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(共16张PPT)
第六章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1，2
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1.在四边形中,,,当___, ___时,四边形
是平行四边形.
4
5
2.如图，是直线外一点，在上取两点，，分别以点， 为圆
心，，的长为半径画弧，两弧交于点，分别连接， ，
，则四边形 是平行四边形，理由是______________________
_________________.
两组对边分别相等的四
边形是平行四边形
3.若一个四边形的边长依次为,,,,且 ,则这个
四边形为____________.
平行四边形
4.如图，在的方格图中， 的三个顶点都在格
点上.
（1）画出，其中 是格点.
解:图略， 即为所求.
（2）请用平行四边形的判定方法说明（1）中所画图形的合理性.
解:设小正方形方格的边长为1，则，， ，
.， 四边形 是平行四边形.
知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5.（教材习题变式）如图，将一条长的线段向右平移 后，
连接对应点得到的图形是__________形.理由是____________________
_____________________.
平行四边
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
第5题图
第6题图
6.（教材习题变式）如图，已知, ,
， ,则图中的平行四边形有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.（教材新增习题变式）如图，在中，点，分别在边 ，
上，且.求证： .
证明： 四边形是平行四边形， ，
，，即 .又
， 四边形是平行四边形. .
8.如图，在四边形中， ，将对角线
向两端分别延长至点，，使 ，连接
，.若，求证：四边形 是平行
四边形.
证明：在和 中，
.又， 四边形 是平行四边形.
易错点 对平行四边形的判定方法理解错误
9.如图所示的是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需
在四边形 中添加条件，下列添加的条件正确的是( )
，.又 ___， 四边 形 是平行四边形.
B
A. B.
C. D.
10.现有一张平行四边形纸片， ，要求用尺规作图的方
法在边，上分别找点，，使得四边形 为平行四边形，
甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是( )
C
A. 甲对、乙不对
B. 甲不对、乙对
C. 甲、乙都对
D. 甲、乙都不对
第11题图
11.如图，在平面直角坐标系中，以
，， 为顶点构造平行
四边形，下列各点中不能作为平行四边形第
四个顶点的是( )
A
A. B.
C. D.
12.如图，的对角线，相交于点，， .
若，，则四边形 的周长为___.
8
第12题图
13.如图所示，在的各边，， ，
上，分别取点，，，，使 ，
.求证：四边形 为平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形， ，
，.在和 中，
.同理证得
， 四边形 为平行四边形.
14.如图，在四边形中，， ， ，
，，点从点出发以的速度向点 运
动，点从点出发以的速度向点运动，， 两点同时出发，
当点到达点时，掉头沿方向继续运动，直至点到达点 ，两点
同时停止运动.设运动时间为 .
（1）直接写出：__，________ .
（用含 的式子表示）
（2）当为何值时，四边形 为平行四边形？
解：，点,分别在, 上，
当时，四边形 是平行四
边形.①当时，由,得，解得 ；
②当时，由,得，解得 .综上所
述，当或时，四边形 为平行四边形.(共19张PPT)
第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质及梯形
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.如图，在中，对角线，交于点 ，下列结论一定成立
的是( )
C
第1题图
A. B.
C. D.
第2题图
2.如图，在中，对角线， 相交于点
.若，，，则 的周
长为( )
A
A. 13 B. 16 C. 18 D. 21
3.在中，的长为6，对角线 的长为8，则另一条对角线
的长的取值范围为( )
D
A. B.
C. D.
4.如图，若的周长为，,相交于点， 的周
长比的周长小，则___，___ .
4
7
5.（教材习题变式）如图,已知 的对角线
,相交于点,,, .
（1）求 的长.
解: 四边形是平行四边形,, ,
,,.在 中,
（2）求 的面积.
解: .
6.如图，在中，对角线与 相交于
点，，在对角线上，且 .求
证： .
证明： 四边形是平行四边形， ，
，.在和中，
.
