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(共23张PPT)
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
第4课时 分式的混合运算
知识点1 较复杂的异分母分式的加减运算
1.化简 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2.计算：
（1） _____.
（2） _ _______.
3.计算：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
知识点2 分式的混合运算
4.计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
5.（2025·绥化）计算： ______.
6.（2024·河南）化简： .
解：原式 .
7.（2025·广安）先化简，再求值：，其中 .
解：原式.当 时，
原式 .
8. 过程性学习 化简: .下面是甲、乙两位同学
的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是____，乙同学解法的依据是____.（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法对加法的分配律；④
乘法交换律.
②
③
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
解：选择乙同学的解法.原式 .（甲同学的解法略）
9.如果，那么代数式 的值为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.试卷上一个正确的式子 ★ 被小颖同学不小心滴
上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为( )
A
A. B. C. D.
11.如图，若，则表示 的值的点落在( )
C
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
12.（2025·眉山）先化简，再求值：.其中， 满
足 .
解：原式 .
，， ，
原式 .
13.先化简，再从 中选取一个合适
的整数作为 的值代入求值.
解：原式
.
且为整数，或或 且
，.当时，原式 .
利用整体代入法求值
1.已知，，则代数式 的值为____.
2.已知，则代数式 的值为__.
3.若，则代数式 的值为__.
4.若，则 ___.
5.已知实数满足 ，求下列各式的值：
（1） .
解：由变形，得 .
（2） .
解：， .
（3） .
解： .
（4） .
解： .
（5） .
解： .(共10张PPT)
第五章 分式与分式方程
3 分式方程
第1课时 分式方程的概念
知识点1 分式方程的概念
1.下列关于 的方程中，分式方程是( )
C
A. B.
C. D.
2. 开放性问题 请你利用代数式， ，3组成一个分
式方程：_ _______________________________.
（答案不唯一，合理即可）
知识点2 列分式方程
3.（2025·绥化）用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小
时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间
相等.若设B货车每小时运输化工原料 吨，则可列方程为( )
C
A. B.
C. D.
4.绿水青山就是金山银山.为了创造良好的生态环境，防止水土流失，
某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的
棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少
棵.若原计划每天种树 棵，则可以列出方程为_ ____________.
5.一种药品有两种大小的包装，每个大瓶比每个小瓶多装20克药品.已
知120克药品单独装满小瓶的瓶数是单独装满大瓶的瓶数的1.5倍.设每
个小瓶可装药品 克，根据题意列方程为_ _______________.
6.某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购
买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球单价比足球贵25元.
根据题意可列方程，则方程中 表示( )
A
A. 篮球的数量 B. 足球的数量 C. 篮球的单价 D. 足球的单价
7.（教材习题变式）某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出
的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力，才能使挖出来的土能及时
运走且不停工等待？设派 人挖土，其他人运土，下列所列方程：
；；； .其中
正确的是________，这些正确的方程中，是分式方程的是______.
（填序号）
①②④
①④
8.某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导
小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
①甲队单独做这项工程，刚好如期完成；
②乙队单独完成这项工程比规定日期多6天；
③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成.
（1）设甲队单独做这项工程需要 天，请将下表补充完整.
统计量 工程总量 所用时间/天 工程效率
甲队 1 ___ _ _
乙队 1 ______ _ ___
（2）根据题意及表中所得到的信息列方程.
解： .(共19张PPT)
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
第3课时 异分母分式的加减法
知识点1 最简公分母
1.填空：
（1）分式与 的最简公分母是______.
（2）分式，与 的最简公分母是_______.
（3）分式与 的最简公分母是_________.
知识点2 通分
2.分式的分母经过通分后变为 ，那么分子应变为_________.
3.（1）分式， 的最简公分母是________，通分结果为
_ ___________.
（2）分式， 的最简公分母是________________，通分结果为
_ _____________________.
，
，
知识点3 异分母分式的加减法
4. 的运算结果正确的是( )
C
A. B. C. D.
5.计算：
（1） _ _____.
（2） ____.
（3） __________.
