边形的判定
【典例】在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD＝BC
B.AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB∥DC，AD∥BC
【答案】A
【解析】A．错误，当AB∥DC，AD＝BC时，四边形ABCD可能是等腰梯形可能是平行四边形；
B．正确，因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
C．正确，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形；
D．正确，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
故选A.
【强化训练1】在平面直角坐标系中，点O,B,D的坐标分别是（0，0）,（5，0）,（2，3），若存在点C，使得以点O, B, D,C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（　　）
A.（3，-3） B.（-3，3） C.（3，5） D.（7，3）
【答案】C
【解析】当以OB为对角线时，点C的坐标为（3，-3）；
当以OD为对角线时，点C的坐标为（-3，3）；
当以BD为对角线时，点C的坐标为（7，3）.
综上所述，点C的坐标为（3，-3）或（-3，3）或（7，3）.
故选：C．
【强化训练2】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，点E是边CD上一点，连接BE，并延长与AD的延长线相交于点F，请你只添加一个条件：__________，使四边形BDFC为平行四边形．
【答案】BC＝DF
【解析】∵四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥DF，∴当BC＝DF时，四边形BDFC是平行四边形．
【强化训练3】四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有________种．
【答案】6
【解析】任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有①②；③④；①③；①④；②③；②④.
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
(1)给出以下条件：①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：(1)选取①②，
∵在△BEO和△DFO中，∠1＝∠2，BO＝DO，∠EOB＝∠FOD，
∴△BEO≌△DFO(ASA).
(2)由(1)得△BEO≌△DFO，
∴EO＝FO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【题型7】平行四边形性质与判定的综合
【典例】如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：(1)四边形ABDC是平行四边形；(2)BE＝DF；(3)S四边形ABDC＝S四边形BDFE；(4)BD＝CE.其中正确的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【解析】由已知可得四边形ABDC和四边形BDFE都是平行四边形，故(1)，(2)正确；
又因为四边形ABDC和四边形BDFE同底同高，所以面积相等，故(3)正确；
BD＝AC＝EF与CE不一定相等，故(4)错误．
故选B.
【强化训练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，AB=，EF=4，则CF的长是（　　）
A. B. C.2 D.
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD=，
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB=，
∴CE=CD+DE=2，
在Rt△CFE中，由勾股定理得CF===2.
故选：C．
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC＝5，EF＝3.
(1)若AB＝DC，则四边形ABCD的面积S＝________；
(2)若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′________S(用“＞” “＝”或“＜”填空)．
【答案】（1）15
（2）＝
【解析】(1)∵AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的面积S＝5×3＝15.
(2)如图，连接EC，BE延长CD，BE交于点P，∵E是AD中点，∴AE＝DE，又∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠P，∠A＝∠PDE，在△ABE和△DPE中，∵∠ABE＝∠P，∠A＝∠PDE，AE＝DE，∴△ABE≌△DPE(AAS)，∴S△ABE＝S△DPE，BE＝PE，∴S△BCE＝S△PCE，则S四边形ABCD＝S△ABE＋S△CDE＋S△BCE＝S△PDE＋S△CDE＋S△BCE＝S△PCE＋S△BCE＝2S△BCE＝2×BC· EF＝15，∴当AB＞DC时，四边形ABCD的面积S′＝S.
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则AO 的长度等于________．
【答案】3
【解析】∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，∵AC＝6，∴AO＝3.
【强化训练4】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF，连接DE，BE，BF，DF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】证明：连接BD，交AC于点O，如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【题型8】平行线之间的距离
【典例】如图，点P为平行四边形ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB的面积为8，△PAD的面积为4，△PCD的面积为7，则△PBC的面积为（　　）
A.21 B.19 C.17 D.15
【答案】B
【解析】如图，过点P作PH∥AB，交AD于点N，交BC于点H，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PH，
∴S△ABP=S△ABN=S△BHN，S△PCD=S△CDN=S△CNH，S△APN=S△BPN，S△PDN=S△PNC，
∴S△PBC=S△BHN+S△BPN+S△CNH+S△PNC=S△PAD+S△PAB+S△PCD=4+8+7=19.
