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(共20张PPT)
第四章 因式分解
回顾与思考（四） 因式分解
考点1 因式分解的概念
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
D
A. B.
C. D.
考点2 因式分解
2.将 用提公因式法进行因式分解，应提的公因
式是( )
C
A. B. C. D.
3.下列左到右的变形中，因式分解正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
4.对任意整数， 都能( )
B
A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除
5.因式分解：
（1） _____________.
（2） ________________.
（3） ____________.
6.若，则 ____.
10
7.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
8.已知,求代数式 的值.
解：, 原式
.
考点3 因式分解的应用
9. 真实任务情境 小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手
册中，有这样一条信息：，，，， ，
分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将
因式分解，结果呈现的密码信息可能是
( )
C
A. 我爱美 B. 惠济游 C. 我爱惠济 D. 美我惠济
10.（教材习题变式）学校有一块边长为 的正方形场地，准备在
四个角各建一个边长为 的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，
则购买 的草坪够不够铺满绿地？
解：铺设草坪的面积为
, 购买 的草坪够铺满绿地.
11.（教材新增习题变式）如果一个正整数能表示为两
个连续非负偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美
数”.例如：， ，
，则12，20，28这三个数都是“完美数”.
（1）按照上述规律，请写出一个与上面不同的“完美数”，并表示成两
个连续偶数的平方差形式：______________.
（2）证明：任意一个“完美数”都能够被4整除.
解：证明：设两个连续的偶数为，， 为自
然数，则“完美数”为
为自然数，为正整数. 能被4整除，即任意一
个“完美数”都能够被4整除.
（3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续
偶数，按此规律拼叠到正方形 ，其边长为40，求
阴影部分的总面积.
解：根据题意，得 .
12.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
.
解法二：原式
.
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将
多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，
这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用.
【类比】
（1）用分组分解法将 因式分解为__________________.
【挑战】
（2）请用分组分解法将 因式分解.
解：原式 .
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，利用它可以验证
勾股定理.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围
成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若直角三角形的
两条直角边长分别是和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1.
根据以上信息，先将 因式分解，再求值.
解：原式 直
角三角形的两条直角边长分别是和 ，斜边长是3，小正方形
的面积是1，， 原式 .(共14张PPT)
第四章 因式分解
3 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
知识点1 直接运用平方差公式因式分解
1.下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是( )
C
A. B. C. D.
2.因式分解： ( )
A
A. B.
C. D.
3.因式分解：
（1） ______________.
（2） ___________________.
（3） _______________________.
4.若，则 ____.
5. 开放性问题 请写一个多项式，要求该多项式能利用平方差
公式进行因式分解，且有一项是 .符合要求的多项式可以是
________________________.
（答案不唯一）
6.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解
7.因式分解：
（1）（2025·淄博） _______________.
（2）（2025·无锡） ________________.
（3）（2025·西宁） ___________________.
8.因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
知识点3 用平方差公式因式分解的应用
9.已知长方形的面积是，若一边长为 ，则另一
边长为________.
10.（教材习题变式）如图，已知， ，
则图中阴影部分的面积为（结果保留 ）( )
D
A. B. C. D.
易错点 因式分解不彻底导致出错
11.因式分解： ______________________.
12.若为任意整数，则 的值总能( )
A
A. 被4整除 B. 被5整除 C. 被6整除 D. 被7整除
13.已知,,，则,, 按
从小到大的顺序排列为__________（用“ ”连接）.
14.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式
.(共15张PPT)
第四章 因式分解
2 提公因式法
第1课时 提单项式因式分解
知识点1 公因式的概念
1.与 的公因式为____.
2.（1）多项式 中各项的公因式是_____.
（2）多项式 中各项的公因式是____.
（3）多项式 中各项的公因式是_____.
知识点2 提单项式因式分解
3.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是( )
B
A. B. C. D.
4.将多项式 因式分解，结果正确的是( )
A
A. B. C. D.
5.将多项式 提公因式后，另一个因式是( )
C
A. B. C. D.
6.因式分解：
（1）（2025·镇江） _________.
（2） ___________.
（3） ____________.
7.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
易错点 因式分解时弄错符号或漏项
8.因式分解： __________________.
9.（教材习题变式）若，,,则 的值为
____.
68
10.若实数，满足，，则 的值是____.
11.若长、宽分别为，的长方形的周长为12，面积为8，则
的值为____.
12.把下列各式因式分解：
（1） _____________________.
（2） _______________________.
13.已知的小数部分，如果用 表示它的整数部分，
那么 的值是____.
14.设为奇数，求证： 除以8的余数为1.
解：设为整数 ，
.由条件可知， 和
都是整数，当为奇数时，是偶数；当为偶数时， 是
奇数， 对于任意的整数，和 都是一个奇数，一个偶数.
