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第一章 三角形的证明单元检测卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（ ）
A．24 B．12 C．16 D．20
5．如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（ ）度
A． B． C． D．
7．某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．三线合一 D．等边对等角
8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．25
9．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．如图，在中，，是边上的高，，两点分别在，上，连接，．若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
14．如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面与水平面的夹角，支撑杆垂直于地面，则的长是 米．
15．如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为 ．
16．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为 ．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分.
17．如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置．
18．如图，在中，于点是上一点，．
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
19．如图，是等边三角形，是边上的点，且，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
20．如图，在中，，是边上的中线，是上一点且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
21．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格）
(1)________；（直接写出结果）
(2)请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明；
(3)请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明）
22．如图1，在中，是高，若．

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：．
23．如图，在中，，点D为上一点，交的延长线于点E．
(1)请你利用尺规作图：过点A作的垂线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，
∴ ① ．
∵；
∴．
∴ ② （ ③ ）
在和中，
∴．
∴．
24．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合．
理由：， ___________． 即．
(1)任务一：补全小颖的说理过程；
(2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程．
25．综合实践
【问题情境】
（1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程：
在中，根据三角形内角和为，则．
由于，分别是，的平分线，
所以，．
所以（_______）．
因为，所以_______．
在中，根据三角形内角和为，有_______．
【问题探究】
（2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点．
求证：．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第一章 三角形的证明单元检测卷（全解全析）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，其中一个锐角为，
∴另一个锐角的度数为，
故选：．
2．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质推出，即可求出的长．
【详解】解：∵垂直平分
∴，
∴．
故选：C．
3．如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
、
故选：B．
4．如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（ ）
A．24 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【详解】解：过点作于点，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识．根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
6．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（ ）度
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质．由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：由作法得：，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A
7．某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．三线合一 D．等边对等角
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵是等腰三角形，
∴，
∵点O是的中点，
∴（三线合一），
∵垂直地面，
∴平行地面，即房梁是水平的，
故选：C．
8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．25
【答案】B
【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线，
，
∵，，
的周长为，
故选：B．
9．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
．
故选：C．
10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性．
先根据直角三角形锐角互余以及折叠的性质得到，然后根据平行得到，再根据求解即可．
【详解】解：∵长方形中，，，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∵，
∴
由折叠可得，，
∴，
故选：B，
11．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、大角对大边等知识点，熟练掌握以上知识点，找出图形中的全等三角形并证明是解题的关键．根据是的高，得到，结合是的角平分线，平分，得到，判断①正确；利用全等三角形判定推出，得到，再利用全等三角形判定推出，判断②正确；利用全等三角形的性质可得，，结合，等量代换可得，判断③正确；延长交于点，通过证明得到，得到，再说明得出，判断④错误，即可得出结论．
【详解】解： 是的高，
，
，
是的角平分线，平分，
，，
，
∴，故①正确；
是的高，，
，
又，
，
又，
，
又，，
，
，
又，，
，故②正确；
，，
，
，故③正确；
延长交于点，
在和中，，
，
，
，
，
，
，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：A．
12．如图，在中，，是边上的高，，两点分别在，上，连接，．若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，将最小值转化为的长是解题的关键．
连接，由等腰三角形的性质可知得，在中，由勾股定理得，当，，三点共线时，的最小值是的长，利用等面积法求出的长即可．
【详解】解：，，，
，
在中，，
当，，三点共线时，的最小值是的长，
如图，连接，
当时，最短，
，即的最小值是．
故选：B．
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
【答案】直角
【详解】解：在中，，
∵,
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角．
14．如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面与水平面的夹角，支撑杆垂直于地面，则的长是 米．
【答案】1
【详解】解：∵，太阳能板的斜面长度为2米，
∴米．
故答案为：1．
15．如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
，
∴．
16．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为 ．
【答案】3或
【详解】解：在中，
∵ ，，，
∴ ，．
∵ 点速度为每秒个单位，运动时间为秒，
∴ ．
分两种情况：
情况一：当时：，解得．
情况二： 当时，
∵ ，
∴ ，．
解得．
故答案为：或．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分.
17．如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，点P到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线，点P到两个车站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可．
【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点P即为所求．
18．如图，在中，于点是上一点，．
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和
(2)直角三角形有和；等腰三角形有
【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和；
（2）∵，
∴，
∴直角三角形有和，
∵，
∴是等腰三角形．
19．如图，是等边三角形，是边上的点，且，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
（1）根据“”证明即可；
（2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中
∴．
（2）解：是等边三角形，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴是等腰三角形，且，
∴是等边三角形．
20．如图，在中，，是边上的中线，是上一点且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可．
【详解】（1）证明：，是边上的中线，
，
又，
，
，
；
（2）解：，
，是边上的中线，
．
21．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格）
(1)________；（直接写出结果）
(2)请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明；
(3)请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明）
【答案】(1)4；
(2)见详解；
(3)见详解；
【分析】本题考查在网格中只用无刻度的直尺作角平分线，角平分线的性质；
（1）观察图形即可解答；
（2）过点B连接小正方形对角线即可解答；
（3）根据角平分线的性质即可解答．
【详解】（1）解：由图可知小正方形的边长均为1，占4个边长则；
（2）解：如图即为所求，
由图可知，且点在格点上，
∵正方形对角线平分两个对角，
∴连接小正方形的对角线，即为的平分线；
（3）解：如图，
过点作于点，且，再过点作于点，且，
∵，且,
∴是的平分线．
22．如图1，在中，是高，若．

