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(共18张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
5 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
知识点1 三角形角平分线的性质与判定
1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
C
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
2.如图，在中，， 的平分线相交于点
，下面结论中正确的是( )
B
A. B.
C. D.
第3题图
3.如图，点在 内，且到三边的距离相等.若
，则 ( )
A
A. B. C. D.
4.如图，在中，是的平分线，于点 .若
，，，则 的长是___.
第4题图
5.如图，已知是的垂直平分线，于点， 于点
.求证： .
证明：是的垂直平分线， ,
，， .
知识点2 三角形角平分线的应用
6.如图，某市有一块由三条马路围成
的三角形绿地，现准备在其中建一个
小亭供人们小憩，使小亭中心到三条
马路的距离相等，试确定小亭中心的
位置.
解：图略，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点，点 即为所求.
7.如图，在中， ， 的平
分线交于点，是 的垂直平分线，垂足为
.若，则 的长为( )
A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第8题图
8.（教材习题变式）如图，直线,, 表示三条相互
交叉的公路，现要建一个货物中转站，它到三条公路
的距离相等，则可修建的地址有( )
D
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
9.如图，在中，，的平分线交于点，连接 并延
长交于点，于点.若 ，，则
____.
10
第9题图
10.如图，已知在中， ，是的平分线，交
于点，过点作于点，点在上，且 .
（1）求证： .
证明： ，平分, ,
,
（2）若，，求线段 的长.
解：,, .设
,则,， ,
.由（1）得，, ,解得
.
11.如图,已知在中,点在边上, , 的平分
线交于点,过点作,垂足为,且 ,连接 .
（1）求证：平分 .
证明：过点作于点 ,
于点 ,
, . ,
. ,即
为的平分线.又, ,是 的
平分线， 点在的平分线上. 平分
（2）若,,,且,则 的面积为_ __.
与角平分线有关的面积问题
由角平分线的性质得到面积与边长的
关系
【结论1】 如图1，在中，
是它的角平分线，则
.
【结论2】 如图2，点在的角平分线 上的任意位置
（不与点重合），则 .
1.如图，的三边，， 的长分别为4，6，8，其三条角平
分线将分成三个三角形，则 _______.
第1题图
第2题图
2.如图，已知的周长是20，为与
的平分线的交点，且于点.若 ，则
的面积是____.
20
【方法指导】 （其中 为三角形三条角平分线的
交点到三边的距离）.(共21张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
2 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质定理
知识点1 等边对等角
1.在中，，若 ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
2.（2024·绥化）如图，， ，，则
_____.
3.（教材习题变式）如图，在中， ，
，延长至点，使，延长至点 ，使
，连接，.求 的度数.
解：，.又 ，
.同理可得 .
.
知识点2 等腰三角形中的“三线合一”
4.在等腰三角形的性质“三线合一”中，不属于“三线”的是( )
B
A. 底边上的高 B. 腰上的中线
C. 底边上的中线 D. 顶角的角平分线
5.（教材新增习题变式）如图，在中，，是
的平分线.若，，则 的长为___.
4
第5题图
6.（教材习题变式）如图，在中，，为 的中点，
连接.若 ，则 _____.
第6题图
知识点3 等边三角形的性质定理
第7题图
7.如图，是等边三角形，在边 上，
，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
8.如图，在等边三角形中，为的角平分线.若 ，
则的度数为_____， 的长为___.
4
第8题图
9.（教材习题变式）如图， 是等边三角形，
，在直线上，.求证： .
证明：是等边三角形， ，
,
，.在
和中， .
易错点 未分类讨论导致漏解
10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则其顶角的度数为
___________.
或
11.（2024·泰安）如图，直线 ，等边三角形
的两个顶点，分别落在直线， 上.若
，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
12. 真实任务情境 小华新买了一
根跳绳，如图1，他按照体育老师教的方
法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的
中央，手肘靠近身体，两肘弯曲 ，小
臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即
C
A. 2.2米 B. 2.4米 C. 2.6米 D. 2.8米
合适长度.将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，
小臂到地面的距离约1.2米，则适合小华的绳长为( )
13.如图，在中， ，，是 的角平分
线，是上的一点，且，连接，则 _____.
第13题图
14.如图，，，三点在同一条直线上，和 都是等边三
角形，与相交于点，与相交于点 .下列结论：
；； .其中正确的是______.
（填序号）
①②
第14题图
15.求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角
等于其顶角的一半.根据条件和结论，结合图形，用符号
语言补充“已知”和“求证”.