一定能被8整除.除以8的余数为1，即 除
以8的余数为1.(共11张PPT)
第四章 因式分解
2 提公因式法
第2课时 提多项式因式分解
知识点1 提多项式因式分解
1.若把提公因式后，其中一个因式是 ，则另
一个因式是( )
A
A. B. C. D.
2.因式分解：
（1） ______________.
（2） ________________.
3.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
知识点2 提公因式法因式分解的应用
4.（教材习题变式）先因式分解，再计算求值：
（1），其中， .
解：原式.当， 时，原式
.
（2）,其中 .
解：原式
.当
时,原式 .
5.已知 可因式分解为
，其中，均为整数，则 _____.
6.若一次函数的图象经过点， ，则
的值为____.
7.如图，有甲、乙、丙三张长方形纸片.若用这三张纸片紧密拼接成一
个长方形，则可得到一个多项式的因式分解为_____________________
_______________.
8.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
9. 阅读理解 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
.
（1）上述因式分解的方法是____________.
提公因式法
（2）因式分解：
____________.
（3）猜想： _______
_____（ 为正整数）.(共10张PPT)
第四章 因式分解
1 因式分解
知识点1 因式分解的概念
1.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
D
A. B.
C. D.
知识点2 因式分解与整式乘法的关系及其简单应用
2.把一个多项式化成几个整式的____的形式，这种变形叫作因式分解.
整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是
整式恒等变形.如： 属于__________；
属于__________.
积
整式乘法
因式分解
3.把多项式因式分解得，则 ___.
6
4.由一个边长为的小正方形和一个长、宽分别为, 的小长方形组成
的大长方形如图所示，则整个图形的面积可以用一个有关多项式因式
分解的等式表示.请写出这个等式：___________________.
5.因式分解：（1）.（2） .小明是这样做的：
解：（1） .
（2） .
请利用因式分解与整式乘法的关系，判断小明的因式分解过程是否正确.
解：（1）， 因式分解不正确.
（2）， 因式分解正确.
6.下列因式分解错误的是( )
C
A. B.
C. D.
7.（教材习题变式）整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应
的等式，利用如图所示的拼图分解因式： _________
__________.
8.已知把多项式因式分解的结果为 ，求
的值.
解：由题意，得 ,
, 解得
.
9.（教材习题变式）利用因式分解说明 能被30整除.
解：
，
能被30整除.(共21张PPT)
第四章 因式分解
3 公式法
第2课时 运用完全平方公式因式分解
知识点1 直接运用完全平方公式因式分解
1.把多项式 因式分解的结果是( )
D
A. B.
C. D.
2.把下列多项式因式分解，结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
3.因式分解：
（1） __________.
（2） _________.
（3） _________.
4. 开放性问题 在多项式 中添加一个单项式，使得到的
多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是
______________.（写一个即可）
或或
5.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
知识点2 先提公因式后运用完全平方公式因式分解
6.因式分解：
（1）（2025·兰州） __________.
（2）（2025·烟台） ___________.
（3） __________.
7.把下列各式因式分解：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
8.因式分解：
（1） ________________________.
（2） __________________.
9.（2024·广西）如果，，那么
的值为( )
D
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
10.已知， ，
，则 的值是( )
D
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11.（教材新增习题变式）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和
正方形的面积来解释因式分解的意义.
（1）如图1，小明把左侧两个正方
形和两个长方形，拼接为右边的一
个大正方形，计算发现：左侧四个
图形的面积和为______________，
右侧大正方形的面积为_________，
根据题意可得到一个多项式的因式分解为________________________.
（2）按照小明的思路，图2的四个
图形也可以拼成一个大长方形.
①拼成的大长方形的长为______，
宽为______.
②根据图2的四个图形拼成的大长方形，写出得到的多项式并进行因式
分解.
解： .
12.常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项
式只单纯用上述方法就无法分解，如 ，我们细心
观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以
与第四项结合，再应用平方差公式进行分解.过程如下：
.
这种因式分解的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列
问题：
（1） .
解：原式 .
（2）已知，，分别是 三边的长，且
，请判断 的形状，并说明理由.
解： 是等边三角形.理由如下：由
，得 .
拆项，得 ，即
， ，即
是等边三角形.
利用十字相乘法因式分解
【阅读理解】 用“十字相乘法”因式分解 的方法.
（1）二次项系数 ；
（2）常数项 ，验算：“交叉相乘之和”；
（3）发现①“交叉相乘之和”的结果 ,等于一次
项系数.即 ,则
.像这样，通过十字交叉线把二次三项
式因式分解的方法叫十字相乘法.
【问题解决】 因式分解：
（1） ______________.
（2） ______________.
（3） ______________.
（4） ______________.
【拓展训练】 因式分解：
（1） _______________.
（2） _______________.

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