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北师大版（2024）八年级下册 5.3 分式方程 题型专练
【题型1】分式方程的意义
【典例】在方程=7，﹣=2，+x=，=+4，=1中，分式方程有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【强化训练1】下列方程属于分式方程的是（　　）
A.+5=0 B.+2=0 C.3x2+x﹣3=0 D.﹣x=1
【强化训练2】下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练3】下列是关于x的分式方程的是（　　）
A. B. C. D.
【强化训练4】下列方程不是分式方程的是　(　　)
A.=1 B.=1 C.=2 D.
【题型2】分式方程的解
【典例】分式方程的解为　(　　)
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1
【强化训练1】分式方程的解为（　　）
A.1 B.2 C.无解 D.0
【强化训练2】分式方程的解为（　　）
A.1 B.2 C.无解 D.0
【强化训练3】分式方程的解为　(　　)
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1
【题型3】分式方程的一般解法
【典例】把分式方程两边同乘（x﹣1）约去分母，得（　　）
A.2﹣（2﹣x）=1 B.2+（2﹣x）=1 C.2﹣（2﹣x）=x﹣1 D.2+（2﹣x）=x﹣1
【强化训练1】对于非零的两个实数a，b，规定a b=，若3 （2x﹣1）=1，则x的值为（　　）
A. B. C. D.﹣
【强化训练2】符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为=ad-bc，则根据上述规定解等式=1中x的值为　　　　　.
【强化训练3】分式方程的解是　　　　　.
【强化训练4】将a，b，c，d排成两行、两列，两边各加上一条竖线，记作，定义=ad﹣bc，上述就叫做二阶行列式，根据以上定义解方程=3．
【强化训练5】对于式子和，你能找到一个合适的x值，使它们的值相等吗 写出你的解题过程.
【题型4】用换元法解分式方程
【典例】用换元法解分式方程时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）
A.3y2﹣y+1=0 B.3y2﹣y﹣1=0 C.y2﹣y+1=0 D.y2+y﹣3=0
【强化训练1】已知方程，若设x2+3x=y，则原方程可化为（　　）
A.y2﹣20y=8 B.y2﹣20=8 C.y﹣20=8y D.y2﹣20=8y
【强化训练2】用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程（　　）
A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11
【强化训练3】用换元法解方程+=，设=y，则原方程可化为　　 ．
【强化训练4】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程　 　．
【强化训练5】阅读下列材料：
关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）请用这个结论解关于x的方程：．
【题型5】用待定系数法求字母的值
【典例】若分式方程的解为x=1，则m的值为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【强化训练1】关于x的方程的根为x=1，则a的值为（　　）
A.1 B.3 C.-1 D.-3
【强化训练2】关于x的方程的根为x=2，则a的值为（　　）
A.1 B.3 C.﹣2 D.﹣3
【强化训练3】关于x的方程的根为x=1，则a的值为（　　）
A.1 B.3 C.-1 D.-3
【强化训练4】已知方程的根为x=1，则k的值为（　　）
A.4 B.﹣4 C.1 D.﹣1
【题型6】用待定系数法确定字母的取值范围
【典例】关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A.m＞2 B.m＞2且m≠3 C.m＜2 D.m＞3且m≠2
【强化训练1】若有理数m满足+2=0，则下列对m的值估计正确的是（　　）
A.﹣2＜m＜﹣1 B.﹣1＜m＜0 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2
【强化训练2】分式方程=0解的情况是（　　）
A.有解，x=1 B.有解，x=5 C.有解，x=4 D.无解
【强化训练3】要使关于x的方程=的解是正数，a的取值范围是　 　．
【强化训练4】若方程的解不大于13，求k的取值范围．
【题型7】分式方程的增根
【典例】若关于x的方程无解，则a的值为（　　）
A.或﹣2 B.或﹣1 C.或﹣2或﹣1 D.﹣2或﹣1
【强化训练1】下列判断正确的是（　　）
A.解分式必定产生增根
B.若分式方程的根是零，则必定是增根
C.解分式方程必须验根
D.x=3是方程的根
【强化训练2】若关于x的方程没有增根，则m的值不可能是（　　）
A.3 B.2 C.1 D.﹣1
【强化训练3】关于x的方程无解，则k的值为　 　．
【强化训练4】解关于x的方程，得x=6﹣m，当m=　 　时，此根为增根，原方程无解，当m≠　 　时，原方程有唯一的解x=6﹣m．
【强化训练5】解关于x的方程时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【题型8】行程问题
【典例】某市实现列车升级，并且升级后列车从A地到B地的行驶路程比原路程缩短25千米，实现升级后列车的行驶速度是原来速度的倍，从A地到B地的行驶时间缩短了1小时．若列车升级前绿皮车从A地到B地的行驶路程为175千米，则列车升级后的速度为（　　）
A.45千米/小时 B.60千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时
【强化训练1】父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.其中父亲的骑行速度大于儿子的速度，且相较于同向行驶，反向行驶时相遇的频率增大11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（　　）
