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第二章 不等式与不等式组
3 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
知识点1 一元一次不等式与一次函数的关系
第1题图
1.如图，已知一次函数 的图象经过点
，，那么关于的不等式 的
解集是( )
A
A. B. C. D.
第2题图
2.已知一次函数 的图象如图所
示，点在该函数图象上，则关于 的不等
式 的解集是( )
D
A. B. C. D.
3.已知不等式的解集是，则一次函数 的图
象大致是( )
B
A. B. C. D.
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数
与 的图象如图所示，则不
等式 的解集是( )
D
A. B. C. D.
5.（教材习题变式）已知，，要使 ，
那么 的取值范围是______.
6.画出函数 的图象.
解：在中，当时， ；
当时，，， .作
直线 ，图略.
（1）利用图象求方程 的解.
[答案] 由图可知，方程的解为 .
（2）利用图象求不等式 的解集.
[答案] 由图可知，不等式 的解
集为 .
（3）如果值在的范围内，求相应的 的取值范围.
[答案] 由图可知，时， .
知识点2 一元一次不等式与一次函数的实际问题
7.如图,甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线
上行走.， 分别表示甲、乙两名学生在行走
过程中离出发点的距离与行走时间 之间
的函数关系图象.试根据图象回答下列问题:
（1）甲、乙两名学生中，谁的速度较快
解:甲的速度较快.
（2）在什么时间段内，甲在乙的前面 在什么时
间段内，甲在乙的后面 在什么时间，甲、乙两
人相遇
解:由图象可知，当时，;当时， ;当
时， 在出发之后，甲在乙的前面；在出发 之前,
甲在乙的后面；在出发 时，甲、乙两人相遇.
第8题图
8.如图，直线与直线
,为常数，相交于点，则关于 的不等式
的解集为( )
A
A. B. C. D.
第9题图
9.（2025·徐州）如图所示的是一次函数
的图象，则关于的不等式 的解集
为( )
C
A. B. C. D.
10.一次函数的自变量和函数值 的部分对应值如
下表所示：
0 8
3 8
则关于的不等式 的解集是( )
C
A. B. C. D.
11.受特大暴雨的影响，南方某镇受灾严重，
广大党员干部闻“汛”而动，组建A,B两个团
队冲锋在灾后重建的第一线.该镇有两段长
度相等的河渠挖掘任务，分别交给A,B两个
（1）在挖掘过程中，B队前挖了____;当挖掘 时，A队比B队
多挖了____ .
30
20
团队同时进行挖掘，如图所示的是所挖掘的路程与挖掘时间
之间关系的部分函数图象，根据图中的信息回答下列问题：
（2）在这内，A队施工的平均速度是____ .
10
（3）开挖几小时后，A队所挖掘的河渠长度开始超
过B队？
解：设A队挖掘的路程与挖掘时间 之间的表达式为
，将代入，得,解得 .当
时，设B队挖掘的路程与挖掘时间 之间的表达式为
，将
，代入，得 解得
.若A队所挖掘的
河渠长度超过B队，则，解得 开
挖 后，A队所挖掘的河渠长度开始超过B队.
12.关于函数和函数 ，有如下信息：
①当时，；当时，；②当 时，
.
根据信息解答下列问题：
（1）①在如图所示的平面直角坐标系中，画出， 的图象.
解：， 的图象图略.
②求函数 的表达式.
解：由①得，，的交点坐标为，与 轴的交点坐标为
.将两点坐标分别代入的表达式，得 解得
.
（2）若，则3条直线，， 围成的图形面积为___.
9(共21张PPT)
第二章 不等式与不等式组
回顾与思考（二） 不等式与不等式组
考点1 不等式（组）的概念及不等式的基本性质
1.下列式子：；； ；
； ；其中是不等式的有( )
C
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2. 跨学科 某弹簧测力计的测量范围是 ，小明未注意
弹簧测力计的测量范围，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，
发现弹簧没有恢复原状，由此可判断这个物体所受重力 的范围是
( )
C
A. B. C. D.
3.已知 ，则下列各式中，正确的是( )
C
A. B.
C. D.
考点2 解一元一次不等式（组）及其运用
4.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )
D
A. B.
C. D.
5.已知关于的不等式 的解集在数轴上如图所示，则
的值可以是( )
D
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.已知，且，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
7. 开放性问题 写出一个的值，使大于，则这个 的
值可以是_________________.
