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第一章 整式的乘除单元检测卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线10天后达到了1600万．将1600用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值是（ ）
A．10 B． C．25 D．
6．若，则括号里应填的单项式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，那么（ ）
A．19 B．25 C．31 D．73
8．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
9．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．7 D．5
10．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
12．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）
A．15 B．10 C．9 D．6
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．计算： ．
14．已知，，则 ．
15．若，则的值为 ．
16．现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为 ．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分.
17．计算：
(1)；
(2)．
18．利用乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)．
19．求值：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
化简求值，其中．
已知，，且的值与无关，求的值．
22．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
(1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简；
(2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
(3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用．
23．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若，，试比较，的大小．
解：设，
那么，．
因为，所以．
看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题：
若，，试比较，的大小．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下：
设，则．
∴．
∴，
即．
(1)根据上述规定，填空：
① ， ；②若，则 ．
(2)计算： ，并说明理由．
(3)记．求证：．
25．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为．
【探究】
（1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________；
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若，求的值；
（3）若满足，求的值；
【拓展】
（4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和．
试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）第一章 整式的乘除单元检测卷（答案版）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B B B C A B B C D D A
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。
13．1.
14．．
15．．
16．．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。
17．【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．【详解】（1）解：将代入代数式中，
得；
（2）解：，
将代入代数式中，
得．
20．【详解】解：
．
当时，原式．
21．【详解】解：
∵的值与x无关，
∴，
∴．
22．【详解】（1）
（平方米），
答：安装健身器材的区域面积为平方米；
（2）当，时，
安装健身器材区域的地面面积（平方米），
篮球场地面积（平方米），
答：篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米；
（3）（元），
答：建设该居民健身场所所需的地面费用为元．
23．【详解】解：学会了，此时，的大小关系为，
设，
则，
，
，
；
，
，
，
，
．
24．【详解】（1）解：①∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：3，5，
②∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：设，则．
∴．
∴，即；
故答案为：．
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．【详解】（1）解：图2中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为，两个长方形的宽和长分别为，
大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为，
又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积-两个长方形的面积，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）的结论得：，
又，
；
（3）解：设，则，
，即，
；
（4）解：设，
于点米，
（平方米），（平方米），（平方米），（平方米），（米），
种花区域的面积和为102平方米，
，
，
由（1）的结论得：，
，
，
种草区域的面积和为：（平方米）．
种草区域的面积和为60平方米．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第一章 整式的乘除单元检测卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线10天后达到了1600万．将1600用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值是（ ）
A．10 B． C．25 D．
6．若，则括号里应填的单项式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，那么（ ）
A．19 B．25 C．31 D．73
8．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
9．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．7 D．5
10．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
12．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）
A．15 B．10 C．9 D．6
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．计算： ．
14．已知，，则 ．
15．若，则的值为 ．
16．现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为 ．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分.
17．计算：
(1)；
(2)．
18．利用乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)．
19．求值：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
化简求值，其中．
已知，，且的值与无关，求的值．
22．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
(1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简；
(2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
(3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用．
23．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若，，试比较，的大小．
解：设，
那么，．
因为，所以．
看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题：
若，，试比较，的大小．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下：
设，则．
∴．
∴，
即．
(1)根据上述规定，填空：
① ， ；②若，则 ．
(2)计算： ，并说明理由．
(3)记．求证：．
25．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为．
【探究】
（1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________；
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若，求的值；
（3）若满足，求的值；
【拓展】
（4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第一章 整式的乘除单元检测卷（全解全析）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方的运算法则计算求解，即可解题．
【详解】解：；
故选：B．
2．DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线10天后达到了1600万．将1600用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式．
科学记数法的形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
3．下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式为逐项判断即可．
【详解】解：选项A：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算；
选项B：，
两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算；
选项C：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算；
选项D：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算．
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查幂的运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方）与合并同类项法则，需根据相关法则逐一判断选项计算的正确性．
【详解】解：A、，故A错误．
B、，故B正确．
C、，故C错误．
D、，故D错误．
故选：B．
5．已知，则的值是（ ）
A．10 B． C．25 D．
【答案】C
【分析】本题考查同底数幂的乘法、有理数的乘方，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
6．若，则括号里应填的单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是单项式的乘法与除法运算．根据乘法的意义列式计算，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴若，则括号里应填的单项式是，
故选：A．
7．已知，，那么（ ）
A．19 B．25 C．31 D．73
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过整体代入法求解的值，无需单独求出、的具体值．
【详解】解：∵完全平方公式为．
∴移项可得．
∵，．
∴代入得．
故选：B
8．若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可．
【详解】解：，
∵将展开的结果中不含有的一次项，
∴，
故选：B．
9．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．7 D．5
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可．
【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为，
由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为，
所以，即，
，即，而，
，
，而，则,
．
故选：C．
10．小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：，
∴，
故选D．
11．如图1，将一个底边为，高为的平行四边形纸片，沿虚线剪开，把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图2的图形，这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是解决问题的关键．
根据图1和图2用代数式分别表示（1）（2）两部分的面积和，再根据拼图前后面积之间的关系可得结论．
【详解】解：图1是由（1）（2）两部分拼成的底为，高为的平行四边形，因此面积为，
图2中（1）（2）两部分的面积和可以看作两个正方形的面积差，即，
因此有，
故选：D．
12．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（ ）
A．15 B．10 C．9 D．6
【答案】A
【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数．
【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和．
的系数行：；
的系数行：；
对于含项的系数是从左向右第个数，即．
故选：A．
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查绝对值，零指数幂，先根据绝对值的性质化简绝对值项，再依据零指数幂的运算法则计算零指数幂项，最后利用有理数减法法则计算结果．
【详解】解：，
故答案为：1．
14．已知，，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．
利用指数运算法则，由，得，，再将表示为，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为．
15．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可．
【详解】解：∵，
，
故答案为：．
16．现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．根据正方形和的边长为和可得，，由完全平方公式变形即可得出答案．
【详解】解：正方形和的边长分别为和，
图甲阴影部分面积为：，图乙阴影部分面积为：，
．
故答案为：．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分.
