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山东省烟台市2026年高考诊断性测试（一模）数学试题
注意事项： 2026.03
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合A={x||x-2|＜1}, B={x|x＜a}, A∪B=B, 则实数a的取值范围为
A. [I,+∞) B. [3,+∞) C. (-∞,1] D. (-∞,3]
2.已知抛物线 经过点(1，2)，则其焦点到准线的距离为
A.
3.已知函数 f（x）= 则f(f(-2))的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知复数 则 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为
A. 180 B. 240 C. 320 D. 360
6.直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x(单位：万元)，并绘制成右侧的频率分布直方图，则x的第80百分位数为
A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.4
7.已知球O的半径为1，三棱锥的顶点为O，底面的三个顶点均在球O的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，其高为
C.
8.已知平行四边形ABCD中， 点P,Q在四边形ABCD所在平面上，且满足 则 的最大值为
A. B. 3 C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 的部分图象如图所示，则
A.
B. 2π是f(x)的一个周期
C.
D. 当x∈[-π,0]时, f(x)的最小值为-2
10.若a＞0, b＞0, a+b=1, 则
A. B. C. a+ lnb＜0 D
11.已知曲线 为C上一点，则下列说法正确的有
A. 曲线C关于原点对称
B. 当a=1时, 曲线C的长度为2π
C. 当a=2时，点P到直线x+2y=0距离的最大值为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆Γ 的焦点为 ，过F与x轴垂直的直线截Γ所得的弦长为1，则Γ的离心率为 .
13.已知等差数列{an}的公差不为(0, 且 成等比数列，则 的前n项和的最大值为 .
14.一圆周上均匀分布着8个点，将这8个点连接成4条弦，且任意两条弦没有公共点.记X为“4条弦中由相邻两点连接成的弦的条数”，则X的数学期望为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为(a,b,c, 且 的面积为
(1)求A;
(2) 若△ABC为锐角三角形, 且a=6, 求b+c的取值范围.
16. (15分) 已知函数 为f(x)的导函数，且f'(0)=0.
(1) 求f(x)在点(l,f(1))处的切线方程;
(2) 证明: 当-1＜x＜0时, f(x)＜0; 当x＞0时,f(x)＞0.
17. (15分)已知双曲线 经过点(2，3)，且离心率为2.
(1) 求C的方程;
(2)过C的右焦点且斜率不为0的直线l与C交于A，B两点，设M，N分别为C的左、右顶点，且直线AM，BN的斜率分别为k ，k ，判断： 是否为定值 若是，求出该定值；否则，说明理由.
18.(17分)如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是边长为2的菱形,
(1) 证明: AC⊥MN;
(2)若点P在底面ABCD内的正投影为AC的中点.
(i)当λ为何值时，平面ANM 与平面ABCD夹角的余弦值最大
(ii) 设平面ANM 与PC交于点H ;在平面PBC内,.过 作BC的平行线交PB于点M ，设平面. 与PC交于点. 在平面PBC内，过H 作BC的平行线交PB于点 与PC交于点H ；依次类推，…，设平面. 与PC交于点 求
19.(17分)某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为( 由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为( 当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为 且 现从该批产品中随机抽取n件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为X.
(1)求单件产品的检测结果为合格的概率p；
(2) 若n 为定值，求P(X=k))取最大值时θ的值；
(3)当n足够大时，(2)中的近似服从 设 当 时，试估计n的最小值及相应θ的值.
说明：若 则 其中φ(x)为N(0,1)的正态密度函数.参考数据：
烟台市2026年高考诊断性测试（一模）
数学答案
一、选择题
1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7. D 8. C
二、选择题
9. ABD 10. AC 11. ACD
三、填空题
13.36
四、解答题
15.解：(1)由余弦定理得 3分
因为 所以bccosA=6, 4分
由三角形面积公式得 7分
又因为 所以 8分
所以 ………………………………………………………………………11分
因为A∈(0,π), 所以 …………………………………………………………………...13分
16解: (1) f(x)的定义域为(-1,+∞),
2分
因为f'(0)=1-a=0, 所以a=1. 4分
所以 , 5分
所以，函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
整理得(2ln2-1)x-4y+4ln2-3=0. 7分
(2) 设
则 9分
当-1＜x＜0时, g'(x)＜0, g(x)单调递减; 当x＞0时, g'(x)＞0, g(x)单调递增;所以, 当x＞-1时,g(x)≥g(0)=0……………………………………………………………………12分
所以f(x)在(-1,+∞)单调递增, ……………………………………………………………13分
又f(0)=0, 所以,当-1＜x＜0时, f(x)＜0; 当x＞0时, f(x)＞0. 15分
17.解: (1) 由题知 又 3分
解得 4分
所以C的方程为 ·5分
(2) 由(1) 知, C的右焦点为(2,0), 设l的方程为x= my+2,
与方程 联立，得 7分
因为l与C有两个交点，所以
设A(x ,y ),B(x ,y ), 则 8分
又 9分
所以 11分
又因为 13分
所以 所以k/k/6为定值. 15分
18.解: (1) 证明: 连结BD与AC交于点O, 连结OP,
因为, 四边形ABCD为菱形, 所以AC⊥BD, 1分
在△PAC中, PA=PC, 所以AC⊥PO, 2分
因为BD 面PBD, PO 面PBD, BD∩PO=O, 3分
所以AC⊥平面PBD. 4分
又MN 平面PBD,所以AC⊥MN. 5分
(2)(i) 因为点P在底面投影为O, 由题意OA,OB,OP两两垂直.
因为∠BAD=60°, 所以
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系O-xyz, 则.A( ,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,3). 6分
因为 所以 因为 即 所以M(0,λ,3-3λ) 7分
因为
设面ANM 的法向量为m=(x,y,z),
所以
令x= , y=6λ-3, z=2λ+1,
所以 8分
面ABCD的法向量为n=(0,0,1) 9分
设平面ANM 与平面ABCD夹角的大小为θ，则
………………………….10分
令 则
当 时, f'(λ)＞0, f(λ)单增; 当 时, f'(λ)＜0, f(λ)单减;
所以，当 时, f(λ)取最大值. 12分
(ii)因为A,M,N,H 共面,故存在实数m,n使得 13分
因此
设 则 则
由坐标分量对应相等，化简整理得 15分
在平面PBC内，因为H M ∥BC,设 则
类比前面推导过程，可得 16分
将上式取倒数可得 所以 为以 为首项、1为公差的等差数列.所以 所以 17分
19.解：(1)设“单件产品实际为合格品”为事件A，“单件合格品检测为合格”为事件B，“单件不合格品误判为合格”为事件C，则由全概率公式知，
,即单件产品的检测结果为合格的概率为p=β+(α-β)θ. 4分
(2)因为每件产品的检测结果相互独立，
所以n件产品中检测结果为合格的件数X 服从二项分布B(n，p). 5分
当X=k时, 6分
令 其中 则
1f
8分
令f'(θ)=0,得 所以f(θ)在 上单调递增，在
上单调递减，所以，当 时，f(θ)取得最大值.因此 分
(3)由于θ为随机变量，由(2)可设
且X~B(n,p), 所以E(X)= np, D(X)= np(1-p)……………………………………………11分
因为α=0.9, β=0.2, 所以p=0.2+0.7θ.
所以 ………………………………………..12分
将p=0.2+0.7θ代入, 整理得 ……………………………….13分
因为 所以
由题知，θ近似服从.
所以 故
由参考数据 故 解得 ……………….15分
又 所以 恒成立.
因为 时， 取得最大值19600.
所以n的最小值为19600，此时 …………………………………………………17分

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