0（答案不唯一）
8.已知关于的不等式有且只有1个正整数解，则 的取值范
围是__________.
9.（1）解不等式 ，并把其解集表示在数轴上.
解：去括号，得.移项、合并同类项，得 .系数
化为1，得 .图略.
（2）解不等式组 并写出其整数解.
解：解不等式①，得.解不等式②，得 不等式组的解集
为 不等式组的整数解有0，1，2.
考点3 一元一次不等式的应用
10.一个人的头发大约有10万到20万根，每根头发每天大约生长
.小郑的头发现在大约有 长，那么大约经过多长时间，
她的头发的长度能超过？设经过 天小郑的头发长度能超过
，根据题意，可列出关于 的不等式为( )
C
A. B.
C. D.
11.某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中
一种.
活动一：所购商品按原价打八折.
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如：所购商品原价为300
元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需
付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请
说明理由.
解：（元），（元） ,
选择活动一更合算.
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择
活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价.
解：设一件这种健身器材的原价为元.若 ，则活动一按原价打
八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等.
，解得 一件这种健身器
材的原价是400元.
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，
选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为 元，
请求出 的取值范围.
解：当时， ，解得
；当时， ，
解得.综上所述， 或
选择活动二比选择活动一更合算.
考点4 一元一次不等式与一次函数
12.一次函数中两个变量， 的部分对应值如下表
所示，那么关于的不等式 的解集是________.
… 0 1 2 …
… 8 5 2 …
13.某商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，已知一顶太阳帽的
进价是10元，一把太阳伞的进价20元.若该商店将太阳帽的售价定为15
元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞的总数
量为300，且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该商店如
何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？
解：设购进太阳帽顶，则购进太阳伞 把.根据题意，得
，解得.设获得的利润为 元，则
， ，
随的增大而减小.， 当时 值最大，
， （把）.答：
购进太阳帽200顶、太阳伞100把可使销售所获利润最大，最大利润为
2 000元.
14.阅读下列材料：
例：已知，且，，试确定 的取值范围.
解：， .
又， .
又， .①
同理，得 .②
由，得 .
的取值范围是 .
请按照上述方法，解答下列问题：
（1）已知，且，，则 的取值范围是_______
_________.
（2）已知，，若，且，求 的取值
范围（结果用含 的式子表示）.
解：， ，
， .
，，
，. ，
得 的取值范围是
.(共19张PPT)
第二章 不等式与不等式组
2 一元一次不等式
第1课时 解一元一次不等式
知识点1 一元一次不等式的概念
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
A
A. B.
C. D.
2.（1）若是关于的一元一次不等式，则 满足的条
件是_______.
（2）已知是关于的一元一次不等式，那么 ____.
知识点2 一元一次不等式的解法
3.（2024·河北）下列数中，能使不等式成立的 的值为
( )
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.（2025·吉林）不等式 的解集为( )
A
A. B. C. D.
5.（2025·福建）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
6.（教材习题变式）不等式 的最大整数解是___.
1
7.（教材习题变式）解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.
（1） .
解：移项，得.合并同类项，得 .两边都除以2，
得 .图略.
（2） .
解：去括号，得.移项，得 .合并同
类项，得.两边都除以，得 .图略.
（3）（2025·达州） .
解：去分母，得.去括号，得 .
移项，得.合并同类项，得 .两边都除以5，得
.图略.
易错点1 忽视隐含条件致错
8.若是关于的一元一次不等式，则 的值为____.
易错点2 解一元一次不等式的常见错误
9.下列解不等式的过程是否正确？如果不正确，说明理由并请加以改正.
（1） .
解：移项，得 .