6.计算：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
7.国庆节期间，几名大学生租了一辆车准备从市区到郊外游玩，租金
为300元，出发时，又增加了两名学生，总人数达到 名.
（1）计划平均每名学生需分摊车费_ ___元，实际平均每名学生需分摊
车费_ ___元.
（2）实际包车的几名学生平均每人可比计划少分摊多少钱？
解：根据题意，得 .答：实际包车的
几名学生平均每人可比计划少分摊 元钱.
易错点 计算时漏掉分母而致错
8. 过程性学习 化简： .
圆圆的解答如下：
.
圆圆的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解法.
解：圆圆的解答错误.正确的解法：
.
9.（教材习题变式）一个工程，甲单独做要小时，乙单独做要 小时，
则两人合作3小时的工作量为( )
B
A. B. C. D.
10.（2024·河北）已知为整式，若计算的结果为 ，
则 ( )
A
A. B. C. D.
11.【整体思想】（2024·雅安）已知,则
___.
2
12.计算：
（1） .
解：原式
.
（2） .
解：原式 .
13.定义新运算：对于两个代数式， ，规定
.例如： .
（1）化简： .
解：原式 .
（2）计算的结果能否为0？若能，请求出此时 的值；若不
能，请说明理由.
解：不能为0.理由如下：原式
.， 结果不
能为0.
14.观察下面的变形规律，解答下列问题：
;;; ；…
（1）若 为正整数，猜想：
__ ____.
（2）根据上面的结论计算：
.
解： .(共22张PPT)
第五章 分式与分式方程
1 分式及其基本性质
第1课时 认识分式
知识点1 分式的概念
1.设，都是整式，若 表示分式，则( )
C
A. ，都必须含有字母 B. 必须含有字母
C. 必须含有字母 D. ， 都必须不含有字母
2.下列代数式中，是分式的是( )
A
A. B. C. D.
知识点2 分式有、无意义的条件
3.（2025·淮安）若分式有意义，则 的取值范围是_______.
4.若分式无意义，则 的值为( )
B
A. 0 B. C. D.
5.当下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
（1） .
[答案] .
（2） .
[答案] .
（3） .
[答案] .
（4） .
[答案] .
（5） .
[答案] .
（6） .
[答案] 为任意实数.
知识点3 分式的值
6.若分式的值为0，则 的值为( )
A
A. 1 B. C. 0 D. 2
7.（教材习题变式）当，时，分式 的值为___.
5
8.（教材习题变式）当，2，时，分别求分式 的值.
解：当时，.当时， .当
时， .
知识点4 列分式
9.王老师骑自行车用了到达距离家 的学校，则王老师骑自行
车的平均速度是___；若乘公共汽车可少用 ，则公共汽车的
平均速度是______ .
10.（教材新增习题变式）梯形的面积为，上底长为，下底长为 ，
则梯形的高写成分式为_ ____.
易错点 忽视分式的分母不能为0而致错
11.若分式的值为0，则 的值为( )
A
A. 3 B. C. D. 9
12.无论 为何值，下列分式一定有意义的是( )
D
A. B. C. D.
13.根据表格中的信息，分式 可能为( )
… 0 1 2 …
… * 无意义 * * …
C
A. B. C. D.
14. 开放性问题 若分式 的值为整数，请写出一个符合条
件的 的值：_________________.
2（答案不唯一）
15.填空：
（1）若分式的值为正数，则 需满足的条件是______.
（2）若分式的值为负数，则 的取值范围是_____________.
且
16.由生活经验，我们知道往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变得更
甜了.将克糖放入水中，得到 克糖水，此时糖水的含糖量记为
，再往糖水中加入 克糖，此时糖水的含糖量可表示
为_ ___.
17.已知当时，分式无意义；当 时，分式的值为0，求
的值.
解： 当时，分式无意义， 当 时，
分式的值为0，
18. 阅读理解 阅读下面材料，解答问题.#1
分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：; 等.
那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得
负.用字母表示为：
若,,则;若,,则 .
若,,则；若,,则 .
反之：①若,则或
②若 ,则____或____.#1.4
（1）补全材料②的内容.