已知：在中，为锐角， ，
于点
证明：过点作于点 ，
， .
， . .
_________________.
求证：_ _______________.
16.（教材习题变式）如图1，为等边三角形，是线段 上任
意一点，是线段上任意一点，且，与相交于点 .
图1
图2
（1）求证： .
图1
图2
证明：为等边三角形， ， .在
和 中，
（2）求 的度数.
图1
图2
解：， .
（3）如图2，若，两点分别在线段， 的延长线上，其他条件
不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不
成立，请说明理由.
图1
图2
解：成立.理由如下：是等边三角形， ，
.在和 中，
.
图1
图2(共22张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第2课时 三角形内角和定理的推论
知识点1 认识三角形的外角
1.如图，在，，中，是 外角的
是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，，
知识点2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
2.（1）（2025·乐山）如图1， 的度数为______.
图1
（2）如图2， 的值为____.
60
图2
3.（教材习题变式）如图，，，是 的三个外
角.若 ，则 ______.
第3题图
第4题图
4.如图，已知直线，，两两相交，且 .若
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
5.如图，， ， ，则
的度数为( )
B
A. B. C. D.
6.将一副三角尺按照如图所示的方式摆放，且 ,
,三点共线， ，则 的度数为
( )
D
A. B. C. D.
7.如图，的边的延长线上有一点，
为边上一点，连接交于点 .若
， ， ，求
的度数.
解： ， ， .又
， .
知识点3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
8.如图，，， 的大小关系是( )
B
A. B.
C. D.
9.如图，已知为外角的平分线，
交的延长线于点.求证： .将下面的过
程补充完整.
证明：为外角 的平分线，
____（角平分线的定义）.
是_______的一个外角（外角的定义），
____（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内
角）.
____（等量代换）.
是________的一个外角（外角的定义），
____（三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角）.
____.
第10题图
10. 跨学科 如图，一束平行于主光
轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，
其折射光线与一束经过光心 的光线相交于
点，为焦点.若 ， ，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
11.如图所示，在中，是边上一点，, ，
，则 的度数为_____.
第11题图
12.（教材新增习题变式）已知：如图，在 中，
.求证： .
证明：方法一：由于，延长至点 ,使
，连接, 是 的一
个外角， ,
.方法二：在边上截取，连接 ，证明略.
13.如图，在中，点在
上， .
（1）如图1，作的平分线 ，
证明：平分，.又 ,
，即
分别交，于，两点.求证： .
（2）如图2，作 的外角
的平分线，交 的延长
线于点,的延长线交 的延长
解：（1）中的结论仍成立.理由：平分 ，
， .又
, ，即
.
线于点 .试探究（1）中的结论是否仍成立，为什么？
运用“燕尾形”“8字形”结论求角度
【以题明法】 常用的两个基本图形公式：
图1
图2
“燕尾形”结论（如图1）： .
推理过程：如图，连接并延长至点
_______，____,
_______ ____.
“8字形”结论（如图2）：
推理过程：____,____, ____
____.
1.如图，， ， ，则 _____.
第1题图
2.一个零件的形状如图所示，按规定应等于 .已知与 的度
数分别是 和 ，牛叔叔量得 .请你帮助牛叔叔判
断，该零件________.（填“合格”或“不合格”）
不合格
第2题图
3.如图，平分，交于点.若 ， ，
，则 的度数为_____.(共19张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
4 线段的垂直平分线
第2课时 与线段垂直平分线有关的尺规作图
知识点1 与线段垂直平分线有关的尺规作图
第1题图
1.如图，在中，分别以点和点 为圆心，大
于的长为半径画弧两弧相交于点， .作直线
，交于点，交于点，连接 .若
，，则 的长为( )
C
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
2.如图，在中，.分别以点和点为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点 .若
， 则 的度数为_____.
第2题图
3.如图，已知，利用尺规作出的边 上的高.
解：图略.
知识点2 三角形三边的垂直平分线
4.如图所示，线段，的垂直平分线相交于点 ，
则与 的关系是( )
B
A. B.
C. D.
5.在三角形内部，有一点到三角形三个顶点的距离相等，则点 一定
是( )
A
A. 三角形三条垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点
C. 三角形三条中线的交点 D. 三角形三条高的交点
6.如图，为 三边垂直平分线的交点.若
， ，求 的度数.
解：为 三边垂直平分线的交点，
，
， .
