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第十九章 二次根式单元检测卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．在下列各式中，是二次根式的有（ ）
A． B．0 C． D．
2．下列各数中，能使有意义的是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．算术平方根等于自身的数只有1
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形一边上的高和这边上的中线重合
D．是最简二次根式
11．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。
13．写出一个被开方数小于20的最简二次根式： ．
14． ．
15．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为 ，宽为 ．
16．若，则 ， ．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。
17．计算：
(1) (2)
已知，求的值．
19．如图，在中，，求的长．
20．已知，且；
(1)分别化简x和A；
(2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值．
21．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
22．[核心素养]小明在计算 的值时，发现“”处的数字印刷不清楚，请回答下列问题．
(1)小明猜“”处的数字是6，请你计算此时的结果；
(2)小明的妈妈说：“你猜错了，我看到题目的正确答案是．”请你通过计算说明原题中“”处的数字是什么．
我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积．
24．定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
25．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
(1)利用材料1解决下面的问题：
当时，求这个三角形的面积：
(2)利用材料2解决下面的问题：
已知三条边的长度分别是，记的周长为．
①当时，请直接写出中最长边的长度________；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页）
试题 第1页（共2页） 试题 第2页（共2页）中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 二次根式单元检测卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．在下列各式中，是二次根式的有（ ）
A． B．0 C． D．
2．下列各数中，能使有意义的是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．算术平方根等于自身的数只有1
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形一边上的高和这边上的中线重合
D．是最简二次根式
11．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。
13．写出一个被开方数小于20的最简二次根式： ．
14． ．
15．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为 ，宽为 ．
16．若，则 ， ．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。
17．计算：
(1) (2)
已知，求的值．
19．如图，在中，，求的长．
20．已知，且；
(1)分别化简x和A；
(2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值．
21．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
22．[核心素养]小明在计算 的值时，发现“”处的数字印刷不清楚，请回答下列问题．
(1)小明猜“”处的数字是6，请你计算此时的结果；
(2)小明的妈妈说：“你猜错了，我看到题目的正确答案是．”请你通过计算说明原题中“”处的数字是什么．
[数学文化]我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积．
24．[新定义问题]定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
25．[综合实践]问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
(1)利用材料1解决下面的问题：
当时，求这个三角形的面积：
(2)利用材料2解决下面的问题：
已知三条边的长度分别是，记的周长为．
①当时，请直接写出中最长边的长度________；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 二次根式单元检测卷（答案版）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D D B C C D C D B D A
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。
13．（答案不唯一）
14．．
15．；．
16．，．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。
17．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【详解】解：依题意，得
，
∴．
19．
【详解】解；∵在中，，
∴．
20．【详解】（1）解：，
则；
（2）解：将代入得：
．
21．【详解】（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
22．【详解】（1）解：
；
（2）解：设原题中“”处的数字是，
则
，
，
．
解得．
23．【详解】解：由题意知：，
则三角形的面积
．
24．【详解】（1）解：∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是有理数，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵a、n为正整数，
∴，，
解得，，
故答案为：10；
（3）解：是完整根式的完整平方根，
理由：∵，即，
∴是完整根式，
∴是完整根式的完整平方根．
25．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：①当时，
，，，
∴中最长边的长度为．
②∵，
∴，，
∴
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴
．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页中小学教育资源及组卷应用平台
第十九章 二次根式单元检测卷（全解全析）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．在下列各式中，是二次根式的有（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，
需根据“形如的式子是二次根式”这一概念判断各选项．
【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子，
∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式；
B选项是整数，不符合二次根式的形式；
C选项是无理数，不符合二次根式的形式；
D选项满足的形式，是二次根式．
故选：D．
2．下列各数中，能使有意义的是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
【答案】D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，据此列不等式求出x的取值范围，再判断选项中的数是否在该范围内即可．
【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，
∴对于，需满足，
解得，
∵选项中只有
∴能使有意义的数是5，
故选D．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的判定．需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简二次根式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可求解．
【详解】解：∵同类二次根式是指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式，
A、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式；
C、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式．
故选：D．
4．化简的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的化简，核心是运用二次根式的性质进行计算．
先计算，再化简二次根式即可．
【详解】解：．
