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贵州省2026年初中学业水平考试
数学模拟卷(一)
(限时：120分钟　总分：150分)
班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确)
1.9的倒数是(　　)
A. 9 　B. －9　 　C. －　　 D.
2.鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，最经典的是六柱孔明锁(如图①)，其中一柱如图②所示，其主视图大致是(　　)
　　
图①　 　　　　　图②
第2题图
　　　
　　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　 C　　　　　　D
3.2025年6月17日是第31个世界防治荒漠化与干旱日，我国宣传主题为“科学治沙 兴业利民”.党的十八大以来，我国持续加大荒漠化综合防治力度，加快推进“三北”等重点生态工程建设，完成沙化土地治理任务365 000 000亩.365 000 000这个数用科学记数法表示正确的是(　　)
A.36.5×107　 　B. 3.65×107　 　C. 3.65×108　 　D. 0.365×108
4.如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是(　　)
第4题图　　　
A. 两点之间线段最短　 　B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短　　 D. 经过一点有无数条直线
5.下列调查中，适宜采用全面调查的是(　　)
A. 对全班同学作“你认同的低碳生活方式”的调查
B. 调查市场上销售的某种蔬菜农药残留是否超标
C. 调查某城市的空气质量
D. 调查全国中学生的视力和用眼卫生情况
6.计算＋的结果是(　　)
A. 　 　B. 　 　C. 2　 　D.
7.如图是一个自制的被12等分的正六边形飞镖靶，将飞镖随机投向正六边形中，恰好落在阴影部分的概率是(　　)
第7题图　　　
A. 　 　B. 　 　C. 　 　D.
8.如图，将菱形ABCD沿过顶点A，C的一条折线撕成①和②两部分，则下列说法正确的是(　　)
第8题图
A. ①比②的周长大　　 B. ①比②的周长小
C. ①和②的周长相等　　D. ①和②的周长之和等于原菱形ABCD的周长
9.中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题(注：荡杯即洗碗)，其大意是：一位农妇在河边洗碗，渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗.”请问：她家里究竟来了多少位客人？设来了x位客人，可列方程为(　　)
A. 2x＋3x＋4x=65　 　B. x＋x＋x=65
C. x＋x＋x=　 　D. 2x＋3x＋4x=
10.由化学知识可知，用pH值表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的H2SO4溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映H2SO4溶液的pH值与所加水的体积V之间对应关系的是(　　)
　　　 A　　　　　　　　 B　　　　　　　　C　　　　　　 　 D
11.如图是一组滑轮传动装置示意图，由主动皮带轮带动从动皮带轮实现转动.其中主动皮带轮半径与从动皮带轮半径之比R∶r=5∶3.当主动皮带轮旋转的角度为60°时，从动皮带轮旋转的角度为(　　)
第11题图
A. 36°　 　B. 72°　 　C. 100°　 　D. 200°
如图，正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y= 的图象交于点A，B，数学小组在探究时得到以下结论：①点A，B关于原点对称；②若点B(4，1)，则kx＞ 的解集是－4＜x＜0或x＞4；③k的值可以为－2；④当AB=4 时，k的值是1.以上结论正确的是(　　)
第12题图
A. ①②　　 B. ①②④　　 C. ①②③　 　D. ①②③④
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.分解因式：2a2－12a＋18=　　　　.
14.若关于x的方程x2－mx＋4=0有两个相等的实数根，则m的值为　　　　.
15.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，∠C=45°，以点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE并延长，交BC于点F，则BF的长为　　　　.
第15题图　　　　　　　
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E是AB上一点，且AE=1，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC于点G，则CG的长为　　　　.
三、解答题(本大题9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
(1)计算：－|－4|－＋30；
(2)已知三个一元一次不等式：①－1＜x；②x－(3x－1)≥－5；③＞2x－1.请从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，并求出这个不等式组的解集.
18. (本题满分10分)
我国北方冬季气温较低，会有天然河湖结冰的现象，近年来，冬季冰面破裂落水的事故常有发生，我们应避免去结冰的天然水域上活动，但如果不幸遇到冰面裂纹或破损，一定要冷静，并慢慢趴下，或者躺下，匍匐爬向岸边.这样做的原因可以用初中物理的压强知识作出解释，当压力不变时，对冰面的压强p(Pa)与和冰面接触面积S(m2)的对应值如下表：
和冰面接触面积S(m2) 1 1.5 2 2.5 3 4
对冰面的压强p(Pa) 600 400 300 240 200 150
(1)求p(Pa)与S(m2)之间满足的函数关系式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)结合函数图象，如果要求压强不超过120Pa，那么与冰面接触的面积至少要多大？
19. (本题满分10分)
【问题情境】某校兴趣小组在老师的指导下对一批花卉种子进行了人工培育，并针对这批种子的发芽率进行实践探究.