7.如图，若想建一个货物中转仓，使其到，， 三地的距离相等，
则如何选择中转仓的位置？请用尺规作图的方法设计出中转仓的位置
.（保留作图痕迹，不用说明理由）
解：图略.
易错点 忽视对三点的位置进行分类讨论致错
8.在同一平面内，到三点,, 距离相等的点( )
D
A. 只有一个 B. 有两个
C. 有三个或三个以上 D. 有一个或没有
9.如图，在等腰三角形中， ，分别以点 ，
为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点 ,
，连接，直线与相交于点，连接 ，则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
第10题图
10.（2025·成都）如图，在 中，
，，.以点为圆心，以
长为半径作弧；再以点为圆心，以 长为半径作弧，
两弧在上方交于点，连接，则 的长为_ ___.
11.如图，在中，，的垂直平分线，相交于点 .若
，则 ___.
第11题图
12. 开放性问题 如图，点在直线外，点到直线 的距离为4.
请利用尺规作图法，作等腰三角形，使点，在直线 上，且
（作一个满足条件的三角形即可，不写作法，保留作图痕迹）.
解：图略.
13.如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点， ，
边的垂直平分线分别交，于点， .
（1）若 ，求 的度数.
解：是边的垂直平分线，是边
的垂直平分线， ,
， ，
.
.
.
（2）已知 的周长是12.
① 的长为____.
②若 ，.求 的面
积.
[答案] ， .
由（1）得， ，
.
设，则 在 中，
，即，解得 ，
.
双垂直平分线模型
【总结归纳】 如图，在中， ，边 的垂直平分线
分别交，于点,，边的垂直平分线分别交,于点, ，
则 或 .
【例】 如图，在四边形中， ， .
（1）在,上分别找一点,，使 的周长最小.
解：图略，分别作点关于和的对称点，，连接 ，交
于点，交于点，则点， 即为所求.
（2）在（1）的条件下， ______.(共14张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第3课时 多边形的内角和
知识点1 多边形的内角和
1.（2024·云南）一个七边形的内角和为( )
B
A. B. C. D.
2.边形的内角和比 边形的内角和大( )
B
A. B. C. D.
3.已知一个多边形的内角和是 ，则这个多边形是____边形.
五
4. 真实任务情境 菠萝是夏季的一种时令水果，外披坚硬晶亮
的“铠甲”，铠甲由多个六边形组成，体现无坚不摧的几何之美.如图，
，则 ______.
5.（教材习题变式）若从多边形的一个顶点出发有5条对角线，则这个
多边形的内角和为_______.
知识点2 正多边形
6. 真实任务情境 （2024·临夏州）“香渡栏干屈曲，红妆映、
薄绮疏棂.”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的
每个内角为______.
7.（2025·扬州）若多边形的每个内角都是 ，则这个多边形的边
数为___.
9
8.（2025·眉山）如图，直线与正五边形 的
边，分别交于点，，则 的度数为
( )
C
A. B. C. D.
9.足球表面为什么由正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个
内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角.
由平面折叠而成的多面体充气后最终呈现为球形.如图，在折叠前的平
面展开图中，拼接点处的 的度数为_____.
第9题图
10.【整体思想】如图，点，，，，在同一平面内，连接 ，
，，，.若 ，则 ______.
第10题图
11.一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为 ，
则原多边形的边数是______.
6或7
12.如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形
叫作正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形.如
下图，就是一组正多边形.
（1）观察上面每个正多边形中的 ，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 …
的度数 _____ _____ _____ _____ … _ ______
（2）根据规律，计算正八边形中的 的度数.
解：正八边形中的 .
（3）是否存在正边形使得 ？若存在，请求出 的值；若不
存在，请说明理由.
解：不存在.理由如下：设存在正边形使得 ，则 ,
解得.是正整数，不符合题意. 不存在正 边形使
得 .(共20张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和及“ ”定理的证明
知识点1 三角形内角和定理
1.如图,在中, , ,则
的度数是( )
B
A. B. C. D.
第2题图
2.如图，在中， ， ，
，则 ( )
D
A. B. C. D.
3.如图，在中，已知平分， ，
，则 的度数为_____.
第3题图
4.一个三角形三个内角的度数之比为 ，则这个三角形一定是
______三角形.
钝角
第5题图
5.如图，在中，， ， 是
边上的高，则 的度数是_____.
6.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ，其中
， ，则 ______.
第6题图
7.利用下图证明“三角形内角和定理”，写出求证，并
把证明过程补充完整.
已知：如图，及边上的一点 .
求证：_____________________.