A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v
【强化训练2】小华早上从家里去离家5千米的学校，今天比昨天每小时快了1千米，结果比昨天早到了15分钟，设小华昨天每小时行x千米，可列方程（　　）
A. B. C. D.
【强化训练3】A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为 .
【强化训练4】小明到离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆.已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍.
（1）小明步行的速度(单位：m/min)是多少
（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆
【题型9】工程问题
【典例】某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　）
A.甲乙合作了4天 B.甲先做了4天 C.甲先做了工程的 D.甲乙合作了工程的
【强化训练1】某加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练2】某市为治理污水，需要铺设一段全长为600 m的污水排放管道，铺设120 m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20 m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可列方程　 　．
【强化训练3】汛期来临之前，某地要对辖区内的4 600米河堤进行加固．施工单位在加固800米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍，结果仅用10天便出色完成了全部任务．请求出施工单位原来每天加固河堤多少米？设原来每天加固河堤x米，根据题意可得方程　 　．
【强化训练4】甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60千米，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总千米数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路千米数之比为5﹕8，求乙队平均每天筑路多少千米．
【强化训练5】七年（三）班开展“诵读经典，光亮人生”读书活动，小智和小惠同学读了同一本360页的名著，根据下面两个人的对话，求小惠每天读这本名著的页数．
【题型10】其他（利润）问题
【典例】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5 cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（　　）
A. B. C.=5 D.
【强化训练1】某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50 000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价．若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（　　）
A.
B.
C.
D.
【强化训练2】某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14 700元购进第二批同款衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　　）
A.-10=
B.+10=
C.-10=
D.-10=
【强化训练3】小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　 ．
【强化训练4】某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　 ．
【强化训练5】某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【强化训练6】某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享自行车”，这批自行车包括A，B两种不同款型，请回答下列问题：
问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两款自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A，B两款自行车的单价各是多少？
问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a辆“共享自行车”，乙街区每1 000人投放辆“共享自行车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．北师大版（2024）八年级下册 5.3 分式方程 题型专练（参考答案）
【题型1】分式方程的意义
【典例】在方程=7，﹣=2，+x=，=+4，=1中，分式方程有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】﹣=2，=1是分式方程，共2个.
故选：B.
【强化训练1】下列方程属于分式方程的是（　　）
A.+5=0 B.+2=0 C.3x2+x﹣3=0 D.﹣x=1
【答案】B
【强化训练2】下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C.方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；
D.方程分母中含未知数x，故是分式方程．
故选：D．
【强化训练3】下列是关于x的分式方程的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【强化训练4】下列方程不是分式方程的是　(　　)
A.=1 B.=1 C.=2 D.
【答案】D
【解析】A，B，C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程；D项中方程分母中不含未知数，不是分式方程.
故选：D.