知识点2 梯形
7.已知在梯形中，， ，则 的度数是_____.
8.如图，四边形 是等腰梯形，下列说法不正确的是( )
C
A. B.
C. D.
第9题图
9.如图，在中，与相交于点 ，那么
图中的全等三角形共有( )
C
A. 1对 B. 2对 C. 4对 D. 6对
第10题图
10.如图，四边形是等腰梯形， 是坐标原
点，点，的坐标分别是，，则点
的坐标是( )
C
A. B.
C. D. 无法确定
11.如图，在中，， 为对角线，
，边 上的高为4，则阴影部分的面积为
( )
C
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
12.如图，在中，对角线，相交于点，于点 ，
交于点.若的周长为，则的周长为____ .
24
13.如图，在中，对角线， 交于点
，过点作任意直线分别交，于点， .
（1）求证： .
解：证明： 四边形是平行四边形， ，
.在和 中，
.
（2）若，，，求梯形 的周长.
解：， ，
, 梯形
的周长为 .
14.如图，在中， ，， 为边
上一动点，以，为边作，则对角线
的最小值为( )
C
A. 6 B. 8 C. D.
平行四边形中的面积模型
【模型归纳】
第1题图
1.如图，是内任意一点.若 ，
则图中阴影部分的面积是( )
C
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5
第2题图
2.如图，在中，对角线， 相交于点
，为边上任意一点.若 的面积为6，则
的面积为( )
B
A. 6 B. 12
C. 24 D. 无法确定(共20张PPT)
第六章 平行四边形
回顾与思考（六） 平行四边形
考点1 平行四边形的性质与判定
1.下面平行四边形不具有的性质是( )
C
A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等
C. 对角线相等 D. 相邻两角互补
2.如图，， 是两条平行线，则甲、乙两个平行四边形的面积关系是
( )
C
A. 无法确定 B. C. D.
3.汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，
通常两个雨刮器的刷片长度相同，即 .某时刻汽车雨刮器的位
置如图所示，此时 ，则下列说法错误的是( )
B
A. 四边形 是平行四边形
B.
C.
D.
4.如图，在中，，， ，则
下列结论：的周长是； 是直角三角形；
；的面积是 .其中正确有( )
B
第4题图
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 开放性问题 如图，在四边形中， ，要使四
边形 为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是
________________________.
（答案不唯一）
第5题图
6.如图，在梯形中，，，点在 上，且
.若平分，则 ___.
5
第6题图
7.如图，在中， ，将绕顶点 顺时针旋转
到，当首次经过顶点时，旋转角 的度数为
_____.
第7题图
8.如图，点是平行四边形的对角线上一点，过点 作
，分别交，于点，，连接，.若 ，
， ，则图中阴影部分的面积为___.
6
9.如图，在四边形中，与相交于点 ，且
，点在上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
解：证明：，.在和 中，
.又
， 四边形 是平行四边形.
（2）若，，则 ___.
5
10.（教材新增习题变式）综合实践
课上，老师让同学们开展了
的折纸活动，是边 上
的一动点，是边 上的一动点，
将沿直线折叠，使点
（1）【观察发现】如图1，若 ， ，
，则 _____.
落在边上的点处，点的对应点为点，连接 .
（2）【操作探究】如图2，当点落在 的延长线上时，求证：四边
形 为平行四边形.
解：证明：由折叠知 ，
.由，得 ，
， .
.
，点在的延长线上，
，.
又， 四边形 是平行四边形.
考点2 三角形的中位线
11.如图所示的是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架， 为拉
杆，，分别是，的中点.若，则， 两点的距离
为( )
D
A. B. C. D.
第12题图
12.（2025·河南）如图所示的网格中，每个小正方形
的边长均为1， 的三个顶点均在网格线的交点
上，，分别是边， 与网格线的交点，连接
，则 的长为( )
B
A. B. 1 C. D.
13.如图，在中，，分别是，的中点，平分 ，
交于点.若，，则 的长是___.