【实践发现】兴趣小组将不同数量种子的发芽数进行统计，并计算出发芽率(结果保留两位小数)，整理数据如下表所示：
种子数m 40 90 140 220 490 900 1 200 2 400
发芽数n 36 84 123 196 439 805 1 092 2 154
发芽率 0.90 0.93 0.88 0.89 0.90 0.89 0.91 0.90
【实践探究】分析数据如下：
平均数 众数 中位数
发芽率 0.90 a b
【问题解决】
(1)上述表格中：a=　　　　，b=　　　　；
(2)根据上述信息，试估计3 000颗这样的种子中发芽的会有多少颗？
(3)为使探究的结果更准确，该兴趣小组又购进了第二批种子.经实验发现，第二批种子的发芽率与第一批相差较远，为探究其原因是否与实验环境有关，该兴趣小组又另外购进1 000颗种子，将其分别放在不同实验环境下进行培育，下表是不同实验环境下种子的发芽情况：
实验环境一 无光照(其余条件与之前均相同) 实验环境二 多次浇水(其余条件与之前均相同)
种子数(颗) 发芽数(颗) 发芽率 种子数(颗) 发芽数(颗) 发芽率
500 410 0.82 500 425 0.85
请结合数据分析，第二批种子的发芽率与设想相差较大的原因(写出一条原因即可).
20. (本题满分10分)
为了展示学生的青春风采，增强同学们的自信心与荣誉感，某中学举办了以“我的青春理想”为主题的演讲活动.为了鼓励学生们积极参与活动，学校计划采购水杯和笔记本作为活动奖品.已知水杯的单价是笔记本的2倍，采购水杯共花费1 200元，采购笔记本共花费1 500元，所采购的笔记本数量比水杯数量的2倍多20个.
(1)求水杯和笔记本的单价；
(2)若学校计划用2 000元采购120个活动奖品，则最多能采购多少个水杯？
21. (本题满分10分)
如图，在矩形ABCD中，延长AB到点E，连接CE，BD，F是CE上一点，连接AF，交BC于点G.现有条件：①AB=BE，②∠E=∠DBA，③∠E＋∠DBE=180°.
(1)从以上三个条件中任选一个，证明四边形BDCE是平行四边形；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，AD=9，AF⊥CE，求CG的长.
第21题图
22. (本题满分10分)
任务：测量如图①的千年银杏树的高度AB.
工具：测角仪(测角仪的高度忽略不计)，皮尺.
测量过程：
a.测量小组的同学在树根B的正西方向选一点C，如图②，在点C处利用测角仪测得∠C=37°；
b.在点C的正东方向选一点D，测得CD=8米，在点D处利用测角仪测得∠ADB=45°.
(1)根据上面的测量数据，求出银杏树AB的高度(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)；
(2)如图③，已知在银杏树的正西方向有一个垂直于水平地面的指路牌EF，请你借助EF，利用测角仪、皮尺，通过测量长度、角度等几何量，并利用所学知识求出银杏树AB的高度，写出你的测量及求解过程.
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示.
　　　　
23. (本题满分12分)
如图，在△ABC中，∠A=90°，在斜边BC上取一点D，以CD为直径作⊙O分别交AB，AC于点E，F，E为⊙O的切点且为的中点，连接FO并延长交⊙O于点G，连接BG，且BG⊥FG.
(1)BG与⊙O的位置关系是　　　　，在不添加辅助线的情况下，写出图中一组相等的角：　　　　；
(2)判断△OCF的形状并说明理由；
(3)若⊙O的半径为3，求AB的长.
第23题图
24. (本题满分12分)
【问题情境】如图①是某校的拱形大门，其拱形部分可近似看作抛物线，图②是该拱门的示意图，已知拱门跨度AB为12米，拱门最高点O与地面AB的高度差为4米，为迎接校庆，需在拱门上方悬挂灯带，“综合与实践”小组的同学们展开探究.