两边都除以，得 .
解：不正确，不等式两边都除以同一个负数，不等号没有变号，正确
结果为 .
（2） .
解：移项，得 .
合并同类项，得 .
即 .
解：不正确，交换不等式两边，不等号方向没有改变，正确结果为
.
10.已知，则 的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A
A. B.
C. D.
11. 新定义问题 我们定义一个关于实数， 的新运算，规
定：，例如，.若实数 满足
，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
12.（2025·宿迁）若点在第一象限，则实数 的取值范围
是________.
13.若关于的不等式与的解集完全相同，则 的值为
____.
14.解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上.
（1） .
解：去分母，得.移项、合并同类项，得 .图略
（2） .
解：去括号，得 .移项、合并同类项，得
.两边都除以，得 .图略
（3） .
解：去分母，得 .去括号，得
.移项，得 .合并同类项，
得 .图略
15.当为何值时，方程 的解为正数？
解：去分母，得 .去括号，得
.移项，得
.合并同类项，得 .
两边都除以，得 方程
的解为正数，，解得. 当 时，方程
的解为正数.
16.如图，要使输出值 大于100，求输入的最小
正整数 是多少.
解：①当输入的为奇数时， ，解得
此时输入的最小正整数为21.②当输
入的为偶数时， ，解得
. 此时输入的最小正整数为22.综上所
述，要使输出值大于100，输入的最小正整数 是21.(共20张PPT)
第二章 不等式与不等式组
4 一元一次不等式组
知识点1 一元一次不等式组及其解集
1.下列不等式组中，一元一次不等式组是( )
C
A. B.
C. D.
2.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集
是( )
C
A. B. C. D.
3.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )
D
A. B.
C. D.
知识点2 解一元一次不等式组
4.不等式组 的解集为__________.
5. 开放性问题 已知满足不等式组 写出一个符合
条件的 的值为_________________.
0（答案不唯一）
6.（2024·河南）下列不等式中，与 组成的不等式组无解的是
( )
A
A. B. C. D.
7.（2025·天津）解不等式组 请结合题意填空，完
成本题的解答.
（1）解不等式①，得______.
（2）解不等式②，得________.
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
解：图略.
（4）原不等式组的解集为____________.
8.解不等式组：
（1）
解：解不等式①，得.解不等式②，得 不等式组的解集
为 .
（2）
解：解不等式①,得.解不等式②,得 不等式组的解集为
.
知识点3 一元一次不等式组的应用
9.学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的科学杂志和文学书共80
本，计划花费在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元
一本的文学书最少可以买多少本？最多可以买多少本？
解：设14元一本的文学书买本，则8元一本的科学杂志买 本.
根据题意，得，解得
为非负整数， 最小为19，最大为35.答：14元一本的文学书最少可
以买19本，最多可以买35本.
易错点 由解集情况确定端点值时忽视等号
10.若关于的不等式组的解集为，则 的取值范围是
_______.
11.（2025·青海）在平面直角坐标系中，点 在第三象
限，则 的取值范围是________.
12.（2025·大庆）不等式组 的整数解有___个.
2
13.已知关于的不等式组的解集是，则， 的
值分别为( )
B
A. 1，3 B. 3，1 C. 3， D. ，3
14.如果关于的不等式组无解，那么 的取值范围是
( )
B
A. B. C. D.
15.已知关于，的方程组中，小于或等于1，大于 .
求 的取值范围.
解：，得，解得 ，得
，解得.小于或等于1，大于.
解得 .
16. 阅读理解 【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等
式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”.例
如：的解为,的解集为 ，
不难发现在的范围内，所以 是
的“子方程”.
【问题解决】
（1）在方程， ，
中，不等式组 的“子方程”是
______（填序号）.
①②
（2）若关于的方程是不等式组 的“子方
程”，求 的取值范围.
解：解不等式组得.解方程 ，得
.由题意，得，解得 .
（3）若方程是关于的不等式组 的“子方程”，
直接写出 的取值范围.