4
第13题图
14.如图，在中， ，， 分别
是，的中点，延长到点，使 ，连
接，，，，与交于点 .
（1）求证：与 互相平分.
解：证明：，分别是，的中点，是 的中位线.
且.又，即， .
又， 四边形是平行四边形.与 互相平分.
（2）若，，则 _____.
第15题图
15.“三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题.
在探索中，有同学利用如图所示的图形逐步实现特定
条件下角的三等分.如图，四边形 是平行四边形，
点在对角线上，且， ，
则 的度数是_____.
第16题图
16. 数学文化 在《圆锥曲线论》中有一个
著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的
平方和等于各边的平方和.如图所示，在 中，
，，，是的中点，则
的长为_ ___.(共20张PPT)
第六章 平行四边形
3 三角形的中位线
知识点1 三角形的中位线定理
第1题图
1.如图，在中，，，分别为， 的
中点，则 ( )
D
A. B. C. 1 D. 2
第2题图
2.（2024·广安）如图，在中，， 分别是
，的中点.若 ， ，则
的度数为( )
D
A. B. C. D.
3.（2025·山西）如图，在中，是对角线的中点， 是边
的中点，连接 .下列两条线段的数量关系中一定成立的是( )
C
第3题图
A. B. C. D.
第4题图
4.（2025·广元）如图，在平行四边形 中，
，对角线，交于点，是 的中点，
连接，是的中点，连接，则 的长是
( )
C
A. 1 B. C. 2 D. 4
5.如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点， 的横
坐标分别是1，4，则 的长为___.
6
6.如图，已知在中，中线，交于点 ，
，分别是，的中点.连接，， ，
.求证： .
证明：，都是的中线， 是
的中位线.，， 分
别是，的中点，， 且
四边形是平行四边形. .
知识点2 三角形的中位线定理的应用
7.如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，，分别是 ，
的中点.若，则该工件内槽宽的长为___ .
8
第7题图
8.如图，小亮利用刻度直尺（单位： ）测量三角形纸片的尺寸.点
，分别对应刻度尺上的刻度2和8.若，分别为， 的中点，
则的长为___ .
3
第8题图
9.如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地 ，已
知，分别是边，的中点，量得 米，他
想把四边形 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用
篱笆的长是( )
C
A. 15米 B. 20米 C. 25米 D. 30米
第10题图
10.如图，的对角线，相交于点，
是的中点，的周长为，则 的
周长是( )
C
A. B. C. D.
11.现有一四边形，借助此四边形作平行四边形 ，两位同
学提供了如下方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是( )
方案Ⅰ ________________________________________________ 方案Ⅱ
____________________________________________________
作边，，， 的垂直平分线 ，，，，分别交， ， ，于点，，， ，顺次连接 这四点围成的四边形 即为 所求. 连接， ，过四边形
各顶点分别作，
的平行线，， ，
，这四条平行线围成的四
边形 即为所求.
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ，Ⅱ都可行 D. Ⅰ，Ⅱ都不可行
续表
√
12.如图，在四边形中，，，，分别是， ，
的中点.若 ，则 的度数为_____.
第12题图
13.如图，在中，，分别是，的中点， 是
延长线上的一点，且，连接， .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
证明：，分别是，的中点， ，
（2）若 ，，，则四边形 的
周长为____ .
28
， 四边形 是
平行四边形.
14.如图，的周长为16，，，分别为 ，
，的中点，，，分别为，， 的
中点，则的周长为___.如果 ，
4
， 分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法
继续作三角形，那么第 个三角形的周长是______.
构造三角形中位线的技巧
【方法指导】可以通过以下添加辅助线的方法构造中位线：
（1）已知两个中点：连接两中点或连接第三边；（2）已知一个
中点：取另一边中点并连接这两个中点；（3）已知角平分线 垂直：
延长有关的线段（被平分角的边或垂直的边）.