证明：过点作，交于点，作 ，
交于点 .
解：补全证明过程如下：, ,
, ,
， .
知识点2 全等三角形的判定定理“ ”及性质
8.如图，与相交于点， ，添加一个条
件后能使用“”判定 的是( )
C
A. B.
C. D.
9.（教材新增习题变式）如图，在四边形中， ，
，连接.求证： .
证明：，.在和 中，
.
10.【整体思想】如图，在中， ，点， 分别在
，上，则 ______.
第10题图
11.（教材习题变式）如图，巡逻艇在游轮北偏东 的方向上，巡
逻艇在游轮北偏东 的方向上，游轮位于游轮 的正东方向，
则 的度数为_____.
第11题图
12.若在中，，则称为“可爱三角形”，称 为
“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应
该是( )
C
A. 或 B. 或
C. 或 D. ， 或
13.如图，在和中， ，
，，，相交于点 .
（1）求证： .
证明：， ，
即.在和 中，
.
（2）若， ，求 的度数.
解：， . ，
.
.
14.（教材习题变式）如图,在中, ,
,于点,平分，求
的度数.
解：在中， .
, ,
. 平分
, . ,
.在中， .
.
.
【拓展提问】 若，则 _ ___.
（用含 的代数式表示）
【拓展变式】 垂线变到三角形外
如图，在中，平分，在 的延长线
上任取一点，过点作于点 .求证：
.
证明：过点作 于点
，
. ,
, .
.
平分，
，(共20张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
3 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
知识点1 用“ ”判定两个直角三角形全等
第1题图
1.如图,是内一点，于点， 于
点，，则能直接得到 的理由
是( )
A
A. B. C. D.
第2题图
2.如图， ，， ，
则 ( )
B
A. B. C. D.
第3题图
3.如图，在中， ，是 上一点，
连接，过点作，垂足为， .
若，则 的值为( )
C
A. B. C. D.
4.如图，于点，于点，.若要用“ ”判
定 ，则需要添加的条件为_________.
第4题图
5.如图，与相交于点，，， .求证：
.
证明：，， .在 和
中，
.
知识点2 判定定理“ ”的应用
6.如图，这是用两根拉线固定电线杆的示意图，其中，两根拉线的长
，，则___ .
3
7.如图，是路段的中点，小明和小红两人从 同时出发，以相同的
速度分别沿两条直线行走，并同时到达，两地.若于点 ，
于点，则，与路段 的距离相等吗？为什么？
解：是路段的中点， 小明和小红
两人从 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行
走，， ，
.在和 中，
，
即，与路段 的距离相等.
知识点3 用其他方法证明两个直角三角形全等
8.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A
A. 两个锐角分别对应相等
B. 两条直角边分别对应相等
C. 一条直角边和斜边分别对应相等
D. 一个锐角和斜边分别对应相等
9.如图，在和中， ，
，在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件：
________________________，可使和 全等.
（答案不唯一）
10.如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等
的三角形，其全等的依据是_____.
11.已知在中， ， ， ，
则下列图中的直角三角形与 全等的是( )
A
A. B. C. D.
12.如图，在中， ，，为 上一点，
连接.过点作于点，过点作，交 的延长线
于点.若，，则 的长为___.
3
第12题图
13.如图，在中， ，， ，线段
，，两点分别在和过点且垂直于的射线 上运动.
当_______时，和 全等.
5或10
第13题图
14.如图所示，已知， ，
与相交于点，连接， .
（1）请找出图中其他的全等三角形.
解：， .
（2）求证： .
证明：连接 ，
，.在和
中，
,即 .
15.（教材新增习题变式）求证：两边分别相等且其中一组等边的对角
相等的两个锐角三角形全等.
已知：如图，在锐角三角形 和锐
角三角形中， ，
， .
求证： .
证明：在锐角三角形 和锐角三角
形中，过点作于 ，
过点作 于
在和 中，
.在
.
和中，.在 和
中，
.(共23张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
3 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定定理
知识点1 直角三角形的性质
1.如图，已知，于点.若 ，则
的度数是( )
C
A. B. C. D.
2.设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为.已知 ，
，则 ____.
12
3.（2024·兰州改编）如图，在中， ，
，，则 _____.
第3题图
4.如图，已知的顶点，顶点， 分别在第一、四象限，
且轴.若，，则点 的坐标是______.
第4题图
5.如图，在中，是边上的高， 是一条
角平分线，，相交于点.已知 ，
求 的度数.