【题型2】分式方程的解
【典例】分式方程的解为　(　　)
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1
【答案】C
【强化训练1】分式方程的解为（　　）
A.1 B.2 C.无解 D.0
【答案】D
【解析】把四个选项中的值分别代入方程的左右两边，使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解，
当x=0时，x﹣2≠0，且左边=-1=右边，所以x=0是原分式方程的解．
故选：D.
【强化训练2】分式方程的解为（　　）
A.1 B.2 C.无解 D.0
【答案】D
【解析】把四个选项中的值分别代入方程的左右两边，使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解，
当x=0时，x﹣2≠0，且左边=-1=右边，所以x=0是原分式方程的解．
故选：D.
【强化训练3】分式方程的解为　(　　)
A.x=3 B.x=2 C.x=1 D.x=-1
【答案】C
【题型3】分式方程的一般解法
【典例】把分式方程两边同乘（x﹣1）约去分母，得（　　）
A.2﹣（2﹣x）=1 B.2+（2﹣x）=1 C.2﹣（2﹣x）=x﹣1 D.2+（2﹣x）=x﹣1
【答案】D
【强化训练1】对于非零的两个实数a，b，规定a b=，若3 （2x﹣1）=1，则x的值为（　　）
A. B. C. D.﹣
【答案】B
【解析】根据题意得3 （2x﹣1）=﹣=1，
去分母，得3﹣2x+1=6x﹣3，
移项、合并同类项，得8x=7，
解得x=，
经检验，x=是分式方程的解.
故选：B.
【强化训练2】符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为=ad-bc，则根据上述规定解等式=1中x的值为　　　　　.
【答案】4
【解析】由题意得，解分式方程得x=4，经检验，x=4是分式方程的解.
【强化训练3】分式方程的解是　　　　　.
【答案】x=-2
【解析】，去分母，得2x-1=x-3，解得x=-2.
经检验，x=-2是原方程的解.
【强化训练4】将a，b，c，d排成两行、两列，两边各加上一条竖线，记作，定义=ad﹣bc，上述就叫做二阶行列式，根据以上定义解方程=3．
【答案】解：由=3，得=3，解得x=4，
经检验，x=4是原行列式方程的解．
【强化训练5】对于式子和，你能找到一个合适的x值，使它们的值相等吗 写出你的解题过程.
【答案】解：能.
根据题意，设=，则有2x+1=3(x-2)，解得x=7，
经检验，x=7是=的解.
所以当x=7时，式子和的值相等.
【题型4】用换元法解分式方程
【典例】用换元法解分式方程时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　）
A.3y2﹣y+1=0 B.3y2﹣y﹣1=0 C.y2﹣y+1=0 D.y2+y﹣3=0
【答案】D
【解析】﹣+1=0，
设=y，则原方程化为y﹣+1=0，
去分母，得y2+y﹣3=0.
故选：D.
【强化训练1】已知方程，若设x2+3x=y，则原方程可化为（　　）
A.y2﹣20y=8 B.y2﹣20=8 C.y﹣20=8y D.y2﹣20=8y
【答案】D
【解析】∵设x2+3x=y，∴原方程可化为y﹣=8，整理得y2﹣20=8y．
故选：D.
【强化训练2】用换元法解方程时，若设，则可得到整式方程（　　）
A.3y2﹣11y+8=0 B.3y2+8y=11 C.8y2﹣11y+3=0 D.8y2+3y=11
【答案】A
【解析】把代入原方程，得+3y=11．
方程两边同乘y，得3y2﹣11y+8=0．
故选：A.
【强化训练3】用换元法解方程+=，设=y，则原方程可化为　　 ．
【答案】3y+=
【强化训练4】用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程　 　．
【答案】y2﹣3y﹣2=0
【解析】根据题意得y﹣=3，去分母得y2﹣3y﹣2=0．
【强化训练5】阅读下列材料：
关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）请用这个结论解关于x的方程：．
【答案】解：（1）解是x1=c，x2=，
经检验，c和是原方程的解.