解： .(共13张PPT)
第二章 不等式与不等式组
1 不等式及其基本性质
第1课时 不等关系
知识点1 不等式的概念
1.下列各式中，不等式有___个.
；；； ;
; .
4
2. 开放性问题 试写出一个含有未知数 的不等式：_________
_______________.
（答案不唯一）
知识点2 根据数量关系列不等式
3.“ 为正数”用不等式表示是( )
B
A. B. C. D.
4.如图，则___80.（填“ ”“ ”或“ ”）
5. 开放性问题 请举出一个生活中不等关系的实例：________
_________________________________.
太阳的
质量大于地球的质量（答案不唯一）
6.（教材习题变式）用适当的符号表示下列关系：
（1）与4的差比 的平方小：___________.
（2）的与 的5倍的和不小于0：____________.
（3） 除以2的商减去3至多为1：_ _________.
7.根据下列信息，写出有关不等式：
（1）某人形机器人在半程马拉松比赛中的配速（单位：米/时）大于
7 000米/时.
解：设该款人形机器人在半程马拉松比赛中的配速为 米/时，则
.
（2）动车行驶的平均速度比汽车行驶的平均速度大.
解：设动车行驶的平均速度为 ，汽车行驶的平均速度为
，则 .
8.（教材新增习题变式）如图所示的是一件衣服的洗涤说明标志，请
根据其信息写出一个关于温度 的不等式_____________________.
（或）
9.（教材习题变式）请设计不同的实际背景来表示下列不等式：
解：答案不唯一，如：
（1） .
[答案] 八年级（1）班的男生比女生多，其中男生有人，女生有 人.
（2） .
[答案] 3条长裤和4件上衣的总价不超过560元,其中长裤的单价为 元，
上衣的单价为 元.
10.（教材习题变式）某家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价
如下表：
品名 销售价/（元·条 ）
羽绒被 415
羊毛被 150
现购买这两种产品共80条，其中羽绒被 条，付款总额少于2万元，请
列出不等式.
解： 购买羽绒被条， 购买羊毛被 条.根据题意，得
.
11.小明家距书店 ，他于星期日上午8:30从家里出发，骑车前往书
店购书，先以的速度行驶了之后，又以 的速度继
续行驶，结果在9:00前赶到了书店.请列出相应的不等式.
解：由题意，得 .(共18张PPT)
第二章 不等式与不等式组
3 一元一次不等式与一次函数
第2课时 一元一次不等式与一次函数结合的方案问题
知识点 一元一次不等式与一次函数的应用
1.如图所示，某单位准备和一个体车主或一出租
车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行
驶千米，个体车主收费为 元，出租车公司收费
为 元，观察下列图象可知，当________时，选
用个体车较合算( )
D
A. B. C. D.
2.某工厂开发生产一种新产品，前期投入15 000元.已知每件的成本为
25元，售价为40元.设生产件时，总成本（包括前期投入）为 元，
销售额为 元.
（1）分别求，与 之间的函数关系式.
解：由题意，得， .
（2）至少生产并销售多少件产品后，工厂才会有盈利？
解：当时，，解得 为正整
数， 的最小值为1 001.答：至少生产并销售1 001件产品时，工厂
才会有盈利.
3.某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租一处临街房屋.
现有甲、乙两家房屋出租，甲家已经装修好，每月租金为3 000元；乙
家未装修，每月租金为2 000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格，
则需要花装修费4万元.
（1）设租用时间为个月，承租房屋所需费用为 元，分别求租用甲、
乙两家的费用与租用时间 之间的函数关系式.
解：根据题意，租用甲家房屋时 ；租用乙家房屋时
（2）根据求出的两个函数表达式，试判断租用哪家的房屋更合算.
解：，解得.当 时，租用甲、
乙两家房屋一样合算；，解得 .当
时，租用乙家房屋更合算； ，解得
.当 时，租用甲家房屋更合算.
4.“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新
能源汽车自驾出游.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为 元，租用
乙公司的车每日所需费用为元，分别求出，关于 的函数表达式.