1.如图，在中， ，，，是边 上
一点，为边上的动点，，分别为，的中点，则 的最小
值为____.
1.2
第1题图
2.如图，在中， ， ，平分 ，
且，.若为边的中点，则 的长为____.
1.5
第2题图
3.如图，在四边形中，，分别是，的中点.若 ，
， ，则 的长为_____.
第3题图(共20张PPT)
第六章 平行四边形
1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
知识点1 平行四边形的定义及中心对称性
1.在四边形中，若，___，则四边形 为平行
四边形.
//
2.（教材习题变式）如图,在中, ,则图中平
行四边形的个数是___.
6
第2题图
第3题图
3.（2025·湖北）如图， 的对角线交点
在原点.若点，则点 的坐标是( )
C
A. B.
C. D.
知识点2 平行四边形边、角的性质
4.（教材习题变式）在 中：
（1）若,,则___， ___.
（2）若的周长为32,且,则 ____.
（3）若 ,则_____,______, _____.
（4）若 ，则_____， ______.
（5）若,则______, _____.
6
3
11
5.如图,在中,, ,则 的度数是_____.
6.如图,在中,,,,则 的长为____.
第6题图
7.（2025·新疆）如图，在中，的平分线交于点 .若
，则 ___.
第7题图
8.（2025·宜宾）如图，是边 的中点，
连接并延长交的延长线于点， .
（1）求证： .
证明： 四边形是平行四边形， ，
是的中点，.在
和中， .
（2）求 的长.
解：由（1）可知 .
易错点 条件指代不明导致漏解
9.在中，的平分线把边 分成长度是3和4的两部分，则
的周长是________.
22或20
10.如图，在中，， .若
，则 ( )
B
A. B. C. D.
11.如图，在中，于点，于点.若 ，
，的周长为25，则 的面积为____.
30
12.如图，在中， 是它的一条对角线.
（1）求证： .
证明： 四边形是平行四边形， ，
.又，
（2）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，
（不写作法，保留作图痕迹）.
解：图略.
（3）连接，若 ，求 的度数.
解：垂直平分， . 四边
形是平行四边形， .
13.如图，在中，平分，交 于
点，交的延长线于点 .
（1）求证： .
证明： 在中， ，
平分 ，
（2）若，， ，求 的
长和 的面积.
解：过点作交 的延长线于点
， ，
， .
.
.
平行四边形中“平行线 角平分线”基本图形的运用
【基本图形】 平行四边形角平分线 等腰三角形,如：本课时 ，
, .
【观察与思考】1.找出图中的等腰三角形. 2.验证你找出的三角形是等
腰三角形.
1.如图，在中，，，， 分别平分
，，那么 的长为( )
B
第1题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 以上都不对
第2题图
2.如图，在中，，， 分别
是与的平分线，交点为点 ，
，则 ( )
C
A. 5 B. 10 C. 9 D. 12(共18张PPT)
第六章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第3课时 平行线之间的距离及平行四边形判定方法的选择
知识点1 平行线之间的距离
1.如图，,,,,垂足分别为, ，则下列说法不
正确的是( )
D
第1题图
A.
B.
C. ，两点的距离就是线段 的长
D. 与的距离就是线段 的长
2.如图，，点在直线上，点，在直线上， .如果
，，那么平行线，之间的距离是___ .
4
第2题图
3.如图，若的面积为20，，则边与 间的距离为___.
4
第3题图
4.如图，已知直线,点，在直线上，点，在直线 上，线段
，相交于点，与 面积相等的三角形是________，与
面积相等的三角形是________.
第4题图
知识点2 平行四边形判定方法的选择
5.根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是( )
C
A. B. C. D.
6.如图，，，且 .求证：四边
形 是平行四边形.
证明：，，.
在和 中，
四边形 是平行四边形.
