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2025-2026学年福建省厦门九中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知的半径为3，点P在内，则OP的长可能是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3.如图，将绕点C顺时针旋转至，点B的对应点是下列角中，是旋转角的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是( )
A.
B.
C.
D.
5.若一元二次方程的一个根为1，则a的值为( )
A. 1 B. C. 2 D.
6.某厂家2025年1到5月份的鞋子产量统计如图所示.设从1月份到3月份，该厂家鞋子产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程( )
A. B.
C. D.
7.以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P对应的读数为，则的度数是( )
A. 53 B. C. D.
8.如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( )
A. ≌ B.
C. D.
9.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是( )
A. 15
B. 12
C. 10
D. 8
10.已知抛物线经过点中的两点，且当时，x的取值范围是，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______.
12.二次函数的对称轴是直线 .
13.若关于x的一元二次方程有实数根，则c的取值范围______
14.如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线，，，则 .
15.对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数的相关性质，可求出 .
x
c c
d
16.如图，在中，，点D，E分别为AB，AC的中点，点F为BC边上任意一点不与B，C重合，沿DE，DF剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转，恰好与①拼成四边形GDIH，则四边形GDIH周长的最小值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解方程：
18.本小题8分
如图， ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N在BD上，且，求证：
19.本小题8分
先化简，再求值：，其中
20.本小题8分
如图，在中，，
求作：，使得圆心O落在AB边上，且经过A、C两点尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；
在的条件下，判断直线BC与的位置关系，并说明理由.
21.本小题8分
已知关于x的方程
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若方程的一个根为，求代数式的值.
22.本小题10分
如图，是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，且点D在边BC上，点C的对应点为点E，连接CE，若
求证：；
若，求AB的长.
23.本小题10分
综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，
研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系.
【研究条件】
①条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足排队人数=现场总人数-已入场人数；
②条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，
现场总人数y与安检时间x之间满足关系式
结合上述信息，请完成下述问题：
当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______.
【模型应用】
在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内包含10分钟减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
24.本小题12分
已知抛物线经过点
若抛物线还经过点，求出该抛物线的解析式；
当时，若点P在第一象限，且点P为抛物线对称轴上一点，记原点为O，连接OP，将线段OP绕点P顺时针旋转使点O的对应点M恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
点和分别在抛物线和上与原点都不重合当时，若是一个与无关的定值，求a的值.
25.本小题14分
如图，内接于，连接AO并延长交BC于点D，
如图1，设，连接OC，求用含的代数式表示；
如图2，过点B作，交AD的延长线于点E，交于点F，连接求证：；
如图3，在的条件下，作的平分线交AO于点G，若，，求的半径.
参考答案
一．选择题
1.B
2.D
3.B
4.D
5.A
6.C
7.C
8.D
9.C
10.D
二、填空题
11.
12.
13.
14.
15.4
16.
三、解答题
17.解：，，，
，
则
18.证明：法一：在 ABCD中，，，
，
，
，
≌，
法二：连接CM、AN，
在 ABCD中，，，
，
，
四边形AMCN是平行四边形，
19.解：原式
，
当时，
原式
20.解：如图，为所作；
直线BC与相切．
理由如下：
连接OC，如图，
，
而
，
，
为的半径，
为的切线．
21.证明：，，，
，
方程总有两个不相等的实数根；
把代入得：
，
，
，
，
22.证明：是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
解：过点D作于点H，则，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是在平面内绕点B顺时针旋转而成，点A的对应点为点D，
，，
，
，
，
23.解：若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为用x表示，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为；
故答案为：18x，；
，
当时，；
答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；
设开了m条通道，
，
对称轴为，
排队人数10分钟包括10分钟内减少，
又最多开通9条，
为正整数，
最小值为7，
最少开7条通道．
24.解：把，代入得：，
解得：，
该抛物线的解析式为；
过M作对称轴直线的垂线，垂足为K，设对称轴直线交x轴于T，如图：
抛物线经过点，，
，
解得，
，
抛物线的对称轴为直线，
设，
由旋转可知，，，
，
，
≌，
，，
，
恰好落在抛物线上，
，
解得或舍去，
点P的坐标为；
抛物线经过点，
，
，
，
和分别在抛物线和上，
，，
，
，
，B与原点都不重合，
，，
，
，
，
是一个与无关的定值，
是一个与无关的定值，
设，则k与无关，
，
，
，，
解得，
的值为
25.解：如图，，
，
，
，
，
，
，
；
证明：法一：如图，连接AF，
在中，弦BF，AE经过圆心O，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
；
法2：如图，连接AF，
，，
，
四边形BACF内接于，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在和中，
≌，
；
法3：如图，连接DF，
在中，弦BF，AE经过圆心O，
，，
，
，
在中，，
，
，
，，
四边形BACF内接于，
，
，
在中，，
，
，
；
设，则，
，
，即半径为，
平分，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，弦BF，AE经过圆心O，
，，
连接OF，
在中，，
，
，
，舍去，
半径为

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