解：设，把代入，得 ，解得
.设，把 代入，得
，即 .
（2）结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算.
解：当时，，解得；当 时，
，解得；当时， ，解
得. 当租车时间为 小时，任意选择其中的一个方案；当租车
时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于 小时，选择方
案一合算.
5.某通信公司就宽带上网推出A，B，C三种月收费
方式.这三种收费方式每月所需的费用 （元）与上
网时间 之间的函数关系如图所示，则下列判断
错误的是( )
D
A. 每月上网时间不足 时，选择A方式最省钱
B. 每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C. 每月上网时间为 时，选择B方式最省钱
D. 每月上网时间超过 时，选择C方式最省钱
6. 地域文化 龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，位于洛阳市
南郊伊河两岸的龙门山与香山上.为更好地提振文旅消费，该地管理部
门推出了针对学生的门票优惠政策.
优惠方案一：每位学生在原价30元的基础上全部八折收费.
优惠方案二：若学生人数不超过30，每位学生在原价30元的基础上全
部按九折收费；若学生人数超过30，其中30名学生按照原价收费，剩
余学生按五折收费.
（1）分别写出这两个优惠方案实际收取的费用 （元）与参观的学生
人数 之间的函数表达式.
解：由题意，得；当
时，，当 时，
（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所求函数的图象，并根
据图象，判断选择哪种优惠方案较合算.
解：由，得.画函数图象如图： 当 小于50
时，选择方案一较合算；当时，两种方案费用相同；当 大于
50时，选择方案二较合算.
7.《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销.甲、乙两个玩偶专卖店
以同样的价格出售相同款式的哪吒玩偶，并且又各自推出不同的优惠
方案：
专卖店 优惠条件
甲 购物花费优惠
乙 累计购物超过100元后，超出100元的部分按八折收费
（1）设顾客累计购物花费 元，若在甲专卖店购物，则实
际花费______元；若在乙专卖店购物，则实际花费
____________元.（用含 的式子表示，化为最简形式）
（2）在什么情况下，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠？请说明理由.
解：累计购物花费超过200元时，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠.
理由如下：当 时，显然顾客到甲专卖店购买哪吒玩偶更
优惠；当时，，则，解得 .
答：累计购物花费超过200元时，顾客到乙专卖店购买哪吒玩偶更优惠.
（3）甲专卖店打算要花费1 000元购进哪吒、敖丙两款玩偶共60个，
已知哪吒玩偶进价18元/个、敖丙玩偶进价15元/个，问最多可以购进
哪吒玩偶多少个？
解：设购进个哪吒玩偶，则购进 个敖丙玩偶.根据题意，得
，解得.又为正整数， 的最大
值为33.答：最多可以购进哪吒玩偶33个.(共18张PPT)
第二章 不等式与不等式组
2 一元一次不等式
第2课时 用一元一次不等式解决实际问题
知识点 一元一次不等式的应用
1.小明准备用零花钱购买一个学生 眼镜，他已经存有60元，从现在
起计划每月平均存25元.他想购买的这款眼镜至少需要480元.若存钱
个月，则下列符合题意的不等式为( )
A
A. B.
C. D.
2.某超市为推广新品，推出灰枣和鸡心枣两种组合装.灰枣每包的价格
为30元，鸡心枣每包的价格为20元.某顾客用不超过260元购买这两种
枣，他买了4包灰枣，设他还能买 包鸡心枣，根据题意可列不等式为
( )
A
A. B.
C. D.
3.甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地，甲种运输车载重4吨，乙种
运输车载重5吨，每种车都不能超载.现已安排甲种运输车6辆，要一次
性完成该物资的运输，则乙种运输车至少安排( )
B
A. 4辆 B. 5辆 C. 6辆 D. 7辆
4.（教材习题变式）（2025·宜宾）某校举办“科学与艺术”主题知识
竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若
小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数
是( )
C
A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道
5.某学校把学生生物课的笔试、实验操作两项成绩分别按，
的比计入学生的学期总成绩，小亮的实验操作这一项成绩是81分，要
想学期总成绩不低于90分，那么他的笔试成绩至少要达到____分.