解:;
（2）根据上述材料，求不等式 的解集.
解:由题意可知，或或 .(共16张PPT)
第五章 分式与分式方程
3 分式方程
第3课时 分式方程的应用
知识点 分式方程的应用
1.（2024·宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已
知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是
乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做 个盒子，根据题意可列方
程( )
C
A. B.
C. D.
2.一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行 与逆
流航行 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为
，则符合题意的方程是( )
A
A. B.
C. D.
3.《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图所示的是它的局部画面，
装裱前是一个长为，宽为 的矩形，装裱后，整幅图画宽
与长的比是 ，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？
设边框的宽度为 ，下列符合题意的方程是( )
D
A. B.
C. D.
4.（2024·聊城）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，
改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前
生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( )
B
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
5.绿水青山就是金山银山.某地为美化环境，计划种植树木6 000棵.由
于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了 ，结果提
前3天完成任务，则实际每天植树_____棵.
6.某车间加工1 200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样
加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每小时分别加工多
少个零件？
解：设采用新工艺前每小时加工 个零件，则采用新工艺后每小时加
工个零件.根据题意，得，解得 .经检验，
是原分式方程的根，且符合题意. .答：采用新工艺
之前每小时加工40个零件，采用新工艺后每小时加工60个零件.
7. 真实任务情境 某商店用1 500元购进一批新
郑红枣，销售过程中发现供不应求，于是又用8 000元
再购进一批新郑红枣，第二批新郑红枣的数量是第一
解：设第一批新郑红枣的进货价为每箱 元，则第二批新郑红枣的进
货价为每箱元.由题意，得，解得 .经检
验， 是原方程的根，且符合题意.答：第一批新郑红枣的进货价
为每箱30元.
批新郑红枣数量的4倍，但第二批新郑红枣的进货价比第一批每箱贵10
元.问第一批新郑红枣的进货价为每箱多少元？
8.某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校 ，一
部分学生乘慢车先行 ，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到
达.已知快车的速度比慢车的速度每小时快 ，求慢车的速度.设慢
车的速度为 ，则可列方程为( )
A
A. B.
C. D.
9.为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图，， 分
别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（元）与行驶路程 （千米）的
关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用
的3倍少0.1元，则燃气汽车每千米所需的费用为____元.
0.2
10.下面是学习分式方程的应用时，老师在黑板上板书的问题和甲、乙
两名同学根据问题所列出的方程.
问题：为奖励科技创新大赛获奖学生，学校计划购买A，B两种型号的
智能机器人套件.已知A型号套件比B型号套件的单价少120元，且用
7 200元购买A型号套件的数量与用9 600元购买B型号套件的数量相等.
求A，B两种型号智能机器人套件的单价.
甲： .
乙： .
根据以上信息，解答下列问题.
（1）甲同学所列方程中的 表示_________________，乙同学所列方程
中的 表示______________________.
A型号套件的单价
购买型套件的数量
（2）请你从以上两个方程中，任选一个解方程并回答老师提出的问题.
解：选择甲同学所列的方程：，解得 .经检验，
是原方程的根，且符合题意. .
答：A种型号智能机器人套件的单价为360元，B种型号智能机器人套
件的单价为480元.选择乙同学所列的方程： ，解得
.经检验，是原方程的根，且符合题意. ，
.答：A种型号智能机器人套件的单价为360元，B种型号智
能机器人套件的单价为480元.
11.某景区用800元购进的甲款文创产品和用650元购进的乙款文创产品
数量相同，甲款产品每件的进价比乙款多15元.
（1）求甲、乙两款文创产品每件的进价.
解：设乙款文创产品每件的进价为 元，则甲款文创产品每件的进价
为元.根据题意，得，解得 .经检验，
是原方程的根，且符合题意. （元）.答：甲款
文创产品每件的进价为80元，乙款文创产品每件的进价为65元.
（2）已知甲款文创产品每件的售价为100元，乙款文创产品每件的售
价为80元，根据市场需求，景区计划使用不超过7 400元的总费用再次
购进两款产品共100件进行销售.景区这次应如何设计进货方案才能获
得最大利润？最大利润是多少？
解：设再次购进甲款文创产品件，则购进乙款文创产品 件.