解：是边上的高， . ,
.是 的平分
线， .在 中，
.
知识点2 直角三角形的判定
6.在中,,,的对边长分别记为,, ,由下列条件不能判定
为直角三角形的是( )
D
A. B.
C. D.
7.在中，已知，， ，则
的面积是____ .
24
8.一个机器零件的示意图如图所示，
是判断这个零件合格的一项指标.现测得
，， ，
解：能.理由如下：在中，， ，
，.在 中，
，，， ，
.
， ，根据这些条件，能否得到 ？
请说明理由.
知识点3 逆命题、逆定理
9.下列说法中，正确的是( )
A
A. 每个命题都有逆命题 B. 假命题的逆命题一定是假命题
C. 每个定理都有逆定理 D. 真命题的逆命题一定是真命题
10.下列定理中，没有逆定理的是( )
C
A. 两直线平行，内错角相等 B. 全等三角形的对应边相等
C. 对顶角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余
11.下列命题的逆命题不是真命题的是( )
A
A. 全等三角形的对应角相等 B. 等角对等边
C. 如果,那么 D. 等边三角形的三个内角都相等
12.（2025·安徽）如图，在中， ， ，边
的中点为，边上的点满足.若，则 的长是
( )
B
A. B. 6 C. D. 3
第13题图
13.如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边
长都是1，点，， 都在小正方形的顶点上，则
的度数是( )
C
A. B. C. D.
14.如图，已知等腰三角形的底边,是腰 上一点,且
,,则 的长为__.
第14题图
15.如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点
处，是折痕.已知，，求 的长.
解： 四边形 为长方形，
，
是由折叠得到的， ，
.在 中，
， .设
，则.在 中，
，即，解得. .
16. 真实任务情境 重庆长江索道
素有“万里长江第一条空中走廊”的美誉.重
庆长江索道是一条连接渝中区和南岸区的
过江索道，它不仅是一座标志性景观，也
是游览长江和重庆城市风光的重要交通工
具.如图，一天一群游客从酒店处出发，到达长江索道的入口 处，想
乘坐长江索道去 处吃火锅.由于排队的乘客太多，这群游客便分成两
组，甲组选择乘坐索道从
（排队时间不计），乙组选择乘坐观光车
（排队等车时间不计），已知
点在点的南偏西 方向上，点 在点
的正西方向，点在点 的正西方向900
米处，点在点的南偏西 方向上，
且米.与交于点, 与直
线交于点 .（参考数据：
，， ）
（1）求 的长度（结果精确到1米）.
解：由题意，得， 米，在
中， ，则
. 米，
米.在 中，由勾股定理，得
（米）
， ，
.
米.
（米）
（米）.
答： 的长度约为1 120米.
（2）已知长江索道的速度是每分钟360米，
观光车的速度是每分钟500米，请通过计算
说明，哪组游客会先到达 处.
解：在中， 米，
米，由勾股定理，得
（米），则
（米）
（分），（分）， 乙组乘
客会先到达 处.(共19张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
4 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
1.如图，直线是线段的垂直平分线，为直线
上的一点.已知线段，则线段 的长为
( )
D
A. B. C. D.
第2题图
2.如图，在四边形中，垂直平分，垂足为 ，
下列结论不一定成立的是( )
D
A. B. 平分
C. D.
3.如图，在中， ，垂直平分，交于点 ，交
于点.若，，则 ____.
12
第3题图
4.如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点 ，连
接.若 ， ，则 的度数为_____.
第4题图
5.如图，在中，的垂直平分线分别交，于， 两点，
且，，则 的周长为____.
第5题图
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
6.如图，是内的一点.若 ，则( )
D
第6题图
A. 点在 的平分线上
B. 点在 的平分线上
C. 点在边 的垂直平分线上
D. 点在边 的垂直平分线上
第7题图
7.如图，， ，则( )
A
A. 垂直平分
B. 垂直平分
C. 与 互相垂直平分
D. 平分
8.如图，在中，已知点在边上，且 .求证：
点在 的垂直平分线上.
证明：，， 点在
的垂直平分线上.
易错点 考虑问题不全面导致漏解
9.在中，，边的垂直平分线与边 所在的直线相交
所得的锐角为 ，则 的度数为___________.
或
第10题图
10.如图， ，是线段 的垂直平分线，
垂足为，的平分线交于点，连接 ，
则 的度数是______.
11.（2025·广西）如图，点，在同侧， ，
，则 ________.