故选：B．
【强化训练1】如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为(　　)
A.2 B.4 C.5 D.10
【答案】C
【解析】∵直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，
∴点D到直线a的距离与点C到直线b的距离相等．
又∵AB＝EF＝2，
∴△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，
∴S△ABD＝S△CEF＝5.
故选C.
【强化训练2】如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是(　　)
A.l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B.CE＝FG
C.线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离
D.AC＝BD
【答案】C
【解析】A.∵FG⊥l2于点G，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段FG的长度，故本选项正确；
B．∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE＝FG，故本选项正确；
C．∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误；
D．∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，故本选项正确.
故选C.
【强化训练3】已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，到直线b的距离是3 cm，那么直线a和直线b之间的距离为__________．
【答案】2 cm或8 cm
【解析】当M在b下方时，距离为5－3＝2(cm)；
当M在a，b之间时，距离为5＋3＝8(cm).
【强化训练4】如图，已知直线AB∥CD，直线EF截AB，CD于E，F，EG⊥CD，∠EFD＝45°且FG＝6，则AB，CD之间的距离为__________．
【答案】6
【解析】∵EG⊥CD，AB∥CD，
∴EG⊥AB，即EG的长是AB，CD之间的距离，
∵EG⊥CD，
∴∠EGF＝90°，
∵∠EFG＝45°，
∴∠FEG＝180°－90°－45°＝45°＝∠EFG，
∴EG＝FG＝6，
即AB，CD之间的距离是6.
【强化训练5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，点F为对角线BD上一点，且FB=2DF，连接DE，EF，EC，求S△DEF∶S△CED的值.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且△ADB ≌△CBD，
∴S△ABD=S△CBD=S平行四边形ABCD，
∵点E为AB边中点，
∴S△ADE=S△BDE=S平行四边形ABCD，
∵FB=2DF，
∴S△DEF=S△BDE=S平行四边形ABCD，
∵AB∥CD，
∴S△CDE=S△DBC=S平行四边形ABCD，
∴S△DEF∶S△CDE=S平行四边形ABCD∶S平行四边形ABCD=1∶6．
【题型9】梯形的定义与识别
【典例】下列图形中，不是梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，ABC均为梯形，D为正方形，符合题意的只有选项D.
故选D.
【强化训练1】下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.符合定义的只有选项A.
故选A.
【强化训练2】下列图形中，属于梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.符合定义的只有选项B.
故选B.
【强化训练3】下列图形中，不是梯形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：根据梯形的定义：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形.从图中可以看出，ABC均为梯形，D为正方形，符合题意的只有选项D.
故选D.
【题型10】梯形的分类
【典例】梯形的任一条高可把梯形最多分成（ ）个直角梯形.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】
解：根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.如果原梯形是一般梯形，从梯形上底除端点外，任取一点向下底作垂线段，可得到2个直角梯形；如果梯形是直角梯形，与底垂直的腰已知是这个梯形的一条高，如果除这条高外，再从上底任取一点作梯形的高，则不能再得到直角梯形，得到的是一个矩形和一个直角三角形.
故选C.如图：
【强化训练1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF∥BC，则图形等腰梯形有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形.图中符合题意的等腰梯形为梯形ABCD和梯形AEFD和梯形BEFC.
故选C
【强化训练2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，EF⊥BC.则图中的等腰梯形为 ，直角梯形为 .
【答案】
四边形ABCD；四边形ABFE和四边形EFCD.
【解析】
解：根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫作等腰梯形.图中符合题意的等腰梯形为四边形ABCD；根据直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形.图中符合题意的直角梯形有两个，它们四边形ABFE和四边形EFCD.
故答案为四边形ABCD；四边形ABFE和四边形EFCD.
【强化训练3】已知平行四边形ABCD，以点D为圆心，以DC长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：
（1）△DCE为等腰三角形；
（2）四边形ABED为等腰梯形.
【答案】
证明：（1）由作图可知，DE=DC
∴△DCE为等腰三角形.（有两边相等的三角形叫等腰三角形）.
（2）∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，即AD∥BE，AB=DC
∴四边形ABED为梯形（梯形的定义）
∵DE=DC，AB=DC
∴AB=DE
∴梯形ABED为等腰梯形.（等腰梯形的定义）

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