根据题意，得，解得 .设获得的利
润为 元，则
， ，
随的增大而增大. 当 时，
（件）.答：再次购
进甲款文创产品60件、乙款文创产品40件才能获得最大利润，最大利
润为1 800元.(共19张PPT)
第五章 分式与分式方程
回顾与思考（五） 分式与分式方程
考点1 分式的有关概念及基本性质
1.式子,,,, 中，属于分式的有___个.
2
2.写出一个满足下列条件的分式：分式有意义时， ；分式的值
不可能为0.你写的分式是_ __________________.
（答案不唯一）
3.下列说法正确的是( )
D
A. 分式的值为零，则的值为
B. 根据分式的基本性质，
C. 分式中的， 都扩大3倍，分式的值不变
D. 分式 是最简分式
考点2 分式的运算
4.化简 结果正确的是( )
A
A. B. C. 2 D.
5.若化简的最终结果为整数，则“ ”代表的式子可
以是( )
D
A. B. C. D.
6.先化简，再求值：，其中 .
解：原式
解：原式
（1）甲同学解法的依据是____，乙同学解法的依据是____.（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法对加法的分配律；④
乘法交换律.
②
③
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
解：选择甲同学的解法.原式
.
当时，原式 .或选择乙同学的解法.原式
.当时，原式 .
考点3 分式方程的有关概念及解法
7.小明板书解方程的过程如下：方程两边都乘 ，
得，解这个方程，得 .所以原方程的根为
.同学们都认为小明的解法不对，他错误的原因是( )
C
A. 去分母时，常数项没有乘以公分母
B. 去括号移项时，没有变号
C. 求出整式方程的根没有检验
D. 解整式方程得到的根不正确
8.若关于的分式方程有增根，则 的值为( )
A
A. B. C. 2 D. 3
9.已知关于的分式方程的解为非负数，则 的取值范围
是( )
C
A. B.
C. 且 D. 且
10.解分式方程：
（1） .
解：方程两边都乘，得.解得 .检验：当
时， 原分式方程的根为 .
（2） .
解：方程可化为，方程两边都乘 ，
得，解得.检验：当 时，
是分式方程的增根. 原分式方程无解.
考点4 分式方程的应用
11. 数学文化 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题
目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时
间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，
已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间.设规定时间为 天，则可列
分式方程为_ ____________.
12.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.今年端午节来临之际，
某商场预测A粽子能够畅销.根据预测，每千克A粽子节前的进价比节
后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的
2倍.根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
解：设该商场节后每千克A粽子的进价是 元，则节前每千克A粽子的
进价是元.根据题意，得，解得 .经检验，
是所列方程的根，且符合题意.答：该商场节后每千克A粽子的
进价是10元.
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超
过4 600元，设节前购进A粽子 千克.
①求 的取值范围；
[答案] 该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且节前购进A粽
子千克， 节后购进A粽子 千克.根据题意，得
，解得.又 ，
的取值范围为 .
②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前
购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
[答案] 设购进的A粽子全部售出后可获得的总利润为 元，则
，随的增大而增大. 当时， 取得最大值，最大值为
.答：该商场节前购进300千克A粽子获得利
润最大，最大利润是3 000元.
13.定义运算“”：若，则 的值为
_______.
1或5(共23张PPT)
第五章 分式与分式方程
1 分式及其基本性质
第2课时 分式的基本性质及约分
知识点1 分式的基本性质
1.使得等式成立的 的取值范围为( )
D
A. B.
C. 或 D.
2.下列各式中，从左到右变形正确的是( )
C
A. B. C. D.
3.下列对分式 的变形，正确的是( )
A
A. B. C. D.
4.填空：
（1） .
[答案]
（2） .
（3） .
5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号：
（1） ______.
（2） ___.
（3） _____.
（4） _____.
知识点2 约分及最简分式
6.要将 化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，
这个公因式为( )
B
A. B. C. D.
7.计算： ( )
D
A. B. C. 5 D.
8.下列分式是最简分式的是( )
D
A. B. C. D.
9.将下列各式约分的结果填在横线上.