【问题探究】如图②，以过点O与AB平行的直线CD为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，AC⊥x轴，BD⊥x轴.
(1)求拱形部分所在抛物线的函数表达式；
【问题解决】如图③，为迎接校庆，计划在拱门两端和顶部的上方设计3根竖直支柱AE，OF，BG，相邻两根支柱之间悬挂装饰灯带，已知AE=BG=6米，OF=2米，装饰灯带的形状呈抛物线型，且左右两条灯带关于y轴对称，灯带最低点到CD的竖直距离为1米.
(2)若要悬挂横幅，要求横幅的左、右端点分别固定在左、右两条灯带的最低点(横幅宽度不计)，求这条横幅的长度；
(3)为避免灯带因刮风出现大幅度晃动，决定用两根铁丝一左一右将两条灯带与拱门连接固定(灯带形状不变)，已知铁丝无弯曲且与地面垂直，则至少需要铁丝多少米？(铁丝接口部分长度忽略)
第24题图
25. (本题满分12分)
【综合与探究】
【问题情境】在数学实践课上，老师按如下方式进行操作：
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，P是对角线AC上一动点，连接PD，过点P作PQ⊥PD交AB于点Q，连接DQ.
【猜想证明】(1)连接PB，线段PD和PB的数量关系是　　　　；△DPQ的形状是　　　　；
操作二：如图②，将△ADQ沿DQ折叠，点A的对应点为G，连接PG.
(2)试判断PG与PC之间的数量关系及∠PQG与∠CDG之间的数量关系，并证明你的结论；
【深入探究】(3)在(2)的条件下，已知AD=6，当△PQG的一个角等于30°时，请求出线段PG的长.
　　　　
图①　　　　　　 图②　　　　　 备用图
第25题图
试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）贵州省2026年初中学业水平考试
数学模拟卷(一)
(限时：120分钟　总分：150分)
班级：　　　　　姓名：　　　　　得分：
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确)
1.9的倒数是(　　)
A. 9 　B. －9　 　C. －　　 D.
2.鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，最经典的是六柱孔明锁(如图①)，其中一柱如图②所示，其主视图大致是(　　)
　　
图①　 　　　　　图②
第2题图
　　　
　　　　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　 C　　　　　　D
3.2025年6月17日是第31个世界防治荒漠化与干旱日，我国宣传主题为“科学治沙 兴业利民”.党的十八大以来，我国持续加大荒漠化综合防治力度，加快推进“三北”等重点生态工程建设，完成沙化土地治理任务365 000 000亩.365 000 000这个数用科学记数法表示正确的是(　　)
A.36.5×107　 　B. 3.65×107　 　C. 3.65×108　 　D. 0.365×108
4.如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是(　　)
第4题图　　　
A. 两点之间线段最短　 　B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短　　 D. 经过一点有无数条直线
5.下列调查中，适宜采用全面调查的是(　　)
A. 对全班同学作“你认同的低碳生活方式”的调查
B. 调查市场上销售的某种蔬菜农药残留是否超标
C. 调查某城市的空气质量
D. 调查全国中学生的视力和用眼卫生情况
6.计算＋的结果是(　　)
A. 　 　B. 　 　C. 2　 　D.
7.如图是一个自制的被12等分的正六边形飞镖靶，将飞镖随机投向正六边形中，恰好落在阴影部分的概率是(　　)
第7题图　　　
A. 　 　B. 　 　C. 　 　D.
8.如图，将菱形ABCD沿过顶点A，C的一条折线撕成①和②两部分，则下列说法正确的是(　　)
第8题图
A. ①比②的周长大　　 B. ①比②的周长小
C. ①和②的周长相等　　D. ①和②的周长之和等于原菱形ABCD的周长
9.中国古代数学著作《九章算术》中有一道著名的“河上荡杯”题(注：荡杯即洗碗)，其大意是：一位农妇在河边洗碗，渡口的官员问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只肉碗，一共洗了65只碗.”请问：她家里究竟来了多少位客人？设来了x位客人，可列方程为(　　)
A. 2x＋3x＋4x=65　 　B. x＋x＋x=65
C. x＋x＋x=　 　D. 2x＋3x＋4x=
10.由化学知识可知，用pH值表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的H2SO4溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映H2SO4溶液的pH值与所加水的体积V之间对应关系的是(　　)
　　　 A　　　　　　　　 B　　　　　　　　C　　　　　　 　 D
11.如图是一组滑轮传动装置示意图，由主动皮带轮带动从动皮带轮实现转动.其中主动皮带轮半径与从动皮带轮半径之比R∶r=5∶3.当主动皮带轮旋转的角度为60°时，从动皮带轮旋转的角度为(　　)
第11题图
A. 36°　 　B. 72°　 　C. 100°　 　D. 200°
如图，正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y= 的图象交于点A，B，数学小组在探究时得到以下结论：①点A，B关于原点对称；②若点B(4，1)，则kx＞ 的解集是－4＜x＜0或x＞4；③k的值可以为－2；④当AB=4 时，k的值是1.以上结论正确的是(　　)
第12题图
A. ①②　　 B. ①②④　　 C. ①②③　 　D. ①②③④
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.分解因式：2a2－12a＋18=　　　　.