第11题图
12.如图，在中， ，，， 的垂直
平分线分别交，于点，，则 __.
13.如图，在中，是 的垂直平分线，
，为 的中点.
（1）求证： .
证明：连接，为的中点， 垂直平分
垂直平分，
（2）若 ，求 的度数.
解：， .
.， .
.
14.如图，在中，，过点作 的垂线，
过点作的垂线，两条垂线相交于点，作直线 .
（1）求证：垂直平分 .
证明：，， .
在和 中，
，
垂直平分
（2）若，，求 的长.
解：， .， ，
.设与相交于点，
垂直平分,.在 中，
, .
.
第15题图
15.【转化思想】如图，在中， ，
，垂直平分，为直线 上的任意一点，
则 的最小值是( )
A
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【变式】 如图，在等腰三角形中，， ，
腰的垂直平分线分别交边，于点，.若为边 的中
点，为线段上一动点，则 周长的最小值为____.
10
变式题图(共20张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
回顾与思考（一） 三角形的证明及其应用
考点1 三角形内角和定理
1.石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药
物传递等方面具有重要的应用前景.它的分子结构如图
所示，所有多边形都是正六边形.一个正六边形的内角
和为( )
C
A. B. C. D.
2.一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是___.
4
3.如图，在中，，分别是，上的点，连接 并延长交
的延长线于点.若 ， ， ，则
的度数为_____ .
133
第3题图
4.如图，在中， ， ，平分 ，
于点，，则 _____.
第4题图
考点2 等腰三角形和直角三角形
5.用反证法证明命题“在同一平面内，若，，则 ”时，
首先应假设( )
C
A. B. C. 与相交 D. 与 相交
6.如图，在中，，是边上的中线，
是的平分线， ，则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
7. 数学文化 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提
出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意一角.这个三等分角
仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点处相连，并可绕 转动，
将点固定，使，且点， 可在槽中滑动.若
，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
8.如图，把一个含 角的直角三角尺 放在一个直尺上，直角边
，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和.已知
是等边三角形， ，若，则 ( )
D
A. B. C. D.
9.命题“等边三角形的三个角都相等.”这个命题的逆命题是___________
_________________________.这个逆命题是____命题.（填“真”或“假”）
三个角都
相等的三角形是等边三角形
真
10.如图，在四边形中，， ， ，
,则 的度数为______.
第10题图
11.如图，为上一点，连接，平分交于点 ，且
，，，，则 的长为___.
2
第11题图
12.如图，在中， ，，是边 上的动点，
过点作交于点，将沿折叠，点 的对应点为点
，当是直角三角形时， 的长为______.
2或4
13.如图，， ， 过点
，于点，于点， .求证：
.
证明：连接，在和 中，
.在 和
中， .
14.如图，在中，，为 的
中点，，，垂足分别为 ，
，连接 .
（1）求证： 为等腰三角形.
证明： 在中，， ，
， .为的中点， ，
为等腰三角形.
（2）填空：
①当的度数为_____时， 为等边三角形.
②当的度数为_____时， 为直角三角形.
考点3 线段的垂直平分线和角平分线
第15题图
15.如图，是 三边垂直平分线的交点，连接
，，.若 ，则
的度数是( )
D
A. B. C. D.
16.如图， ，，.若 ，则
____.
12
第16题图
17.如图，在中， .
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出斜边 的
垂直平分线 （保留作图痕迹，不写作法）.
解：图略.
（2）设（1）中的分别交，于点，.若 ，
，求 的长.
解：连接 ， ， . 直线
垂直平分， .
. .
18.图1是第七届国际数学教育大会
会徽，在其主体图案中选择
两个相邻的直角三角形，恰好能组
合得到如图2所示的四边形 .若
B
A. B. C. 1 D. 2
， ，则点到 的距离为( )(共21张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
2 等腰三角形
第3课时 等边三角形的判定与含 角的直角三角形的
性质定理
知识点1 等边三角形的判定定理
1.下列三角形：①有两个角等于 的三角形；②有一个角等于
的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三条边都相等的三角形.
其中是等边三角形的有( )
D
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
2.如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路（， 为小路的两端点）
和一棵小树（为小树位置），测得 ， ，
，则____ .
50
第2题图
3.如图，以直角顶点 为圆心，适当长为半径画一条弧，分别交直角两
边于，两点.若再以点为圆心， 的长为半径画弧，与前弧交于
点，则 _____.