（2）原方程可化为x-1+，根据题意得x-1=a-1或x﹣1=，
∴x1=a，x2=1+=．
【题型5】用待定系数法求字母的值
【典例】若分式方程的解为x=1，则m的值为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】根据题意得，
去分母，得4m+3=3(m+2)，
解得m=3，
经检验，m=3是原方程的根．
故选：C.
【强化训练1】关于x的方程的根为x=1，则a的值为（　　）
A.1 B.3 C.-1 D.-3
【答案】D
【解析】把x=1代入原方程，得=，方程两边同乘4(a-1)，得4(2a+3)=3(a-1)，解得a=-3.
故选：D.
【强化训练2】关于x的方程的根为x=2，则a的值为（　　）
A.1 B.3 C.﹣2 D.﹣3
【答案】C
【解析】把x=2代入方程，得，
方程两边同乘4（a﹣2），得4（4a+3）=5（a﹣2），
解得a=﹣2，
检验：当a=﹣2时，a﹣x≠0.
故选：C.
【强化训练3】关于x的方程的根为x=1，则a的值为（　　）
A.1 B.3 C.-1 D.-3
【答案】D
【解析】把x=1代入原方程，得=，方程两边同乘4(a-1)，得4(2a+3)=3(a-1)，解得a=-3.
故选：D.
【强化训练4】已知方程的根为x=1，则k的值为（　　）
A.4 B.﹣4 C.1 D.﹣1
【答案】B
【解析】去分母，得2kx+5=k+x，
把x=1代入，得2k+5=k+1，解得k=﹣4.
故选：B.
【题型6】用待定系数法确定字母的取值范围
【典例】关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A.m＞2 B.m＞2且m≠3 C.m＜2 D.m＞3且m≠2
【答案】B
【解析】去分母，得m﹣3=x﹣1，解得x=m﹣2，
根据题意得m﹣2＞0，且m﹣2≠1，解得m＞2且m≠3．
∴m的取值范围为m＞2且m≠3.
故选：B.
【强化训练1】若有理数m满足+2=0，则下列对m的值估计正确的是（　　）
A.﹣2＜m＜﹣1 B.﹣1＜m＜0 C.0＜m＜1 D.1＜m＜2
【答案】A
【解析】∵有理数m满足+2=0，∴=﹣2，∴m是负数，并且比﹣1小，∴B，C，D错误，A正确.
故选：A.
【强化训练2】分式方程=0解的情况是（　　）
A.有解，x=1 B.有解，x=5 C.有解，x=4 D.无解
【答案】C
【解析】方程两边都乘（x+5）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣（x+5）=0，
化简，得2x=8，
解得x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解.
故选：C.
【强化训练3】要使关于x的方程=的解是正数，a的取值范围是　 　．
【答案】a＜﹣1且a≠﹣3
【解析】去分母，得（x+1）（x﹣1）﹣x（x+2）=a，解得x=﹣；
因为解是正数，所以﹣＞0，即a＜﹣1；
又因为分式方程的分母不能为零，即﹣≠1且﹣≠﹣2，所以a≠±3；
则a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣3.
【强化训练4】若方程的解不大于13，求k的取值范围．
【答案】解：去分母，得（x﹣5）2﹣（x﹣6）2=2x﹣11=k，
解得x=，
根据题意得≤13，且≠5，≠6，
解得k≤15，且k≠﹣1，k≠1．
【题型7】分式方程的增根
【典例】若关于x的方程无解，则a的值为（　　）
A.或﹣2 B.或﹣1 C.或﹣2或﹣1 D.﹣2或﹣1
【答案】C
【解析】去分母，得x﹣2+a（x﹣1）=2a+2，
整理得（a+1）x=3a+4，
当a+1=0时，解得a=﹣1，此时分式方程无解；
当a+1≠0时，x=．
当x=1时，即=1，解得a=﹣，此时分式方程无解；
当x=2时，即=2，解得a=﹣2，此时分式方程无解．
综上所述，a的值为-或-2或-1.