14.若关于x的方程x2－mx＋4=0有两个相等的实数根，则m的值为　　　　.
15.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，∠C=45°，以点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE并延长，交BC于点F，则BF的长为　　　　.
第15题图　　　　　　　
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E是AB上一点，且AE=1，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC于点G，则CG的长为　　　　.
三、解答题(本大题9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
(1)计算：－|－4|－＋30；
(2)已知三个一元一次不等式：①－1＜x；②x－(3x－1)≥－5；③＞2x－1.请从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，并求出这个不等式组的解集.
18. (本题满分10分)
我国北方冬季气温较低，会有天然河湖结冰的现象，近年来，冬季冰面破裂落水的事故常有发生，我们应避免去结冰的天然水域上活动，但如果不幸遇到冰面裂纹或破损，一定要冷静，并慢慢趴下，或者躺下，匍匐爬向岸边.这样做的原因可以用初中物理的压强知识作出解释，当压力不变时，对冰面的压强p(Pa)与和冰面接触面积S(m2)的对应值如下表：
和冰面接触面积S(m2) 1 1.5 2 2.5 3 4
对冰面的压强p(Pa) 600 400 300 240 200 150
(1)求p(Pa)与S(m2)之间满足的函数关系式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)结合函数图象，如果要求压强不超过120Pa，那么与冰面接触的面积至少要多大？
19. (本题满分10分)
【问题情境】某校兴趣小组在老师的指导下对一批花卉种子进行了人工培育，并针对这批种子的发芽率进行实践探究.
【实践发现】兴趣小组将不同数量种子的发芽数进行统计，并计算出发芽率(结果保留两位小数)，整理数据如下表所示：
种子数m 40 90 140 220 490 900 1 200 2 400
发芽数n 36 84 123 196 439 805 1 092 2 154
发芽率 0.90 0.93 0.88 0.89 0.90 0.89 0.91 0.90
【实践探究】分析数据如下：
平均数 众数 中位数
发芽率 0.90 a b
【问题解决】
(1)上述表格中：a=　　　　，b=　　　　；
(2)根据上述信息，试估计3 000颗这样的种子中发芽的会有多少颗？
(3)为使探究的结果更准确，该兴趣小组又购进了第二批种子.经实验发现，第二批种子的发芽率与第一批相差较远，为探究其原因是否与实验环境有关，该兴趣小组又另外购进1 000颗种子，将其分别放在不同实验环境下进行培育，下表是不同实验环境下种子的发芽情况：
实验环境一 无光照(其余条件与之前均相同) 实验环境二 多次浇水(其余条件与之前均相同)
种子数(颗) 发芽数(颗) 发芽率 种子数(颗) 发芽数(颗) 发芽率
500 410 0.82 500 425 0.85
请结合数据分析，第二批种子的发芽率与设想相差较大的原因(写出一条原因即可).
20. (本题满分10分)
为了展示学生的青春风采，增强同学们的自信心与荣誉感，某中学举办了以“我的青春理想”为主题的演讲活动.为了鼓励学生们积极参与活动，学校计划采购水杯和笔记本作为活动奖品.已知水杯的单价是笔记本的2倍，采购水杯共花费1 200元，采购笔记本共花费1 500元，所采购的笔记本数量比水杯数量的2倍多20个.
(1)求水杯和笔记本的单价；
(2)若学校计划用2 000元采购120个活动奖品，则最多能采购多少个水杯？
21. (本题满分10分)
如图，在矩形ABCD中，延长AB到点E，连接CE，BD，F是CE上一点，连接AF，交BC于点G.现有条件：①AB=BE，②∠E=∠DBA，③∠E＋∠DBE=180°.
