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2025-2026学年广东省广州市暨南大学附属实验中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，下列关于抛物线的图象描述正确的是( )
A. 当时，y随着x的增大而增大
B. 当时，y随着x的增大而减小
C. 当时，y随着x的增大而增大
D. 当时，y随着x的增大而增大
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
5.二次函数的图象如图所示，则方程的解是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
6.已知点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
7.一份摄影作品长7分米，宽5分米，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同如图，矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x分米，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
9.如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是2，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是( )
A.
B. 1
C. 2
D. 不能确定
10.如图，二次函数图象与x轴交于，对称轴为直线，与y轴的交点B在和不包括这两个点之间，下列结论：①当时，；②；③当时，；④；其中正确的结论是( )
A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知方程的一个根是1，则m的值为 .
12.将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的新抛物线解析式为 .
13.某班同学毕业时都与全班其他同学握手一次，全班共握手1770次，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 .
14.如图，是由绕点B按逆时针方向旋转得到的，若，则的度数为 .
15.设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则 .
16.在平面直角坐标系xOy中，的位置如图所示，将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；再将绕点O顺时针旋转得；…依此类推，第2025次旋转得到，则顶点A的对应点的坐标是 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题4分
解方程：
18.本小题6分
如图三个顶点的坐标分别为，，
请画出绕点O逆时针旋转的
请画出关于原点O对称的图形，并写出点的坐标.
19.本小题6分
已知关于x的一元二次方程有实数根.
求k的取值范围；
设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值.
20.本小题8分
二次函数中的x，y满足如下表.
x … 0 1 2 3 …
y … 0 m 0 …
观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为______.
求该抛物线的解析式.
在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象，结合图象，请直接写出当时，自变量x的取值范围.
21.本小题8分
如图，四边形ABCD是正方形，旋转一定角度后得到，如图所示，如果，，求：
指出旋转中心______和顺时针旋转角度为______；
求DE的长度；
判断BE与DF的关系，并证明你的结论.
22.本小题8分
商店销售某种商品进价每千克20元，现在的售价为30元/千克，每天可卖100千克，现准备对价格进行调整，由实际销售经验可知，售价每涨1元销售量要少卖10千克；且物价局规定每千克的利润不低于12元且不高于18元.
若商店某天的利润为750元，求售价为多少元？
求该商店每天销售这种商品的最大利润.
23.本小题8分
素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形.在正常水位时测得桥拱处水面宽度OB为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米.
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米.四边形DEFG为矩形，现以点O为原点，以OB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线.
求此抛物线的解析式.
受天气影响，水位上升米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？
24.本小题12分
已知是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转得到AE，连接
如图1，猜想是什么三角形？______；直接写出结果
如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
当BD为何值时，，请说明理由．
25.本小题12分
已知抛物线与x轴交于点和点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：
求抛物线解析式．
直线与抛物线相交于两点，，当最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．
首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．
参考答案
一．选择题
1.A
2.C
3.D
4.D
5.C
6.B
7.D
8.B
9.B
10.A
二、填空题
11.4
12.
13.
14.
15.2015
16.
三、解答题
17.解：分解因式得：，
可得或，
解得：，
18.解：如图所示：即为所求；
如图所示：即为所求，
19.解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：且
当时，原方程为，
，，

20.解：二次函数过点，
，
由表中x、y的对应值可知，当与时y的值相等，
对称轴是直线，
故答案为：，直线；
抛物线经过点，，
设解析式为，
代入点得，，
解得，
二次函数的解析式为，即；
由题意，，
令，则或；令，则，
抛物线与x轴交点为，；与y轴交点为
如图所示，
由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或
21.解：四边形ABCD是正方形，
旋转一定角度后得到，
旋转中心为点A，顺时针旋转角度为
故答案为：点A；
四边形ABCD是正方形，
，
旋转一定角度后得到，
≌，
，
，
证明：延长BE交DF于点G，
旋转一定角度后得到，
≌，
，，
，
即，
22.解：设商品售价为x元，
根据题意得：，
整理得：，
解得，，
，
，
，
答：商品售价为35元时，商店某天的利润为750元；
该商店每天销售这种商品的利润为y元，
根据题意得：
，
，
时，y随x的增大而减小，
，
当时，y取得最大值，最大值为960，
答：该商店每天销售这种商品的最大利润为960元．
23.解：由题可知，，，抛物线的顶点为点，
可设抛物线的解析式为将，代入得：，
抛物线的解析式为；
此时该货船能安全过桥；理由如下：
由题意得：水位上升米，
相当于将抛物线向下平移个单位长度，
平移后抛物线的解析式为，
把代入，
，
此时该货船能安全过桥．
24.解：由旋转变换的性质可知，，，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
，
证明：由旋转的性质可知，，，
是等边三角形
，，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
；
为2或8时，，
当点D在线段BC上时，
，，
，
≌，
，又，
，
，
当点D在线段BC的延长线上时，
，，
，
≌，
，又，
，
，
为2或8时，；
25.解：由已知对称轴为，得，
，
抛物线与x轴交于点和，
即的解为和，
，
，
，
将代入得，
，
，
，，
抛物线的解析式为；
由，
，
，，
，
当时，的最小值为4，即的最小值为2，
，由可得，，即，，
当最小时，抛物线与直线的交点为，；
，，，，
O，B，P，C构成多边形的周长，
线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，
要使L最小，只需最短，
如图，平移线段OC到，四边形是矩形，
，
作点P关于x轴或对称点，
连接与x轴交于点，
设解析式为，
，解得，
，
当时，，
，
又，
故点B向左平移，平移到，
同时，点O向左平移，平移到
即线段OB向左平移时，周长L最短，
此时，线段BP，CO之和最短为，，，
当线段OB向左平移，即点O平移到，点B平移到时，周长L最短为

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