第3题图
4.（2025·资阳）如图，在四边形中，，点在线段
上，.若使 成为等边三角形，可增加的一个条件是
___________________________.
（答案不唯一）
5.如图，在中，为边上一点，过点 作
，，且， ，
.求证： 是等边三角形.
证明：， ，
又 ， 是等边三角形.
. 在和中，
.
知识点2 含 角的直角三角形的性质
第6题图
6.如图，在中， ，， ，
则 ___.
4
第7题图
7.如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地
面处折断，树尖 恰好碰到地面.经测量
，则这棵树折断前的高度为( )
B
A. B. C. D.
8.（教材习题变式）如图，已知在中， ，
于点， .求证： .
证明： 在中， ， , ，
.， , .
,即 .
9.如图，是边上的高，且， ，
则___； ___.
2
4
10.（2025·潍坊）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从 地到
地.甲：，路程为.乙：，路程为 .
丙：，路程为 .下列关系正确的是( )
D
A. B.
C. D.
11.（教材新增习题变式）如图所示的是一款航模机翼部分示意图.已知
， ， ， ，请计算
该机翼（四边形 ）的周长.（结果保留根号）
解：连接
，
， 是等边三角
形. ，
. ， . ，
，.
. 该机翼（四边形 ）的周长
为 .
12.如图，在等边三角形中，为边上任意一点，延长 至点
，使，连接交于点，于点 .
（1）求证： .
证明：过点作，交于点 .在等边三角
形中， ，
， ，
， 是等边三角形.
，. 在和 中，
（2）若，求线段的长（结果用含 的代数式表示）.
解：是等边三角形， ，
，
， .
构造含 角的直角三角形常见的辅助线作法
【模型归纳】作法1：作垂线，构造含 角的直角三角形.
作法2：补形，构造含 角的直角三角形.
第1题图
1.如图，在中，若， ，则
____.
16
2.如图，已知 ，点在边上，，点， 在
边上，.若，则_____ .
第2题图
3.如图，已知在四边形中，，， ，
， ，则 的长为___.
2(共12张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理
第4课时 多边形的外角和
知识点 多边形的外角和
1.正十边形的外角和的度数为( )
C
A. B. C. D.
第2题图
2. 真实任务情境 图1是我国古建
筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个
正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框
之中，图2是八角形空窗的示意图，它的
一个外角 ( )
A
A. B. C. D.
3.（2024·重庆）如果一个多边形的每一个外角都是 ，那么这个
多边形的边数为___.
9
4.如图，，，，是五边形的4个外角.若 ，
则 ______.
第4题图
5.（2025·凉山州改编）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，
则从这个多边形的一个顶点处可以引___条对角线.
7
6.已知一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的3倍多 ，求这
个正多边形的边数和内角和.
解：设这个正多边形的内角为 ，则外角为 .根据题意，
得 ，解得
, ,
这个正多边形的边数为9，内角和为 .
第7题图
7.（2024·赤峰）如图，这是正边形纸片的一部分.其中 ，
是正边形两条边的一部分.若， 所在的直线相交形成的
锐角为 ，则 的值是( )
B
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
8.如图所示，小华从点出发，沿直线前进15米后左转 ，再沿直线
前进15米后又向左转 照这样走下去，他第一次回到出发地点
时，一共走的路程是_______.
180米
第8题图
9.
（1）如图1、图2，试研究其中，与， 之间的数量关系.
解：，，， 是四边形的四个内角，
.
，
，
.
（2）请用文字描述上述关系式.
解：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.
（3）用你发现的结论解决下列问题：如图3，， 分别是四边形
的外角，的平分线， ，求 的度数.
解： ， .， 分别
是，的平分线， ，
.
.(共18张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
5 角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
知识点1 角平分线的性质定理
1.（2024·青海改编）如图，平分，点在 上，
，，则点到 的距离是___.
2
第1题图
2.（本课时变式）如图，已知平分，是 上一点，
于点，是射线上的一个动点.若，则 的最小
值为___.
5
第2题图
3.如图，在中， ，平分，于点 .若
，，则 的长为___.
4
第3题图
4.如图，在中，平分，.若， ，
则 ___.
1
第4题图
5.（2024·云南）已知是等腰三角形底边上的高.若点 到直
线的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B. 2 C. 3 D.