(1)从以上三个条件中任选一个，证明四边形BDCE是平行四边形；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，AD=9，AF⊥CE，求CG的长.
第21题图
22. (本题满分10分)
任务：测量如图①的千年银杏树的高度AB.
工具：测角仪(测角仪的高度忽略不计)，皮尺.
测量过程：
a.测量小组的同学在树根B的正西方向选一点C，如图②，在点C处利用测角仪测得∠C=37°；
b.在点C的正东方向选一点D，测得CD=8米，在点D处利用测角仪测得∠ADB=45°.
(1)根据上面的测量数据，求出银杏树AB的高度(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)；
(2)如图③，已知在银杏树的正西方向有一个垂直于水平地面的指路牌EF，请你借助EF，利用测角仪、皮尺，通过测量长度、角度等几何量，并利用所学知识求出银杏树AB的高度，写出你的测量及求解过程.
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示.
　　　　
23. (本题满分12分)
如图，在△ABC中，∠A=90°，在斜边BC上取一点D，以CD为直径作⊙O分别交AB，AC于点E，F，E为⊙O的切点且为的中点，连接FO并延长交⊙O于点G，连接BG，且BG⊥FG.
(1)BG与⊙O的位置关系是　　　　，在不添加辅助线的情况下，写出图中一组相等的角：　　　　；
(2)判断△OCF的形状并说明理由；
(3)若⊙O的半径为3，求AB的长.
第23题图
24. (本题满分12分)
【问题情境】如图①是某校的拱形大门，其拱形部分可近似看作抛物线，图②是该拱门的示意图，已知拱门跨度AB为12米，拱门最高点O与地面AB的高度差为4米，为迎接校庆，需在拱门上方悬挂灯带，“综合与实践”小组的同学们展开探究.
【问题探究】如图②，以过点O与AB平行的直线CD为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，AC⊥x轴，BD⊥x轴.
(1)求拱形部分所在抛物线的函数表达式；
【问题解决】如图③，为迎接校庆，计划在拱门两端和顶部的上方设计3根竖直支柱AE，OF，BG，相邻两根支柱之间悬挂装饰灯带，已知AE=BG=6米，OF=2米，装饰灯带的形状呈抛物线型，且左右两条灯带关于y轴对称，灯带最低点到CD的竖直距离为1米.
(2)若要悬挂横幅，要求横幅的左、右端点分别固定在左、右两条灯带的最低点(横幅宽度不计)，求这条横幅的长度；
(3)为避免灯带因刮风出现大幅度晃动，决定用两根铁丝一左一右将两条灯带与拱门连接固定(灯带形状不变)，已知铁丝无弯曲且与地面垂直，则至少需要铁丝多少米？(铁丝接口部分长度忽略)
第24题图
25. (本题满分12分)
【综合与探究】
【问题情境】在数学实践课上，老师按如下方式进行操作：
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，P是对角线AC上一动点，连接PD，过点P作PQ⊥PD交AB于点Q，连接DQ.
【猜想证明】(1)连接PB，线段PD和PB的数量关系是　　　　；△DPQ的形状是　　　　；
操作二：如图②，将△ADQ沿DQ折叠，点A的对应点为G，连接PG.
(2)试判断PG与PC之间的数量关系及∠PQG与∠CDG之间的数量关系，并证明你的结论；
【深入探究】(3)在(2)的条件下，已知AD=6，当△PQG的一个角等于30°时，请求出线段PG的长.
　　　　
图①　　　　　　 图②　　　　　 备用图
第25题图贵州省2026年初中学业水平考试
数学模拟卷(一) 参考答案
1.D　2.A　3.C　4.B　5.A
6.A　【解析】原式=－===.
7.D　【解析】设正六边形的面积为a，则阴影部分面积为a=a，∴飞镖恰好落在阴影部分的概率是=.
8.C　【解析】∵菱形ABCD的四条边相等，∴AD＋CD=AB＋BC.又∵①和②两部分的折线相等，∴①和②的周长相等，且①和②的周长之和比原菱形ABCD的周长多了两条折线的长.
9.B
10.A　【解析】根据题意，将给定的H2SO4溶液加水稀释，那么开始时pH＜7，随着慢慢加水，溶液酸性越来越弱，pH值逐渐增大趋近于7，但不会大于7，故A选项符合题意.