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查幂运算和多项式除法：
（1）根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的运算法则计算即可；
（2）根据多项式除以单项式的运算方法即可求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．利用乘法公式计算下列各题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键：
（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．求值：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了代数式求值：
（1）直接代入即可；
（2）运用完全平方公式，再代入计算．
【详解】（1）解：将代入代数式中，
得；
（2）解：，
将代入代数式中，
得．
20．化简求值，其中．
【答案】化简结果为，求值为
【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，涉及平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式的运算法则，关键是准确运用公式展开，注意符号的处理，避免合并同类项时出错．先利用乘法公式和整式运算法则将原式展开，再合并同类项化简为最简整式，最后代入计算出结果；
【详解】解：
．
当时，原式．
21．已知，，且的值与无关，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，准确熟练进行计算是解题的关键．
把待入值计算，结合多项式的值与x的取值无关，即可求出答案．
【详解】解：
∵的值与x无关，
∴，
∴．
22．某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．
(1)用含的式子表示安装健身器材区域的地面面积，并化简；
(2)当，时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；
(3)在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需元，铺设水泥地面每平方米需元，求建设该居民健身场所所需的地面费用．
【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米
(2)篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米
(3)建设该居民健身场所所需的地面费用为元．
【分析】本题考查整式的应用，涉及列代数式、整式的乘法，正确列式并计算是关键．
（1）根据安装健身器材的区域面积场所总面积篮球场地面积列式即可；
（2）表示出篮球场地面积，再将，分别代入即可；
（3）列式计算即可．
【详解】（1）
（平方米），
答：安装健身器材的区域面积为平方米；
（2）当，时，
安装健身器材区域的地面面积（平方米），
篮球场地面积（平方米），
答：篮球场地面积为平方米，安装健身器材的区域面积为平方米；
（3）（元），
答：建设该居民健身场所所需的地面费用为元．
23．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若，，试比较，的大小．
解：设，
那么，．
因为，所以．
看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题：
若，，试比较，的大小．
【答案】；过程见解析
【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算，解题关键是正确理解题意，掌握题目所给将较大数值计算问题转化为整式混合运算的方法和步骤．
设，则，，根据整式混合 运算的法则，分别计算出，的值即可比较大小．
【详解】解：学会了，此时，的大小关系为，
设，
则，
，
，
；
，
，
，
，
．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下：
设，则．
∴．
∴，
即．
(1)根据上述规定，填空：
① ， ；②若，则 ．
(2)计算： ，并说明理由．
(3)记．求证：．
【答案】(1)① 3，5；②
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算．
（1）①按照题目给出的运算方法计算即可；②根据新定义列出方程求解即可；
（2）按照题目给出的运算方法计算即可；
（3）按照题目给出的运算方法计算即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴；
∵，
∴；
故答案为：3，5，
②∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：设，则．
∴．
∴，即；
故答案为：．
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为．
【探究】
（1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________；
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若，求的值；
（3）若满足，求的值；
【拓展】
（4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和．
【答案】
（1）；
（2）；
（3）3；
（4）种草区域的面积和为60平方米．
【分析】本题考查几何背景下的完全平方公式，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值．
（1）根据图2中阴影部分的面积即可求解；
（2）将已知条件整体代入（1）的结论，计算即可；
（3）设，则，由（1）可得，整体代入，计算即可；
（4）设，，则种花区域的面积，由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和．
【详解】（1）解：图2中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为，两个长方形的宽和长分别为，
大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为，
又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积-两个长方形的面积，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）的结论得：，
又，
；
（3）解：设，则，
，即，
；
（4）解：设，
于点米，
（平方米），（平方米），（平方米），（平方米），（米），
种花区域的面积和为102平方米，
，
，
由（1）的结论得：，
，
，
种草区域的面积和为：（平方米）．
种草区域的面积和为60平方米．
试卷第1页，共3页
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