（1）（2025·湖南） ____.
（2） ______.
（3） ____.
10.化简下列各式：
（1） .
解： .
（2） .
解：解法一： .解法二（教材新增习题
解法）： .
（3） .
解： .
（4） .
解： .
易错点 对分式的基本性质理解不清而致错
11.使等式 成立的条件是_____________.
且
12.若分式中的， 的值同时扩大为原来的5倍，则分式的值( )
D
A. 是原来的5倍 B. 是原来的10倍
C. 是原来的 D. 不变
13.下列运算中，正确的是( )
C
A. B.
C. D.
14.将分式中的， 的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值
( )
B
A. 扩大为原来的1 000倍 B. 扩大为原来的100倍
C. 扩大为原来的10倍 D. 不变
15.若，则 的取值范围是_______.
16.已知，则 的值是___.
2
17.先化简，再求值：
（1），其中 .
解：原式.当时，原式 .
（2），其中， .
解：原式.当， 时，原式
.
18.（教材新增习题变式）阅读材料，回答问题.
材料1：为了研究分式与分母 的关系，小明制作了表格，并得到如下
数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 0.5 0.25 …
从表格数据观察，当时，随着的增大， 的值随之减小，并无限
接近0；当时，随着的增大， 的值也随之减小.
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分
子的次数时，我们把这个分式叫作真分式，当分母的次数不高于分子
的次数时，我们把这个分式叫作假分式.有时候，需要把一个假分式化
成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分
式.如： .
根据上述材料，解答下列问题：
（1）当时，随着的增大， 的值逐渐______（填“增大”或
“减小”）；当时，随着的增大， 的值逐渐______（填“增大”
或“减小”）.
增大
减小
（2）当时，求代数式 的取值范围.
解：. ，
. .
. .(共19张PPT)
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
第1课时 分式的乘除法
知识点1 分式的乘法
1.计算： _____.
2.计算 的结果为( )
A
A. B. C. D.
3.计算:
（1） .
解：原式 .
（2）（2025·攀枝花） .
解：原式 .
4.求代数式的值，其中 .
解：原式.当 时，原式
.
知识点2 分式的除法
5.计算 的结果为( )
B
A. B. C. 1 D.
6.化简 的结果是____.
7.计算：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
8.先化简，再求值：，其中 .
解：原式.当时，原式 .
9.在机械化作业中，大拖拉机天耕地，小拖拉机 天耕地
，那么大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
解： 小拖拉机天耕地，大拖拉机天耕地， 小拖拉
机的工作效率是，大拖拉机的工作效率是., 大拖拉机
的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.
知识点3 分式的乘方
10.计算：
（1） ____.
[答案] ; ;
（2） ____.
[答案] ; ;
知识点4 分式的乘除混合运算
11.（教材新增习题变式）化简 的结果是___.
12.计算：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
易错点 弄错运算顺序导致错误
13.计算： .
某同学给出了解答过程：
解： .
该同学的求解是否正确？如果有错误，请指出来，并写出正确的解答
过程.
解：该同学的求解不正确，错在分式乘除混合运算的顺序没有按从左
到右来.正确的解答过程： .
14.（2025·淄博）若分式有意义，则 的取值范围是( )
D
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且且
15.现有A，B两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为 ，则A
圆面积是B圆面积的_ __倍.
16.计算：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
17.（教材习题变式）有甲、乙两筐水果，甲筐水果重 千克，乙
筐水果重千克（其中 ），售完后，两筐水果都卖了50元.
（1）哪筐水果的单价更低？
解：由题意得，甲筐水果的单价为元，乙筐水果的单价为 元.
，且 ,
.答：乙筐水果的单价更低.
（2）高的单价是低的单价的多少倍？
解： .答：高的单价是低的单价
的 倍.(共19张PPT)
第五章 分式与分式方程
2 分式的运算
第2课时 同分母分式的加减法
知识点1 同分母分式的加减法
1.计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
2.化简 的结果是( )
B
A. 0 B. 1 C. D.
3.计算：
（1） ___.