11.C　【解析】设从动皮带轮旋转的角度为n°，根据题意，得=，∴n=60×.∵R∶r=5∶3，∴n=60×=100.
12.B　【解析】逐结论分析如下：
结论 逐结论分析 正误
① 正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y= 图象的交点A，B关于原点对称 √
② ∵B(4，1)，点B与点A关于原点中心对称，∴点A(－4，－1)，当kx＞ 时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时，－4＜x＜0或x＞4 √
③ ∵正比例函数y=kx(k≠0)与反比例函数y= 的图象交于点A，B，反比例函数图象在第一、三象限，∴正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，∴k＞0，故k的值不可能为－2
④ 如解图，过点B作BH⊥x轴于点H，∵AB=4 ，∴由对称性可得OB=OA=2 .设点B的横坐标为m，∵点B在y=kx的图象上，∴y=km，∴BH=km，∵OB 2=OH 2＋BH 2，∴(2)2=m2＋(km)2，∴(1＋k2)m2=8.∵点B在y= 的图象上，∴km= ，∴m2= .将m2= 代入(1＋k2)m2=8中，得 =8，∴k2－2k＋1=0，解得k=1 √
综上所述，正确的结论有①②④.
第12题解图
13.2(a－3)2　【解析】2a2－12a＋18=2(a2－6a＋9)=2(a－3)2.
14.4或－4　【解析】由题意，得Δ=m2－16=0，解得m=±4.
15.2　【解析】由尺规作图可知AF⊥BC，在Rt△ACF中，∠C=45°，AC=8，∴AF2=CF2=AC2=32，在Rt△ABF中，由勾股定理，可得BF===2.
16.　【解析】如解图①，过点F作FH⊥AB于点H，∴∠FHE=90°.∵AB=3，AE=1，∴BE=2.∵在矩形ABCD中，BC=AD=4，∠ABC=90°，∴CE==2.∵BF⊥CE，∴∠BFE=90°，∴cos∠BEC====，sin∠BEC===，∴EF=，EH=，HF=.∴AH=AE＋EH=.∵∠FHA=∠ABC=90°，∴FH∥BG，∴△AHF∽△ABG，∴=，即=，解得BG=，∴CG=BC－BG=.
图①　　　　　　　　图②　
第16题解图
(一题多解法)
如解图②，过点G作GM∥AB交CE于点M，∵AB=3，AE=1，∴BE=2.∵在矩形ABCD中，BC=AD=4，∠ABC=90°，∴CE==2.∵S△BCE=BE BC=CE BF，∴BF==，在Rt△BEF中，EF==，∴CF=CE－EF=.∵GM∥BE，∴△CGM∽△CBE，∴=，即==2，设CG=2x，则GM=x，CM=x，∵GM∥AB，∴△FMG∽△FEA，∴=，即=，解得x=，∴CG=.
17.解：(1)原式=－4－3＋1(3分)
=－6；(6分)
(2)选择：①，②；
令，
解不等式①，得x＞－2，(8分)
解不等式②，得x≤3，(10分)
∴该不等式组的解集为－2＜x≤3.(12分)
(答案不唯一)
18.解：(1)∵1×600=1.5×400=2×300=600，
∴p与S之间满足反比例函数关系，
∴p与S之间满足的函数关系式为p= S＞0)；(3分)
(2)描点，画出函数图象如解图；(6分)
第18题解图
(3)由图象可得，p随S的增大而减小，
当p=120时，S= =5m2，
答：当压强不超过120 Pa时，与冰面接触的面积至少要5m2.(10分)
19.解：(1)0.90，0.90； (4分)
【解法提示】∵在这批种子的发芽率中，0.90出现了3次，出现次数最多，∴众数为0.90，即a=0.90，将这批种子的发芽率按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在最中间的两个数分别是0.90和0.90，∴中位数为=0.90，即b=0.90.
