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(共10张PPT)
第五章 图形的轴对称
问题解决策略：转化
1.， 两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河
边上修建一个自来水厂 ，分别向两个小镇供水.要使所用水管总长度
最短，则下列图形中，自来水厂 的位置正确的是( )
B
A. B.
C. D.
2.如图，和关于所在的直线对称.若 ，则
图中阴影部分面积为___.
6
3.如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点 ，使
最短.
（1）画出点 的位置.
解：如图，点 即为所求.
（2）下列依据中，在（1）中用到的有________.（填序号）
①两点之间线段最短：
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
④三角形两边之和大于第三边.
①②④
第4题图
4.如图，在中，，是边 的
中线，是边上的动点，是边 上的动点.若
的最小值为，则 的面积为( )
B
A. 96 B. 48 C. 38 D. 24
5.如图，正方形 的边长为2，则阴影部分的面积为___.
2
第5题图
6.如图，在正方形网格中，点，，，， 都
在格点上.
（1）以直线为对称轴，画出 的对称图
形 .
解：如图， 即为所求.
（2）在直线上找到一点，使得 的周长最小.
解：如图，点 即为所求.
7.（2024·绥化）如图，已知 ，为 内部一点，
，分别为射线、射线上的两个动点.当 的周长最小
时， _____.(共21张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第2课时 线段垂直平分线的性质及画法
知识点1 线段的轴对称性
1.下列说法中，不正确的是( )
C
A. 线段是轴对称图形
B. 将线段对折，使，两点重合，则折痕所在直线是线段 的
一条对称轴
C. 线段有无数条对称轴
D. 线段的垂直平分线是它的一条对称轴
知识点2 线段垂直平分线的性质
第2题图
2.（教材P130随堂练习T1变式）如图，直线 是线
段的垂直平分线，为直线 上的一点，已知线
段，则线段 的长为( )
C
A. 3 B. 4 C. 6 D. 7
3.（2024·镇江）如图，的边的垂直平分线交于点 ，连
接BD.若，，则 ___.
3
第3题图
4.如图，在中，是的垂直平分线.若， ，则
的周长是____.
13
第4题图
5.如图，在中，是的垂直平分线，且分别交， 于点
，， ，则 _____.
第5题图
6.如图，点在上，垂直平分，垂足为，垂直平分 ，
垂足为.试说明： .
解：垂直平分，垂直平分 ，
， .
.
知识点3 利用直尺和圆规作线段的垂直平分线
7.如图，已知线段，分别以点 和点___为圆心，大于_ ____的长为
半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，直线就是线段
的垂直平分线.
第7题图
8.如图，在中，.分别以点和点为圆心，大于 的
长为半径作弧，两弧交于点，作直线交 于点E.若
， 则 的度数为_____.
第8题图
9.（教材P130“操作·思考”变式）按要求利用直尺和圆规作图：
（1）如图1，已知线段，作线段 的中点.
解：如图，点 即为所求.
（2）如图2，已知直线，为直线上一点，作直线垂直于直线 .
解：如图，直线 即为所求.
10.如图，，，点在 的垂直平分线上.若
，，则 的长为___.
8
11.如图，在中，的垂直平分线交于点.若 的周长
为14，的周长为24，则 ___.
5
第11题图
12.如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点 ，
边的垂直平分线交于点，交于点.若 ，则
的度数为______.
第12题图
13.通过如下尺规作图，能使 的是( )
D
A. B. C. D.
14.如图，在中， .
（1）尺规作图：在上取一点，使 .
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，点 即为所求.
（2）若 ，求 的度数.
解： ，
.
.
15.（2024·南充）如图，在中，为边的中点，过点 作
交的延长线于点 .
（1）试说明： .
解：为 的中点，
.
，
， .
在和 中，
.
（2）若，试说明： .
解： 点为边的中点， ，
垂直平分线段 .
.
由（1）可知， ，
.
.