故选：C.
【强化训练1】下列判断正确的是（　　）
A.解分式必定产生增根
B.若分式方程的根是零，则必定是增根
C.解分式方程必须验根
D.x=3是方程的根
【答案】C
【解析】解分式方程可能产生增根，故A错误；
若分式方程的根是零，不一定是增根，故B错误；
解分式方程必须验根，故C正确；
x=3是增根，分式方程无解，故D错误.
故选：C.
【强化训练2】若关于x的方程没有增根，则m的值不可能是（　　）
A.3 B.2 C.1 D.﹣1
【答案】B
【解析】将分式方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，
把x=1代入m﹣1﹣x=0，得m-1-1=0，解得m=2．
因为原分式方程没有增根，所以m≠2．
故选：B.
【强化训练3】关于x的方程无解，则k的值为　 　．
【答案】﹣4或6或1
【解析】去分母得2x+4+kx=3x﹣6，即（k-1）x=-10，
当k=1时，方程化简得4=﹣6，无解，符合题意；
由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，
把x=2代入整式方程得2(k-1)=-10，即k=﹣4；
把x=﹣2代入整式方程得﹣2(k-1)=-10，即k=6，
∴k的值为-4或6或1.
【强化训练4】解关于x的方程，得x=6﹣m，当m=　 　时，此根为增根，原方程无解，当m≠　 　时，原方程有唯一的解x=6﹣m．
【答案】3 3
【解析】由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，∴6﹣m=3，即m=3，
则当m=3时，此根为增根，原方程无解；
当m≠3时，原方程有唯一的解x=6﹣m．
【强化训练5】解关于x的方程时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【答案】解：方程去分母，得（k+2）x=﹣3，分以下两种情况：
令x=1，则k+2=﹣3，∴k=﹣5；
令x=﹣2，则﹣2（k+2）=﹣3，∴k=﹣，
综上所述，k的值为﹣5或﹣．
【题型8】行程问题
【典例】某市实现列车升级，并且升级后列车从A地到B地的行驶路程比原路程缩短25千米，实现升级后列车的行驶速度是原来速度的倍，从A地到B地的行驶时间缩短了1小时．若列车升级前绿皮车从A地到B地的行驶路程为175千米，则列车升级后的速度为（　　）
A.45千米/小时 B.60千米/小时 C.90千米/小时 D.100千米/小时
【答案】D
【解析】设列车原来的行驶速度是x千米/小时，则升级后的速度为x千米/小时，
根据题意得，解得x=70，
经检验，x=70是原方程的解，
则x=×70=100，∴列车升级后的速度为100千米/小时．
故选：D.
【强化训练1】父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.其中父亲的骑行速度大于儿子的速度，且相较于同向行驶，反向行驶时相遇的频率增大11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（　　）
A.1.1v B.1.2v C.1.3v D.1.4v
【答案】B
【解析】设父亲的速度为x，则两人同向行驶时，相遇所用的时间为，
反向行驶时，相遇所用的时间为，
由题可知同向行驶的相遇时间是反向行驶相遇时间的11倍，
可得方程=11×，解得x=1.2v，
经检验，x=1.2v是所列分式方程的解，所以父亲的速度为1.2v.
故选：B.
【强化训练2】小华早上从家里去离家5千米的学校，今天比昨天每小时快了1千米，结果比昨天早到了15分钟，设小华昨天每小时行x千米，可列方程（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】昨天所用的时间为小时，今天所用的时间为小时，所列方程为．
故选：B.
【强化训练3】A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为 .
【答案】
【强化训练4】小明到离家2.4 km的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆.已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3倍.
（1）小明步行的速度(单位：m/min)是多少
（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆
【答案】解：（1）设步行的速度为x m/min，则骑自行车的速度为3x m/min.