(2)由分析数据可知，这批种子发芽率的平均数为0.90，
∴3 000×0.90=2 700(颗)，
答：估计3 000颗这样的种子中发芽的会有2 700颗；(7分)
(3)通过数据分析，在无光照的条件下，种子的发芽率与之前种子的发芽率相差较大，说明这批种子的发芽率受光照影响较大，
∴第二批种子发芽率与设想相差较大的原因可能是无光照.(10分)
或在多次浇水的条件下，种子的发芽率与之前种子的发芽率相差较大，说明这批种子的发芽率受水分影响较大，
∴第二批种子发芽率与设想相差较大的原因可能是水浇多了.(10分)
(答案不唯一，任选一条原因写出即可)
20.解：(1)设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为2x元，
根据题意，得2×＋20=，(3分)
解得x=15，
经检验，x=15是该分式方程的根且符合实际，
∴2x=30.
答：水杯的单价为30元，笔记本的单价为15元；(5分)
(2)设采购m个水杯，则采购(120－m)个笔记本，
根据题意，得30m＋15(120－m)≤2 000，(8分)
解得m≤.
∵m为所采购水杯的个数，需取整数，13＜＜14，
∴最多能采购13个水杯.(10分)
21.解：(1)选择条件①，
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，AB=CD.
∵AB=BE，
∴BE=CD，
∴四边形BDCE是平行四边形；(4分)
或选择条件②，
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD.
∵∠E=∠DBA.
∴CE∥BD，
∴四边形BDCE是平行四边形；(4分)
或选择条件③，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD.
∵∠E＋∠DBE=180°，
∴CE∥BD，
∴四边形BDCE是平行四边形；(4分)
(2)由(1)得四边形BDCE是平行四边形，
∴CE∥BD.
∵AF⊥CE，∴AF⊥BD，
∴∠BGA＋∠GBD=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DAB=90°，BC=AD，
∴∠ABD＋∠GBD=90°，
∴∠BGA=∠ABD.
∵∠ABG=∠DAB=90°，
∴△BAG∽△ADB，(8分)
∴=，即=，
∴BG=4，
∴CG=BC－BG=AD－BG=9－4=5.(10分)
22.解：(1)∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD，
设AB=x米，则BD=x米，
∴BC=BD＋CD=(x＋8)米.(2分)
∵∠C=37°，
∴在Rt△ABC中，tan C=≈，即≈，(4分)
解得x≈24，
经检验，x≈24是原方程的解，且符合题意，
∴银杏树AB的高度约为24 米；(5分)
(2)测量过程：
如解图，在银杏树底部点B处用测角仪测得∠EBF=α，用皮尺测得EF=a米，在点F正西方向取一点P，使得A，E，P三点共线，用皮尺测得PF=b米.(6分)
求解过程：
在Rt△EFB中，FB==，(7分)
∵AB⊥PB，EF⊥PB，
∴AB∥EF.
∵A，E，P三点共线，
∴△EPF∽△APB，
∴=，即=，(9分)
∴AB=(a＋)米，
∴银杏树AB的高度为(a＋)米.(答案不唯一，合理即可)(10分)
第22题解图
23.解：(1)相切，(2分)
∠OCF=∠OFC(答案不唯一)；(4分)
(2)△OCF是等边三角形，(5分)
理由：如解图，连接OE，
由题意知⊙O与AB相切于点E，
∴∠OEB=90°.
∵BG⊥FG，
∴∠OGB=90°.
在Rt△OEB和Rt△OGB中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OGB(HL)，
∴∠BOE=∠BOG.
∵E是的中点，
∴∠BOE=∠EOF，
∴∠BOG=∠BOE=∠EOF.
∵∠BOG＋∠BOE＋∠EOF=180°，
∴∠BOG=60°，
∴∠COF=∠BOG=60°.
∵OC=OF，
∴△OCF是等边三角形；(8分)
(3)如解图，过点F作FH⊥OE于点H，
∵⊙O的半径为3，
∴OE=OF=3.
∵∠BOE=∠EOF=60°，
∴在Rt△BOE中，BE=OE tan 60°=3，
在Rt△OFH中，FH=OF sin 60°=，
∵∠A=∠AEO=∠FHE=90°，
∴四边形AEHF是矩形，
∴AE=FH=，
∴AB=AE＋BE=.(12分)
第23题解图
(一题多解法)
(3)思路：由∠C=60°，可得∠ABC=30°，在Rt△OEB中，结合OE长可得OB长，即可得BC长，再在Rt△ABC中，结合三角函数可得AB长.
24.解：(1)由题可得，AB=12，点A，B关于y轴对称，AC=BD=4，
∴点B的坐标为(6，－4).