6.如图，是的平分线上一点，于点， 于点
，连接交于点 ，则下列结论不一定正确的是( )
D
A. B.
C. 垂直平分 D.
知识点2 角平分线的判定定理
第7题图
7.在 中,将两个完全一样的三角板按如图所示的
方式摆放，它们的一组对应直角边分别在, 上,且
这组对应边所对的顶点重合于点处,则点 一定在
( )
A
A. 的平分线上 B. 边 的高上
C. 边的垂直平分线上 D. 边 的中线上
8.如图，点在一块直角三角板上（其中 ），
于点，于点.若，则 _____.
第8题图
9.如图，是的中线，， ，
垂足分别为，，.求证：平分 .
证明：是 的中线，
， ，
.在和 中，
.
又,,平分 .
10.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，则作图正确的是( )
问题：如图，某旅游景区内有一块三角形绿地 ，现要在
道路边上建一个休息点，使它到边， 的距离相
等，在图中确定休息点 的位置.
C
甲的作图
乙的作图
丙的作图
丁的作图
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
11.如图，小明将两把完全相同的长方形直尺放置在 上，两把直
尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点， 在这
把直尺上的读数分别是2，5（单位：），则 的长度是______.
第11题图
12.如图，在中， ， ，平分交
于点，，垂足为.若，则 的长为________.
第12题图
13.如图，在中， ，，，为 上一
点.若是的平分线，则 ___.
5
14.如图，已知为射线上一点， ，
.求证：平分 .
证明：过点作于点，于点 .则
.在和中，.又，，平分 .
与角平分线有关的双垂线模型
已知是 平分线上的一点.
（1）如图1，若，则可作 ，构造轴对称的全等.
（如本课时第13题）
（2）如图2，若题干中角平分线上的点到角的两边的垂线段未知，
常过已知点作两条垂线段，如作， ，从而证
.（如本课时第14题）
15.如图，在中， ， 于点
，的平分线交于点，交于点 ，
连接.下列结论：；；
平分； .其中正确结论的
序号有__________.
①②③④(共19张PPT)
第一章 三角形的证明及其应用
2 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定定理与反证法
知识点1 等腰三角形的判定
1.在中，已知 ，则( )
B
A. B. C. D.
2.在中,已知,,分别是,, 的对边，则下列条件中,不能
判定 是等腰三角形的是( )
B
A. ,, B.
C. , D.
第3题图
3.如图，在中，，，分别是， 上
的点，，且，则___ .
4.如图，平分，交于点.若，则 __.
第4题图
5.如图，点，在上，， ，
，与交于点.求证： 为等腰
三角形.
证明：，,即.在 和
中， ，即
为等腰三角形.
6.如图，是等边三角形的中线，以点 为
圆心，的长为半径画弧，交 的延长线于点
，连接.求证： .
证明： 为等边三角形，
.是等边三角形 的中线，
. ， .
， . .
知识点2 反证法
7.先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定
理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证
明方法称为反证法.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个
正数中至少有一个数大于或等于 .先要假设这五个正数( )
B
A. 都大于 B. 都小于
C. 没有一个小于 D. 没有一个大于
8.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归
纳为以下三个步骤：
① ，这与三角形内角和为
相矛盾，所以 不成立.
②所以一个三角形中不能有两个直角.
③假设三角形的三个内角，， 中有两个直角，不妨设
.
则正确的顺序应为________.
③①②
易错点 因不明确等腰三角形的顶角和底角而出错
9.如图， ，平分，为射线 上一点.如果射线
上的点满足是等腰三角形，那么 的度数为________
___________.
， 或
第10题图
10.如图，上午9时，一条船从 处出发，以20海里/时的速
度向正北航行，11时到达处，从，处望灯塔 ，测得
， ，那么从处到灯塔 的距
离是____海里.
40
11.（2024·重庆）如图,在中, ,, 平分
，交于点 .
若，则 的长为___.
第11题图
12.如图，下列三个三角形中，均有 ，则经过三角形的一个顶
点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是( )
D
A. ①③ B. ①②③ C. ①② D. ②③
13.如图，在中，已知，为 延长线上
一点，且交于点 .
（1）求证： .
证明：， ，
.
，
. ，
（2）若，，为中点，求 的长.
解：过点作，垂足为 ，
，为 的中点，
， ，
.
.在中，，
， ，
角平分线、平行线、等腰三角形，知二推一
【模型展示】
,,（或 ）,上述三个条件可知二推一.
（如：本课时 ）
1.如图，在中，平分，交于点 .若
，，则 的长为____.
12
2.如图，，点在上，且.若 ，则
_____.
第2题图
第3题图
3.如图，在中，和 的平分线相交
于点，过点作交于点，交于点 .
若，，则 的周长是( )
C
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

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