7.（2025·盐城）如图，点，在的对角线 上.若________
_______________，则四边形是平行四边形.请从 ；
； 这3个选项中选择一个作为条件（写序号），
使结论成立，并说明理由.
③
（答案不唯一）
解：理由： 四边形是平行四边形， ，
，.在
和 中，
四边形
是平行四边形.
易错点 位置不确定造成漏解
8.设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与 的
距离是，与的距离是，则与 的距离是_______
.
7或17
9.如图，直线，是直线上的一个定点，线段在直线 上移动，
那么在移动过程中， 的面积( )
C
第9题图
A. 变大 B. 变小 C. 保持不变 D. 无法确定
第10题图
10.如图，是边延长线上一点，连接 ，
，，交于点 .添加以下条件，不能判定四
边形 为平行四边形的是( )
C
A. B.
C. D.
11.如图1，在 中，
， 为锐角.要在对角
线上找点， ，使四边形
为平行四边形，现有图2中
的甲、乙、丙三种方案，则正确的
方案( )
A
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙
C. 只有甲、丙 D. 只有乙、丙
12.如图，已知，过点作 于点
，交于点，过点作于点 ，交
于点，连接， .求证：
（1） .
证明： 四边形是平行四边形， ，
，， .
, .
四边形是平行四边形. ，即
（2）四边形 是平行四边形.
[答案] ，
， ，
.在和
中， 四边形
是平行四边形，， .又
， 四边形 是平行四边形.
13.如图，在中， ，，，是
的中点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点
移动，连接并延长交于点，设点移动的时间为 秒.
（1）求与 间的距离.
解：过点作于点，， , 根
据勾股定理，得 ，即
.与间的距离为 .
（2）当为何值时，四边形 为平行四边形？
解：是的中点， ，
（3）直接写出为何值时， .
解：的值为 或4.3.
当时，四边形 为平行四边形.
.此时，即 ，四边形
为平行四边形.
,
，(共13张PPT)
第六章 平行四边形
2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
知识点 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.如图，四边形的对角线,相交于点 ，下
列条件中，一定能判定四边形 是平行四边形的
是( )
A
A. ， B.
C. ， D.
2.如图，在四边形中，与相交于点.若， ，
则当___，___时，四边形 是平行四边形.
5
3
第2题图
3.小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，
将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形 就是平
行四边形.这种方法的依据是____________________________________.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
第3题图
4.如图，在四边形中，，对角线,相交于点 ，且
.求证：四边形 是平行四边形.
证明：，， .又
， 四边形 是
平行四边形.
5.如图，的对角线，相交于点 ，且
，，，分别是，，， 的中点.求证：
四边形 是平行四边形.
证明： 四边形是平行四边形，， ，
，，分别是，，，的中点， ，
，，， 四边
形 是平行四边形.
6.（教材习题变式）如图，在四边形中， ，
相交于点，， ，垂足分别为
，，，.试判断四边形 的形
状，并说明理由.
解：四边形是平行四边形.理由如下：， ，
..又， 四边形 是
平行四边形.，.又， 四
边形 是平行四边形.
7.已知 （如图1），按图2、
图3所示的尺规作图痕迹
（不需借助三角形全等）就能推出
四边形 是平行四边形的依据
是( )
B
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8.如图，在四边形中，对角线，相交于点 ，
，，，，则四边形
的面积为____.
24
9.如图，四边形是平行四边形， 的平分线
交于点，交的延长线于点 .
（1）求证： .
证明： 四边形是平行四边形， ，
平分，
（2）若恰好平分，连接， ，求证：四
边形 是平行四边形.
[答案] ，平分， .在
和中，
四边形 是平行四边形.
10.如图，在中， 是它的一条对角线，
过，两点分别作于点，
于点 .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
解：证明：连接交于点 四边形 是平行四边形，
，,， ，
.又 ，
四边形 是平行四边形.
（2）若， ，
，过点作，垂足为 ，
求 的长.
解：在中， ，在
中，. ，
.

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