（2）（2025·深圳） ______.
（3） _____.
1
4.计算：
（1）（2025·内江） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
（3）（教材习题变式） .
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
5.（2025·无锡）先化简，再求值：，其中 .
[答案] 原式.当 时，原式
.
知识点2 分母互为相反数的分式的加减法
6.计算 时，第一步变形正确的是( )
D
A. B.
C. D.
7.（2025·河南）化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
8.计算：
（1） .
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
易错点 分式加减时忽视分数线的括号作用而出错
9.计算： .
解：原式 .
10.若( ) ,则( )中的数是( )
B
A. B. C. D. 任意实数
11.化简 的结果为( )
B
A. B. C. D.
12.已知，则代数式 的值为___.
1
13.某工厂库存原材料吨，原计划每天用 吨.若实际每天比原计划节
省一半，则可以多用__天.
14.先化简，再求值：，其中, .
解：原式.当 ,
时，原式 .
15.已知 .
（1）化简 .
解： .
（2）若正方形的边长为，且它的面积为9，求 的值.
解：由正方形的面积为9，得，则 .
16.已知,，用“”或“-”连接， ，有三种不同的
形式：，， ，请你任选一种进行计算，并化简求
值，其中
解： .当
，即时，原式 .
.当 ,即
时，原式 .
.当 ,即
时，原式 .（注：写出一种即可）(共21张PPT)
第五章 分式与分式方程
3 分式方程
第2课时 分式方程的解法
知识点1 分式方程的解法
1.（2025·海南）分式方程 的解是( )
C
A. B. C. D.
2.（2025·湖南）将分式方程 去分母后得到的整式方程为
( )
A
A. B. C. D.
3.分式方程 的解为( )
C
A. B. C. D.
4.（2025·北京）方程 的解为______.
5.若关于的分式方程的解为，则常数 的值为____.
10
6.解方程：
（1） .
解：方程两边都乘，得，解得 .检验：当
时， 原分式方程的根为 .
（2） .
解：方程两边都乘，得,解得 .检验：当
时， 原分式方程的根为 .
（3） .
解：方程两边都乘，得 ，解得
.检验：当时， 原分式方程的根为
.
知识点2 分式方程的增根
7.若关于的分式方程 有增根，则增根为( )
B
A. B. C. D.
8.关于的分式方程有增根，则 ___.
5
易错点 在解分式方程时忽略各步骤的注意事项而算错
9.（2025·广东）在解分式方程 时，小李的解法如下：#1
第一步： .
第二步： .
第三步： .
第四步： .
第五步：检验：当时， .
第六步： 原分式方程的解为 .
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解
答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程.#1.1.1
解：小李的解法中，第一步是去分母.去分母的依据是等式的基本性质.
小李的解答过程不正确.正确的解答过程如下：方程两边都乘 ，
得，解得.经检验， 是原方程的增根.
原分式方程无解.
10.对于非零实数，，规定：.若 ，则
的值为_ _.
11. 开放性问题 若关于的分式方程 的解为非正数，
则任意写出一个符合条件的 值：__________________.
（答案不唯一）
12.已知关于的分式方程无解，则 的值是( )
A
A. 或 B. 0或3 C. 或3 D. 或0
13.解方程：
（1） .
解：方程两边都乘，得 .解得
.检验：当时， 是原方程的增根，
原方程无解.
（2） .
解：原方程变形为，方程两边都乘 ,
得.解得.检验：当 时，
原方程的根为 .
14.如图，点，在数轴上（点在点 的左侧），它们所对应的数分
别是和，且点到原点的距离比点到原点的距离多1，求 的值.
解：根据题意，得.解得.经检验，
是原方程的根.的值为 .
15. 阅读理解 先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为， ；
方程的解为， ；
方程的解为， ；
……
（1）观察上述方程的解，猜想方程 的解是____________
______.
，
（2）根据上面的规律，猜想方程 的解是_______________.
，
知识拓展：
（3）根据上述规律，解方程： .
解：原方程可变形为.由上述规律，得 或
.解得， .

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