16.如图，已知中， ，为内一点，过点
的直线分别交，于点，.若点在的垂直平分线上，点
在的垂直平分线上，则 的度数为______.(共26张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质及画法
知识点1 角的轴对称性
1.下列说法中不正确的是( )
B
A. 角是轴对称图形
B. 角平分线是角的对称轴
C. 将对折，边与边重合，折痕所在的直线是 的对
称轴
D. 角可以看作是以它的平分线所在直线为对称轴的轴对称图形
知识点2 角平分线的性质
第2题图
2.如图所示，平分，于点 ，
于点，则与 的大小关系是( )
B
A. B.
C. D. 不能确定
第3题图
3.（2024·青海）如图，平分，点在
上，，，则点到 的距离是( )
C
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第4题图
4.如图，在中， ，平分 ，
交于点，，，则 的面积为
( )
C
A. 60 B. 30 C. 15 D. 10
5.如图，在中， ，平分交于点 ，
，垂足为.若，，则 的周长为____.
12
第5题图
6.如图所示，点在的平分线上，， ，垂足分
别为，，，的延长线分别交，的延长线于点， ，则
与 相等吗？请说明理由.
解：相等.理由如下：
点在的平分线上，， ，
， .
在和 中，
.
.
知识点3 利用直尺和圆规作角的平分线
7.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明
的依据是( )
A
A.
B.
C.
D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
8.如图，在直线上求作一点，使点到射线， 的距离相等.
（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图所示，点 即为所求.
9.如图，在中，点在边上，且 .
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线
（保留作图痕迹，不写作法）.
解：如图所示， 即为所求.
（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点，连接 .试说明：
.
解：平分 ，
.
在和 中，
.
.
第10题图
10.如图，平分，是射线 上一点，
于点，是射线 上的一个动点.若
，则 的长不可能是( )
D
A. 5 B. 6 C. 7 D. 4
第11题图
11.（2024·常州）如图，在纸上画有 ，
将两把相同的直尺按如图所示的方式摆放，
直尺边缘的交点在 的平分线上，则
( )
A
A. 与一定相等 B. 与 一定不相等
C. 与一定相等 D. 与 一定不相等
12.（2024·云南）已知是等腰三角形底边上的高，若点 到
直线的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B. 2 C. 3 D.
13.如图，在中， .以点 为圆心，任意长为半径画
弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边
于点D.若，的面积为，则线段 的长为___.
5
14.如图，在中，点为， 的平分线
的交点，，， ，垂足分别
为，， .
（1）与 是否相等？请说明理由.
解：相等.理由如下：
平分，， ，
.
平分，， ，
.
（2）若的周长是30，且，求 的面积.
解：连接.由（1），得 .
.
15. 综合与实践 【感知】
如图1，平分， ，易知： .
【探究】
（1）如图2，在四边形中，平分， ，
，试探究与 的数量关系.
解：过点作于点，交 的延长
线于点 .
平分，， ，
.
，
.
在和中，
.
.
【应用】
（2）如图3，在四边形中，平分 ，
， ，与 的上述关系还成
立吗？请说明理由.
解：成立.理由如下：
过点作于点，交 的延长线于点
.
平分，， ，
.
， ，
.
在和中，
.
.(共22张PPT)
第五章 图形的轴对称
回顾与思考（五） 图形的轴对称
考点1 轴对称图形
1.（2024·武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中
有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是( )
C
A. B. C. D.
考点2 轴对称图形（或两个成轴对称的图形）的性质
2.如图，若与关于直线对称，交于点 ，则
下列说法中不一定正确的是( )
B
A. B. C. D.
考点3 等腰三角形的性质
3.（2024·贵州）如图，在中，以点为圆心，线段 的长为
半径画弧，交于点，连接AD.若，则 的长为___.
5
第3题图
4. 情境素材 2024年4月25
日，长征二号 遥十八运载火箭搭
载神舟十八号载人飞船在酒泉发射
取得圆满成功，3名航天员顺利进
驻中国空间站.如图1所示的是中国空间站上机械臂的一种工作状态，
且两臂长相等.抽象为数学问题如图2所示，， 是两臂，且
.若两臂的夹角 ，连接，则 的度数为
_____.
5.等腰三角形的两边长，满足 ，则这个等腰
三角形的周长为____.