根据题意得，解得x=80，
经检验，x=80是所列方程的根.
∴小明步行的速度是80 m/min.
（2）来回取票共用时间为+2=42(min)<45(min)，
∴能在球赛开始前赶到体育馆.
【题型9】工程问题
【典例】某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　）
A.甲乙合作了4天 B.甲先做了4天 C.甲先做了工程的 D.甲乙合作了工程的
【答案】A
【解析】∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程，
∴可知在③应填入的内容为甲乙合作了4天.
故选：A.
【强化训练1】某加工车间共有26名工人，现要加工2 100个A零件，1 200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【强化训练2】某市为治理污水，需要铺设一段全长为600 m的污水排放管道，铺设120 m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20 m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可列方程　 　．
【答案】+=11
【强化训练3】汛期来临之前，某地要对辖区内的4 600米河堤进行加固．施工单位在加固800米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍，结果仅用10天便出色完成了全部任务．请求出施工单位原来每天加固河堤多少米？设原来每天加固河堤x米，根据题意可得方程　 　．
【答案】
【强化训练4】甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60千米，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总千米数是甲队筑路总千米数的倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总千米数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路千米数之比为5﹕8，求乙队平均每天筑路多少千米．
【答案】解：（1）60×=80（千米）．
则乙队筑路的总千米数为80千米．
（2）设乙队平均每天筑路8x千米，则甲队平均每天筑路5x千米，
根据题意得，解得x=0.1，
经检验，x=0.1是原方程的解，
∴8x=0.8．∴乙队平均每天筑路0.8千米．
【强化训练5】七年（三）班开展“诵读经典，光亮人生”读书活动，小智和小惠同学读了同一本360页的名著，根据下面两个人的对话，求小惠每天读这本名著的页数．
【答案】解：设小惠每天读这本名著的页数是x，
依题意得，解得x=30．
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意．
∴小惠每天读这本名著的页数是30．
【题型10】其他（利润）问题
【典例】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5 cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/cm3，根据题意列方程，正确的是（　　）
A. B. C.=5 D.
【答案】A
【强化训练1】某服装专卖店销售的A款品牌西服去年销售总额为50 000元，今年该款西服每件售价比去年便宜400元，若售出的件数相同，则该款西服销售总额将比去年降低20%，求今年该款西服的每件售价．若设今年该款西服的每件售价为x元，那么可列方程为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【强化训练2】某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14 700元购进第二批同款衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（　　）
A.-10=
B.+10=
C.-10=
D.-10=
【答案】B
【强化训练3】小明周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　 ．
【答案】-=
【解析】周三买的牛奶的单价为，周日买的牛奶的单价为，所列方程为-=．
【强化训练4】某公司生产了A型、B型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知A型计算机总价值为102万元；B型计算机总价值为81.6万元，且单价比A型机便宜了2 400元．问A型、B型两种计算机的单价各是多少万元．若设A型计算机的单价是x万元，请你根据题意列出方程　　 ．
【答案】
【强化训练5】某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
【答案】解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元，
由题意得，解得x=50．
经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义，x-5=45，
∴乙种牛奶的进价是50元，甲种牛奶的进价是45元．
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件，
由题意得解得23＜y≤25．
∵y为正整数，∴y=24或25，
当y=24时，3y-5=67；
当y=25时，3y-5=70，
∴共有两种方案：
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【强化训练6】某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“共享自行车”，这批自行车包括A，B两种不同款型，请回答下列问题：
问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A，B两款自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A，B两款自行车的单价各是多少？
问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a辆“共享自行车”，乙街区每1 000人投放辆“共享自行车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
【答案】解：问题1
设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，
依题意得50x+50（x+10）=7 500，解得x=70，
∴x+10=80（元），
∴A，B两款自行车的单价分别是70元和80元.
问题2
由题可得×1 000+×1 000=150 000，解得a=15，
经检验，a=15是所列方程的解，
故a的值为15．

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