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：．
【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)见解析
【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：
∵在中，是高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）证明：∵是的角平分线，
∴．
由（1）得，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
23．如图，在中，，点D为上一点，交的延长线于点E．
(1)请你利用尺规作图：过点A作的垂线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，
∴ ① ．
∵；
∴．
∴ ② （ ③ ）
在和中，
∴．
∴．
【答案】(1)见解析
(2)①；②；③同角的余角相等；④
【详解】（1）解：如图，即为所求作的垂线；
（2）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
在和中，
∴．
∴．
24．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合．
理由：， ___________． 即．
(1)任务一：补全小颖的说理过程；
(2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程．
【答案】(1)、
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合题意，得，证明，所以，即；
（2）理解题意，由得，，又因为，得，即可作答．
【详解】（1）解： ，
即．
（2）解：∵，
，，
∵，
．
25．综合实践
【问题情境】
（1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程：
在中，根据三角形内角和为，则．
由于，分别是，的平分线，
所以，．
所以（_______）．
因为，所以_______．
在中，根据三角形内角和为，有_______．
【问题探究】
（2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点．
求证：．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案）
【答案】（1），，
（2）见解析
（3）或或或
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．
(1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理找到角之间的关系求解；
(2)根据邻补角定义可知，根据角平分线定义可得，根据三角形内角和定理可证结论成立；
(3)根据角平分线定义可知，再根据一个内角等于另一个内角的倍，分情况求解．
【详解】（1）解：在中，根据三角形内角和为，则，
由于，分别是，的平分线，
，，
，
，
，
在中，根据三角形内角和为，有，
故答案为：；；；
（2）证明： ，，，
，
外角，的平分线交于点，
，，
，
；
（3）解：或或或，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
①当时， ，
；
②当时，，
；
；
③当时，
，
；
④当时，
，
，
；
综上所述，或或或．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第一章 三角形的证明单元检测卷（答案版）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C B B B A C B C B A B
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分。
13．直角.
14．1．
15．．
16．或．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分。
17．【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点P即为所求．
18．【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和；
（2）∵，
∴，
∴直角三角形有和，
∵，
∴是等腰三角形．
19．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中
∴．
（2）解：是等边三角形，理由如下：
由（1）得，
∴，，
∴是等腰三角形，且，
∴是等边三角形．
20．【详解】（1）证明：，是边上的中线，
，
又，
，
，
；
（2）解：，
，是边上的中线，
．
21．【详解】（1）解：由图可知小正方形的边长均为1，占4个边长则；
（2）解：如图即为所求，
由图可知，且点在格点上，
∵正方形对角线平分两个对角，
∴连接小正方形的对角线，即为的平分线；
（3）解：如图，
过点作于点，且，再过点作于点，且，
∵，且,
∴是的平分线．
22．【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：
∵在中，是高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）证明：∵是的角平分线，
∴．
由（1）得，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
23．【详解】（1）解：如图，即为所求作的垂线；
（2）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
在和中，
∴．
∴．
24．【详解】（1）解： ，
即．
（2）解：∵，
，，
∵，
．
25．【详解】（1）解：在中，根据三角形内角和为，则，
由于，分别是，的平分线，
，，
，
，
，
在中，根据三角形内角和为，有，
故答案为：；；；
（2）证明： ，，，
，
外角，的平分线交于点，
，，
，
；
（3）解：或或或，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
①当时， ，
；
②当时，，
；
；
③当时，
，
；
④当时，
，
，
；
综上所述，或或或．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第一章 三角形的证明单元检测卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
姓名： 班级： 学号：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，，点C在线段上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，的平分线交于．若，则的面积为（ ）
A．24 B．12 C．16 D．20
5．如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于点E，以点E为圆心，长为半径画弧交于点D，若，，则的度数为（ ）度
A． B． C． D．
7．某中学的同学设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边的中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房梁是水平的．他们得出结论的依据是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．三线合一 D．等边对等角
8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．20 B．15 C．10 D．25
9．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点，在同一直线上，已知，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．如图，在中，，是边上的高，，两点分别在，上，连接，．若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
14．如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面与水平面的夹角，支撑杆垂直于地面，则的长是 米．
15．如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为 ．
16．如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为 ．
三、解答题本题共9小题，共98分。其中：17题12分，18-21每题10分，22题10分，23-25题每题12分.
17．如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置．
18．如图，在中，于点是上一点，．
(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
(2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形．
19．如图，是等边三角形，是边上的点，且，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
20．如图，在中，，是边上的中线，是上一点且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
21．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格）
(1)________；（直接写出结果）
(2)请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明；
(3)请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明）
22．如图1，在中，是高，若．

(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：．
23．如图，在中，，点D为上一点，交的延长线于点E．
(1)请你利用尺规作图：过点A作的垂线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，
∴ ① ．
∵；
∴．
∴ ② （ ③ ）
在和中，
∴．
∴．
24．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合．
理由：， ___________． 即．
(1)任务一：补全小颖的说理过程；
(2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程．
25．综合实践
【问题情境】
（1）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，求的度数．请补全探究过程：
在中，根据三角形内角和为，则．
由于，分别是，的平分线，
所以，．
所以（_______）．
因为，所以_______．
在中，根据三角形内角和为，有_______．
【问题探究】
（2）如图2，在中，作外角，的平分线交于点．
求证：．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，与的平分线交于点，与的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，则_______．（直接写出答案）
试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页）
试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页）

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