22
6.如图，在等边三角形中，点，分别在边， 上，且
，与交于点，则 的度数为_____.
第6题图
7.对于问题：如图1，已知，只用直尺和圆规判断 是否为
直角？小意同学的方法如图2：在，上分别取点，，以点 为
圆心，的长为半径画弧，交的反向延长线于点 ，若测量得
，则 .小意同学判断的依据是( )
B
A. 垂线段最短
B. 等腰三角形“三线合一”
C. 线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点的距离相等
D. 等腰三角形的两个底角相等
考点4 线段垂直平分线与角平分线
8.如图，平分，于点， 是射线
上一个动点.若，则 的最小值为( )
C
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
9.如图，在中，于点，垂直平分边，交 于点
，交于点，且，连接 .
（1）若 ，求 的度数.
解：， ，
是 的垂直平分线.
.
，
.
.
垂直平分边 ，
.
.
（2）若的周长为，，则的长为___ .
4
10.如图，某城市公园里有三个景点，，，，表示直路，而
表示弯路.想在区内修建一座公厕，使它到两条路和 的距离相等，
且到两个景点和的距离也相等，求点 的位置.
解：如图，点 即为所求.
考点5 根据轴对称的性质画图
11.如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，
在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的 .
解：如图， 即为所求.
（2） 的面积为___.
5
（3）以为边作与 全等的三角形（顶点在格点上，不包括
），可作出___个.
3
12. 情境素材 起源于中国的折纸艺
术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学
运算和空间几何原理.图1是一朵用长方形纸
条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：
第一步，将长方形纸条沿折叠，使点落在点 的位置上，
与交于点（如图2）；第二步，将纸条沿折叠，使点，
分别落在直线的右侧点， 的位置上（如图3）.若
，，则 _____.
13. 阅读理解 请阅读下列
材料，完成相应的任务.
古希腊数学家海伦在研究中发
现光在镜面反射中总是走最短路径.
如图1，直线代表平面镜，点代表一实物，点 代表眼睛，作实物
关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接 ，
则为入射光线，为反射光线，那么 最短.
（1）【数学理解】小智的思考过
程如下，请你在横线上填写理由、
依据等内容.
如图1，在平面镜 上任意找与点
三角形两边之和大于第三边
不重合的一点，连接，，.在 中，
（___________________________）.
实物与点关于平面镜 对称，
垂直平分 .
_____，
（____________________________
_____________________）.
，
，
.#1.2.6
线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
（2）【迁移】小宇提出，如图2，，是直线 两旁的两个定点，在
直线上是否存在一点，使 的值最大呢？请你参考小智的思
考过程，找出点 的位置（保留作图痕迹）.
解：作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点 ，
则点就是在直线上使 的值最大的点.(共19张PPT)
第五章 图形的轴对称
1 轴对称及其性质
知识点1 轴对称图形
1.（2024·滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺
旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其中不是轴对称图形的是
( )
B
A. B. C. D.
2.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为
( )
D
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
知识点2 两个图形成轴对称
3.如图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成轴对称的一组是___
（填序号）.
④
4.（教材124随堂练习 2变式）将一张长方形纸片对折，然后用笔尖
在上面扎出“B”，再把它铺平，你可能见到( )
C
A. B. C. D.
知识点3 轴对称图形（或两个成轴对称的图形）的性质
5.如图，与关于直线 对称，对应点所连
线段与直线 相交于点D.
（1）图中点的对应点是点___， 的对应角是____，
的对应线段是_____.
（2）_____，_______ .
（3）______是的垂直平分线.若，则___，
_____.
直线
3
第6题图
6.（教材126习题 变式）如图，把一张长方形的
纸按如图所示那样折叠，，两点分别落在点 ，
处.若 ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
第7题图
7.（2024·河北）如图，与相交于点，
和关于直线对称，点， 的对称点分别是点
， .下列结论中不一定正确的是( )
A
A. B.
C. D.
8.如图，和关于直线 对称，已知
， ，.求的度数和 的
长.