96
6.某种商品进价为700元，标价为1 100元，由于该商品积压，商店准
备打折销售，但要保证利润率不低于 ，则至多可以打____折.
七
7.油电混合动力汽车结合了传统内燃机汽车和纯电动汽车的优点，可
提高燃油经济性、减少排放并提升驾驶体验.小李驾驶一台油电混合动
力汽车从甲地去往乙地，总路程为240千米.已知每行驶1千米电费为0.3
元，每行驶1千米油费比电费多0.4元.若小李想要使此次行程花费的油
费和电费总计不超过128元，则至少需要在纯电模式下行驶多少千米？
解：设需要在纯电模式下行驶 千米.根据题意，得
,解得 的最小值为100.
答：至少在纯电模式下行驶100千米.
8.（2024·山西）为加强校园消防安全，学校
计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火
器共50个.其中水基灭火器的单价为540元，干
粉灭火器的单价为380元.若学校购买这两种灭
火器的总价不超过21 000元，则最多可购买
这种型号的水基灭火器多少个？
解：设购买这种型号的水基灭火器 个，则购
买这种型号的干粉灭火器 个.根据题
意，得 ，解得
为整数， 的最大值为12.答：
最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
9. 真实任务情境 七年级的小明要从学校到烈士陵园参加扫墓
活动，两地相距3.6千米.已知他步行的平均速度为70米/分，跑步的平
均速度为210米/分.若他要在不超过40分钟的时间内到达烈士陵园，则
至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步 分钟，则列出不等式为( )
C
A. B.
C. D.
10.某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于且不高于 的山坡.
已知某山区山脚下的平均气温为，并且海拔每上升 ，气温
下降 .要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高
多少的山坡上
解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高 的山坡上.根据题意，得
，解得 的最大值为500.答：这种杜鹃
花应种在比山脚的海拔最多高 的山坡上.
11.（2025·贵州）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全
球最大的抹茶单体生产车间.为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A，
B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以
生产抹茶共200吨，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产
抹茶共280吨.
（1）一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
解：设一条A型生产线每月生产抹茶 吨，一条B型生产线每月生产抹
茶吨.根据题意，得解得 答：一条A型生产
线每月生产抹茶120吨，一条B型生产线每月生产抹茶80吨.
（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A，B两
种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于
2 000吨，至少需要安装多少条A型生产线？
解：设需要安装条A型生产线，则安装 条B型生产线.根据题
意，得，解得. 为正整
数， 的最小值为3.答：至少需要安装3条A型生产线.
12.（2024·河南）为响应“全民植
树增绿，共建美丽中国”的号召，
学校组织学生到郊外参加义务植树
活动，并准备了A，B两种食品作
为午餐.这两种食品每包质量均为
，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入
热量和 蛋白质，应选
用A，B两种食品各多少包？
解：设选用A种食品 包，选用B种
食品 包.根据题意，得
解得
答：应选用A种食品4包，B
种食品2包.
（2）运动量大的人对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种
食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 ，且热量最低，
应如何选用这两种食品？
解：设选用A种食品 包，则选用
B种食品 包.根据题意，得
，解得
.设每份午餐的总热量为 ，
则 ，即
时，取得最小值，此时 .答：应选用A种食
品3包，B种食品4包.
，随的增大而减小. 当(共12张PPT)
第二章 不等式与不等式组
1 不等式及其基本性质
第2课时 不等式的解和解集
知识点1 不等式的解和解集
1.下列各数中，是不等式 的解的是( )
D
A. B. C. 1 D. 3
2.满足 的最大整数是( )
C
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 开放性问题 写出不等式 的一个整数解：_______
_______________.
4
（答案不唯一）
4.（教材习题变式）在0，，，3，5， 中，___是方程
的解；_ ________是不等式 的解；____________
是不等式 的解.
