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北师大版（2024）八年级下册 6.2 三角形的中位线 题型专练（参考答案）
【题型1】用三角形的中位线求边长
【典例】如图，点E，F分别是△ABC的边AC，BC的中点，连接BE，过点A作AD∥BE，交FE的延长线于点D，若DE=5，则EF的长为（　　）
A.3 B.2 C. D.
【答案】D
【解析】∵点E，F分别是△ABC的边AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB，EF∥AB，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE=5，
∴EF=.
故选：D．
【强化训练1】如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO.若AO＝6 cm，BC＝8 cm，则四边形DEFG的周长是(　　)
A.14 cm B.18 cm C.24 cm D.28 cm
【答案】A
【解析】∵BD，CE是△ABC的中线，∴ED∥BC且ED＝BC，∵F是BO的中点，G是CO的中点，∴FG∥BC且FG＝BC，∴ED＝FG＝BC＝4 cm，同理GD＝EF＝AO＝3 cm，∴四边形DEFG的周长＝3＋4＋3＋4＝14(cm)．
故选A.
【强化训练2】如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且∠AFC=90°．若AC=6，DF=5，则BC的长为（　　）
A.4.5 B.3.5 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵在△AFC中，∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=6，
∴EF=AC=3，
∵DF=5，
∴DE=DF-EF=2，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×2=4．
故选：D．
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.
【答案】6
【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴AB＝2CD，
∵CD＝6 cm，
∴AB＝12 cm，
∵E，F分别是BC，CA的中点，
∴EF＝AB＝6 cm.
【强化训练4】如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为________．
【答案】3
【解析】∵△ABC的周长是26，BC＝10，∴AB＋AC＝26－10＝16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，∵∠ABQ＝∠EBQ，BQ＝BQ，∠AQB＝∠EQB，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ＝EQ，AB＝BE，同理，AP＝DP，AC＝CD，∴DE＝BE＋CD－BC＝AB＋AC－BC＝16－10＝6，∵AQ＝EQ，AP＝DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ＝DE＝3.
【强化训练5】如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若DE＝4，求BC的长．
【答案】解：(1)如图，作线段AC的垂直平分线MN交AC于点E，点E就是所求的点．
(2)∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵DE＝4，
∴BC＝8.
【强化训练6】如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E，F分别是AD，BC上的中点，EF=3，求AB2+DC2的值.
【答案】解：如图，连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于点N，连接FM，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵E，F，M分别是AD，BC，BD的中点，
∴EM∥AB，FM∥CD，EM=AB，FM=CD，
∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，
由勾股定理得，ME2+MF2=EF2=9，
∴AB2+CD2=（2ME）2+（2MF）2=36．
【题型2】用三角形的中位线求角度
【典例】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG的度数为(　　)
A.47° B.46° C.41° D.23°
【答案】D
【解析】∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝66°，∴∠FGE＝∠FGC＋∠EGC＝20°＋(180°－66°)＝134°，∴∠FEG＝(180°－∠FGE)＝23°.
故选D.
【强化训练1】如图，BD是等腰△ABC底边AC上的中线，ED∥AB，∠C=65°，则∠BDE的度数是（　　）
A.24° B.25° C.30° D.35°
【答案】B
【解析】∵BA=BC，BD是△ABC底边AC上的中线，
∴∠A=∠C=65°，BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-65°=25°，
∵ED∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=25°.
故选：B．
【强化训练2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在BC上，且BC＝4BF＝4CG，EF与DG相交于点O，若∠DFE＝40°，∠DGE＝80°，那么∠DOE的度数是(　　)
A.100° B.120° C.140° D.160°
【答案】B
【解析】如图，连接DE，∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∵BC＝4BF＝4CG，
∴FG＝BC，
∴四边形DEGF为平行四边形，
∴DF∥EG，
∴∠FDG＝∠DGE＝80°，
∵∠DFE＝40°，
∴∠DOE＝80°＋40°＝120°.
故选B.
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为 .