设拱形部分所在抛物线的函数表达式为y1=a1x2(a1≠0)，
将B(6，－4)代入y1=a1x2(a1≠0)，
得－4=36a1，解得a1=－，
∴拱形部分所在抛物线的函数表达式为y1=－x2(－6≤x≤6)；(4分)
(2)由题可知，AE=BG=6，OF=2，
∴F(0，2).
∵BD=4，
∴GD=BG－BD=2，
∴G(6，2)，
∴点G与点F关于右侧灯带所在抛物线的对称轴对称，
∴右侧灯带所在抛物线的对称轴为直线x==3.
∵灯带最低点到CD的竖直距离为1米，
∴右侧灯带所在抛物线的顶点坐标为(3，1).
∵左、右两条灯带所在抛物线关于y轴对称，
∴左侧灯带所在抛物线的顶点坐标为(－3，1).
∵3－(－3)=6(米)，
∴这条横幅的长度为6米；(8分)
(3)由(2)可知，右侧灯带所在抛物线的顶点坐标为(3，1)，F(0，2)，
设右侧灯带所在抛物线的函数表达式为y2=a2(x－3)2＋1(a2≠0)，
将F(0，2)代入y2=a2(x－3)2＋1，
得2=a2(0－3)2＋1，解得a2=，
∴右侧灯带所在抛物线的函数表达式为y2=x－3)2＋1(0≤x≤6)，
设右侧灯带和拱门之间的竖直距离为w米，
∵铁丝无弯曲且与地面垂直，
∴w=y2－y1=x－3)2＋1－(－ x2)=x－)2＋.
∵＞0，0≤x≤6，
∴当x=时，w有最小值，w最小=，
由对称的性质得，左侧灯带和拱门之间竖直距离的最小值也是米，
∵＋=3(米)，
∴至少需要铁丝3米.(12分)
25.解：(1)PD=PB，等腰直角三角形；(4分)
【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP，在△DAP和△BAP中，∴△DAP≌△BAP(SAS)，∴PD=PB，∠ADP=∠ABP.∵∠DAB=∠DPQ=90°，∴∠ADP＋∠AQP=180°.∵∠AQP＋∠PQB=180°，∴∠ADP=∠PQB，∴∠PQB=∠PBQ，∴PQ=PB，∴PQ=PD.∵PQ⊥PD，∴△DPQ是等腰直角三角形.
(2)PG=PC，∠PQG=∠CDG；
证明：由(1)知，△DPQ是等腰直角三角形，
∴∠PDQ=45°，
∴∠QDG＋∠GDP=45°，∠ADQ＋∠CDP=45°，
由折叠的性质可得，∠ADQ=∠GDQ，
∴∠GDP=∠CDP=∠CDG，
在△GDP和△CDP中，
∴△GDP≌△CDP(SAS)，
∴PG=PC，
由折叠的性质可得，∠DGQ=∠DAQ=90°，
∵PQ⊥PD，
∴∠DPQ=90°，
∴∠DGQ=∠DPQ，
如解图①，记DG与PQ交于点O，则∠QOG=∠DOP，
∴△QOG∽△DOP，
∴∠GQO=∠PDO.
∵∠GDP=∠CDP，
∴∠PQG=∠CDG；(8分)
第25题解图①
(3)易得∠PGQ≠30°，∴分两种情况讨论.
①当∠PQG=30°时，则∠GDP=∠CDP=30°，
如解图②，过点P作PH⊥DC于点H，
设PH=x，则HC=PH=x，DH=PH=x，
∵AD=DC=6，
∴x＋x=6，
解得x=3－3，即PH=3－3，
∴PG=PC=PH=6－6；
第25题解图②
②当∠QPG=30°时，
如解图③， 过点D作DH⊥AC于点H，
∵DP⊥PQ，
∴∠DPG=∠DPQ＋∠QPG=90°＋30°=120°.
∵△GDP≌△CDP，
∴∠DPC=∠DPG=120°，
∴∠DPA=60°.
∵∠ACD=45°，
∴∠GDP=∠CDP=∠DPA－∠ACD=15°.
∵∠QDG＋∠GDP=45°，
∴∠ADQ=∠GDQ=30°.
∵DH⊥AC，
∴DH=AH=HC=AD=6，∠PDH=30°，
∴PH=DH=2，
∴PG=PC=CH－PH=6－2，
第25题解图③
综上所述，PG的长为6－6或6－2.(12分)

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