3
3，5，
0，，
知识点2 在数轴上表示不等式的解集
5.（2024·贵州）不等式 的解集在数轴上表示正确的是( )
C
A. B. C. D.
6.关于 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则相应的解集为
( )
C
A. B. C. D.
7.（教材习题变式）将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
[答案] 略
易错点 对不等式的解集概念理解不清
8.“因为满足的每一个数都是 的解，所以不等式
的解集是 ”，这句话是否正确？请你判断，并说明理由.
解：这句话不正确.因为一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个
不等式的解集，而只包含不等式的部分解，如： ，
1，2等都是不等式的解，但并不在 的范围内，所以这
句话不正确.
9.（教材习题变式）下列说法中，错误的是( )
C
A. 不等式 的正整数解只有一个
B. 是不等式 的一个解
C. 不等式的解集是
D. 不等式 的整数解有无数个
10.（教材习题变式）不等式 有多少个负整数解？请全部写出来.
解：不等式有4个负整数解，分别为，，， .
11.已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，求 的值.
解：根据题意，得，，解得 的值为
.(共20张PPT)
第二章 不等式与不等式组
1 不等式及其基本性质
第3课时 不等式的基本性质
知识点1 不等式的基本性质
1.已知，则，“ ”中应填的符号是( )
B
A. B. C. D.
2.（2025·济南）已知 ，则下列不等式一定成立的是( )
D
A. B.
C. D.
3.（2025·广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有克水、 克
水，.都加入 克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量
的大小关系的是( )
A
A. B.
C. D.
4.（教材新增习题变式）比较大小（填“ ”“ ”或“ ”）：
（1）若，则___ .
（2）若，，则___ .
5.（本课时变式）由不等式得到,则 应满足的条件
是_______.
6.若将不等式的两边都乘 ，则不等式可变为___________.
7.用不等号填空：
（1）若，则___ .
（2）若,则___ .
（3）若，则___ .
（4）若,则___ .
知识点2 利用不等式的基本性质解不等式
8.写出下列不等式的变形依据：
（1）若，则 .依据：___________________.
（2）若，则 .依据：___________________.
（3）若，则 .依据：___________________.
不等式的基本性质1
不等式的基本性质2
不等式的基本性质3
9.（教材习题变式）利用不等式的基本性质解下列不等式，并在数轴
上表示解集.
（1） .
解：根据不等式的基本性质1，两边都加3，得 ，
即 .图略.
（2） .
解：根据不等式的基本性质1，两边都减去 ，得
，即 .图略.
（3） .
解：根据不等式的基本性质2，两边都除以4，得 .图略.
（4） .
解：根据不等式的基本性质3，两边都乘 ，得
，即 .图略.
易错点 错用不等式的基本性质
10.阅读下面的解题过程，回答问题.
已知，试比较与 的大小.
解：因为 ，①
所以 .②
所以 .③
（1）上述解题过程中，从第________步开始出现错误.
解：②
（2）错误的原因是____________________________________________
_____.
不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有
改变
（3）请写出正确的解题过程.
[答案] ，
.
11.如图，数轴上，两点对应实数，，用“ ”或“ ”填空：
（1） ___0.
（2）___ .
（3）___ .
（4） ___0.
12.若 ，则下列各式中，不能成立的是( )
D
A. B. C. D.
13.下列不等式变形错误的是( )
C
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
14.设 ，●， 表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图
所示，那么 ，●， 这三种物体的质量从大到小的顺序排列应为
( )
A
A. ， ，● B. ，●， C. ，●， D. ●， ，
15.利用不等式的基本性质解不等式 ，并在数轴上表示
解集.
解：不等式两边都加，得 .图略.
16.已知实数，，满足，，试判断
与 的大小关系，并说明理由.
解：.理由如下： ，
， ，即
.
17.（教材习题变式）比较大小：
（1）如果，那么___ .
（2）试比较与 的大小：
①当时，___ .
②当时，___ .
③当时，___ .
（3）试比较与 的大小.
解：当时，；当时，；当 时，
.
（4）试比较与 的大小.
解：， .

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