故选：B．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式的加减运算．只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，根式部分保持不变．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意，
B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意，
C、，故该选项符合题意，
D、，故该选项不符合题意．
故选：C．
6．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号．
由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可．
【详解】解：由数轴可得
∴
，
故选：C．
7．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项．
【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意；
B：，故选项计算错误，不符合题意；
C：，故选项计算错误，不符合题意；
D：，故选项计算正确，符合题意；
故选：D．
8．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件．
先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出．
【详解】解：当输入时，
第一次计算：，不成立，将作为新的；
第二次计算：，成立，输出结果．
故选：C．
9．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可．
【详解】解：中间正方形纸片的面积为，
中间正方形的边长为，
最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为．
故选：D．
10．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．算术平方根等于自身的数只有1
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．三角形一边上的高和这边上的中线重合
D．是最简二次根式
【答案】B
【分析】本题考查判断命题真假，涉及算术平方根，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，最简二次根式，掌握知识点是解题的关键．
根据算术平方根的概念，全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，最简二次根式的概念逐一判断选项即可
【详解】解：A、算术平方根等于自身的数为1和0，故原命题为假命题；
B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原命题为真命题；
C、只有等腰三角形底边上的高和中线才重合，一般三角形不一定，故原命题为假命题；
D、不是最简二次根式，故原命题为假命题，
故选B．
11．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和
它们的边长分别为
，
空白部分的面积
．
故选：D．
12．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式与幂的运算性质，掌握平方差公式化简二次根式是解题的关键．
将指数拆分，利用平方差公式简化乘积，再结合幂的运算性质计算结果．
【详解】解：∵ ,
∴ 原式
．
故选：A．
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。
13．写出一个被开方数小于20的最简二次根式： ．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开尽方的因数或因式，且被开方数小于20，即可写出符合条件的二次根式．
【详解】∵被开方数2小于20，且2不含能开尽方的因数，
∴是最简二次根式．
故答案为：（答案不唯一）．
14． ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，核心知识点为二次根式的乘法法则：．先利用法则将两个二次根式合并为一个二次根式，计算根号内的乘积后，再化简二次根式得到最终结果．
【详解】解：；
故答案为：．
15．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为 ，宽为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的应用，判断出矩形的长，宽可得结论．
【详解】解：由题意矩形的长为，
宽为，
故答案为：；．
16．若，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，求出的值，再代入原式即可求出的值，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，
∴，
故答案为：，．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。
17．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．
（2）先计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了异分母分式减法运算，平方差公式，因式分解的应用，熟练掌握知识点是解题的关键.先计算，再将化为代入计算即可．
【详解】解：依题意，得
，
∴．
19．如图，在中，，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此列式求解即可．
【详解】解；∵在中，，
∴．
20．已知，且；
(1)分别化简x和A；
(2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键．
（1）利用完全平方公式化简，利用平方差公式化简A；
（2）将代入计算即可．
【详解】（1）解：，
则；
（2）解：将代入得：
．
21．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
【答案】(1) (2)元
【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式列式计算即可；
（2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可．
【详解】（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
22．[核心素养]小明在计算 的值时，发现“”处的数字印刷不清楚，请回答下列问题．
(1)小明猜“”处的数字是6，请你计算此时的结果；
(2)小明的妈妈说：“你猜错了，我看到题目的正确答案是．”请你通过计算说明原题中“”处的数字是什么．
【答案】(1)0 (2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先去括号，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）将原式进行整理，设“■”为，然后根据标准答案是列方程求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：设原题中“”处的数字是，
则
，
，
．
解得．
23．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积计算，二次根式的乘法；
根据题意先求出，再代入海伦公式计算即可．
【详解】解：由题意知：，
则三角形的面积
．
24．定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)是，理由见解析
【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解；
（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
（2）利用完全平方公式求解即可；
（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；
【详解】（1）解：∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是有理数，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵a、n为正整数，
∴，，
解得，，
故答案为：10；
（3）解：是完整根式的完整平方根，
理由：∵，即，
∴是完整根式，
∴是完整根式的完整平方根．
25．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
(1)利用材料1解决下面的问题：
当时，求这个三角形的面积：
(2)利用材料2解决下面的问题：
已知三条边的长度分别是，记的周长为．
①当时，请直接写出中最长边的长度________；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解；
（2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：①当时，
，，，
∴中最长边的长度为．
②∵，
∴，，
∴
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴
．
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试卷第1页，共1页

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