【答案】135°
【解析】连接BD，如图所示，
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF∥BD，BD=2EF=4，
∴∠ADB=∠AFE=45°，
∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=25，BC2=25，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°.
故答案为：135°．
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∠PEF=20°，∠ADB=78°，则∠CBD的度数是 .
【答案】38°
【解析】∵E，P分别是AB，BD的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=AD，PE∥AD，
∴∠DPE+∠ADB=180°，
∵∠ADB=78°，
∴∠DPE=102°，
同理可得，PF=BC，PF∥BC，
∴∠CBD=∠FPD，
∵AD=BC，
∴PF=PE，
∴∠PFE=∠PEF=20°，
∴∠FPE=180°-20°-20°=140°，
∴∠FPD=140°-102°=38°，
∴∠CBD=∠FPD=38°.
故答案为：38°．
【强化训练5】如图1，小明和小聪玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，O是横板AB的中点，横板AB绕点O转动，立柱OH与地面EF垂直，且OH=60 cm.
（1）当小明从水平位置AB下降的高度KD为40 cm时，记小聪升高的高度为CG，求此时小聪离地面EF的高度CE；
（2）如图3，当一端落地时，另一端上升到最高点．当A端落地时，∠AOH=70°，求横板AB上下可转动的最大角度（即求∠AOM的度数）．
【答案】解：（1）∵O为CD，GK的中点，
∴OC=OD，OG=OK，
∵∠COG=∠DOK，
∴△COG≌△DOK（SAS），
∴CG=DK=40 cm,
∵GE=OH=60 cm,
∴CE=CG+GE=40+60=100（cm），
∴此时小聪离地面EF的高度CE为100 cm.
（2）∵OH⊥AN，
∴∠OHN=∠OHA=90°，
∵H为AN的中点，
∴HA=HN，
∵OH=OH，
∴△OHA≌△OHN（SAS），
∴∠AOH=∠NON=70°，
∵∠AOM+∠AOH+∠NOH=180°，
∴∠AOM=180°-70°-70°=40°．
【题型3】三角形的中位线与证明
【典例】现有一四边形ABCD，借助此四边形作平行四边形EFGH，两位同学提供了如下方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ，Ⅱ都可行
D.Ⅰ，Ⅱ都不可行
【答案】C
【解析】方案Ⅰ：如图，连接BD，
∵l1，l2，l3，l4是边AB，BC，CD，AD的垂直平分线，
∴GF和EH分别是△BDC和△BDA的中位线，
∴GF∥BD，GF=BD，EH∥BD，EH=BD，
∴GF=EH，GF∥EH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
方案Ⅱ：∵GH∥AC∥EF，EH∥BD∥FG，
∴GH∥EF，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：C．
【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1和图2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A.嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以
B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【答案】D
【解析】嘉嘉的作法：∵AE=EC，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，AD∥CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF，BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥BC，DE=DF=BC；
淇淇的作法：∵AF∥BC，
∴∠EAF=∠C，∠F=∠CGE，
在△AEF和△CEG中，
∴△AEF≌△CEG（AAS），
∴AF=CG，EF=EG，
∵AF∥BG，AB∥FG，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴AB=FG，
∵BD=AB，GE=FG，
∴BD=EG，AF=BG，
∵BD∥EG，
∴四边形DBGE是平行四边形，
∴DE∥BG，DE=BG=AF=CG，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以.
故选：D．
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（　　）
①∠BDC=30°；
②AD=2OE；
③DE=BC；
④OD=AD；
⑤S平行四边形ABCD=AD BD．
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，
∴∠DAB=∠BCD=180°-120°=60°，
AB=CD，∠ADC=∠ABC=120°，BO=OD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC=60°，
∴∠AED=180°-∠DAB-∠ADE=60°=∠DAB=∠ADE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE，
∵AB=2BC，
∴AB=2AD=2AE，
∴E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵DE=AE，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD=∠AED=30°，
∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=90°，
∴∠BDC=30°，S平行四边形ABCD=AD BD，
故①，⑤正确；
∵AE=BE，BO=OD，
∴OE=AD，
即AD=2OE，
故②正确；
∵AD=AE=DE，AD=BC，
∴DE=BC，
故③正确；
∵OD=BD，AD=AB，BD≠AB，
∴OD≠AD，
故④错误，
正确的有4个.