解：和关于直线对称， ，
， ，
， .
在中， ， ，
.
知识点4 画轴对称图形
9.（教材124随堂练习3变式）如图，以直线 为对称轴画出图形的
另一半，使它成为轴对称图形.
解：如图所示.
10.如图，在中，，垂足为，
与关于所在的直线对称，点的对称点
落在边上.若，平分，则
的度数为( )
A
A. B. C. D.
11.如图，在三角形纸片中，， ，
，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边 上的点
处，折痕为，则 的周长等于______.
第11题图
第12题图
12. 传统文化 （2024·甘肃）围棋起源于中国，
在古代被称为“弈”.如图所示的是两名同学的部分对弈
图，轮到白方落子，观察棋盘，若白方落子于点
_________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.
（填写，，，中的一处即可，，，， 位于
棋盘的格点上）
（或）
13.（教材126习题 变式）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面
上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机
号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是_________.
14.如图，在正方形网格上有一个 .
（1）画出关于直线 对称的图形
（不写画法）.
解：如图所示， 即为所求.
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则 的面积为_ __.
15.如图，若与关于直线 对称，请在下面两图中分别作
出直线 .
解：如图所示.
16.如图，将长方形纸片沿折叠，使点 与
点重合，点落在点处， 为折痕.
（1）试说明： .
解：由题意，知 ，
，
.
又 ， ，
.
（2）若，，求四边形
（阴影部分）的面积.
解：， .
又， .
.(共25张PPT)
第五章 图形的轴对称
2 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
知识点1 等腰三角形边、角的性质及对称性
1.若等腰三角形的底角为 ，则它的顶角为( )
D
A. B. C. D.
2.（教材 127例1变式）一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角
的度数为_____.
3.（2024·镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为___.
6
4.下列图形各有几条对称轴？请将
它们画出来.
解：如图所示，它们分别有1条、2
条对称轴.
5.如图，，且， ，求 的度数.
解： ，
，
即 .
，
.
，
.
.
，
.
.
知识点2 等腰三角形“三线合一”的性质
第6题图
6.如图，在中，，是 的角平分线，
则下列结论中不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
7.如图，在中，，于点D.若，则
___.
3
第7题图
8.（教材128随堂练习2变式）如图，在三角测平架中， .在
的中点 处挂一重锤，让它自然下垂.如果调整架身，使重锤线正好
经过点，那么就能确认 处于水平位置.这是因为________________
___________________________________.（填写依据）
等腰三角形底边
上的中线就是底边上的高（合理即可）
9.如图，在中，，是边上的中线， 于点
E.试说明： .
解：，是边 上的中线，
， .
，
.
， .
.
.
知识点3 等边三角形的性质
10.如图，直线，等边三角形的顶点 在直线
上， ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
易错点 顶角的不确定导致漏解
11.若等腰三角形的一个内角是 ，则它的顶角的度数是__________
_____.
或
第12题图
12.如图，在中，，于点 ，
且，则 的周长为( )
D
A. 10 B. 11 C. 12 D. 14
第13题图
13.如图，在等边三角形中，，垂足为 ，
点在线段上， ，则 ( )
A
A. B. C. D.
14.在中，， ，在直线上取一点 ，使
，连接，则 的度数为___________.
或
15.（2024·长沙）如图，点在线段 上，
，， .
（1）试说明： .
解：在和 中，
.
（2）若 ，求 的度数.
解：由（1）得， ，
， .
.
，
.
16.在中， .
（1）如图1，若 ，
是上的高， ，则
____ .
15
（2）如图2，若 ，是上的高， ，则
____ .
20
（3）思考：通过（1）（2）题，你发现与 之间有什么关
系？请用式子表示：_ ____________________________________.
（或）
（4）如图3，若不是上的高， ，上述关系是否仍成立？
请说明理由.
解：上述关系仍成立，理由如下：
，
.
，
.
.
.
，
.
.

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