故选：C．
【强化训练3】如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__________．
【答案】4n－3
【解析】第①是1个三角形，1＝4×1－3；
第②是5个三角形，5＝4×2－3；
第③是9个三角形，9＝4×3－3；
∴第n个图形中共有三角形的个数是4n－3.
【强化训练4】如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，第n次操作后，三角形共有________个，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．
【答案】（3n＋1）；33
【解析】∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7（个）；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10（个）；…∴第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝(3n＋1)个，当3n＋1＝100时，解得n＝33.
【强化训练5】已知：在△ABC中，D是BC上的一点，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
求证：EG，HF互相平分．
【答案】证明：如图，连接EH，GH，GF，
∵E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC，∴GH∥BF,
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG，HF互相平分．北师大版（2024）八年级下册 6.2 三角形的中位线 题型专练
【题型1】用三角形的中位线求边长
【典例】如图，点E，F分别是△ABC的边AC，BC的中点，连接BE，过点A作AD∥BE，交FE的延长线于点D，若DE=5，则EF的长为（　　）
A.3 B.2 C. D.
【强化训练1】如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO.若AO＝6 cm，BC＝8 cm，则四边形DEFG的周长是(　　)
A.14 cm B.18 cm C.24 cm D.28 cm
【强化训练2】如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且∠AFC=90°．若AC=6，DF=5，则BC的长为（　　）
A.4.5 B.3.5 C.3 D.4
【强化训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.
【强化训练4】如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为________．
【强化训练5】如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若DE＝4，求BC的长．
【强化训练6】如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC=270°，点E，F分别是AD，BC上的中点，EF=3，求AB2+DC2的值.
【题型2】用三角形的中位线求角度
【典例】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG的度数为(　　)
A.47° B.46° C.41° D.23°
【强化训练1】如图，BD是等腰△ABC底边AC上的中线，ED∥AB，∠C=65°，则∠BDE的度数是（　　）
A.24° B.25° C.30° D.35°
【强化训练2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在BC上，且BC＝4BF＝4CG，EF与DG相交于点O，若∠DFE＝40°，∠DGE＝80°，那么∠DOE的度数是(　　)
A.100° B.120° C.140° D.160°
【强化训练3】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为 .
【强化训练4】如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∠PEF=20°，∠ADB=78°，则∠CBD的度数是 .
【强化训练5】如图1，小明和小聪玩跷跷板游戏，图2是跷跷板的示意图，O是横板AB的中点，横板AB绕点O转动，立柱OH与地面EF垂直，且OH=60 cm.
（1）当小明从水平位置AB下降的高度KD为40 cm时，记小聪升高的高度为CG，求此时小聪离地面EF的高度CE；
（2）如图3，当一端落地时，另一端上升到最高点．当A端落地时，∠AOH=70°，求横板AB上下可转动的最大角度（即求∠AOM的度数）．
【题型3】三角形的中位线与证明
【典例】现有一四边形ABCD，借助此四边形作平行四边形EFGH，两位同学提供了如下方案，对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ，Ⅱ都可行
D.Ⅰ，Ⅱ都不可行
【强化训练1】数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1和图2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（　　）
A.嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以
B.嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
D.嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
【强化训练2】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2BC，DE平分∠ADC，对角线AC，BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（　　）
①∠BDC=30°；
②AD=2OE；
③DE=BC；
④OD=AD；
⑤S平行四边形ABCD=AD BD．
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【强化训练3】如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为__________．
【强化训练4】如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，第n次操作后，三角形共有________个，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．
【强化训练5】已知：在△ABC中，D是BC上的一点，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
求证：EG，HF互相平分．

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