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第一章《整式的乘除》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列算式中，结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
2．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼、蛋黄、牛肝等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康．成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．将数据0.0000046用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算的结果是（ ）
A．－ B． C． D．－
5．若是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A． B． C．或5 D．3或
6．若的计算结果中不含项，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．0
7．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
9．用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，当两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样时，（ ）
A． B． C． D．
10．已知关于x的两个多项式，．下列说法：
①；
②若不含项，则；
③若，其中N为整式，则．
其中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为 ．
13．若，则 ．
14．任意给一个非零数a，按下列程序进行计算，则输出结果是 ．
15．若，则的结果是 ．
16．若等式成立，则的值为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．计算：
(1)；(2)．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．定义，如．已知（为常数），．
(1)若，求的值；
(2)若中的满足，且，求的值．
20．幂的运算综合应用：
(1)已知 ，，求 和 的值；
(2)若 ，，求 的值；
(3)已知 ，，，试比较 a、b、c 的大小（提示：转化为指数相同的形式比较）．
21．定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”．
(1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由．
(2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值．
22．观察：．
嘉嘉发现规律：比任意一个奇数大4的数与此奇数的平方差能被4整除．
验证：
（1）的结果是4的_____倍．
（2）设奇数为，试说明比大4的数与的平方差能被4整除．
延伸：
（3）试猜想比任意一个整数大4的数与此整数的平方差能否被8整除？请说明理由．
23．我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小．
例如：求代数式的最小值．
小明是这样做的：原式．
，当时，的最小值为3．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由．
24．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）．
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
（2）已知，，则的值为_______．
（3）计算：．
【拓展】（4）计算：．
25．【知识生成】
（1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____．
【拓展探究】
图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．
（2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：
方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____；
【迁移运用】
（3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知，则_____；
②已知，求的值．
参考答案
一、选择题（
1．B
∵ A： ，故选项不符合；
B： ，故选项符合；
C： ，故选项不符合；
D： ，故选项不符合；
故选：B．
2．D
解：∵，
故选D．
3．B
解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算正确，符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
4．A
解： 原式
故选：A．
5．D
解：∵，
∴一次项为，
∴，
∴或，
故选：D．
6．B
解：∵原式为，
项来源于：
∴项系数为，
∵计算结果不含项，
∴，
∴．
故选：B．
7．C
解：，
∵，
∴，
故选：C．
8．B
解：原式
故选B．
9．A
解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，
图（3）中阴影部分的周长为，
图（4）中阴影部分的周长为，
∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样，
∴，
∵图（3）中，图（4）中，
∴，
得，
∴，
，
∴，
故选A．
10．D
解：∵，
展开，
比较系数得：，，，且，
∴，
则，，
∴，故说法①正确；
∵，，，
M中项系数来自：
A的项的常数项：，
A的项的x项：，
A的项的项：，
∴项系数为，
令其为0：，
∴，故说法②正确；
∵，，
由于，
又∵N为整式，
∴余数，即，故说法③正确，
综上，三个说法均正确，
故选：D．
二、填空题
11.
解：由负整数指数幂的定义，．
故答案为：．
12．
解：长方形的面积为，长为，
长方形的宽为．
故答案为：．
13．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．4
解：任意给一个非零数，按下列程序进行计算，
则输出结果是
．
故答案为：．
15．18
解：由题意，得，
即
解得
∴
故答案为：18．
16．或或
解：当指数时，解得，此时底数，符合；
当底数时，解得，此时指数，，符合；
当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合；
故x的值为或或．
故答案为：或或．
三、解答题
17．（1）解：原式．
（2）解：原式．
18．解：
；
当，时，
原式．
19．（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（1）解：∵，，
∴，
．
（2）∵，，
∴，
∴．
（3）∵，，，
，
∴，
即．
21．（1）解：是的“友好多项式”
理由如下：
，，
，
∴满足的项数比的项数多1，
是的“友好多项式”；
（2）
，
是的“特别友好多项式”，
且，
解得．
22．（1），
；
故答案是：．
（2）比奇数大4的数为，
．
为整数，
能被4整除．
（3）能．
理由：设这个数为，则比大4的数为，
，
能被8整除，
比任意一个整数大4的数与此整数的平方差能被8整除．
23．（1）解：，
，
当时，的最小值为；
（2）解：，
,
，
当时，最大值为；
（3）解：，理由如下，
，，
，
，
，
．
24．解：（1）；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3；
（3）
；
（4）
．
25．解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：．
故答案为：；
（2）方法1：阴影部分面积为阴影部分正方形的面积，表示为：，
方法2：用大正方形的面积减四个长方形的面积，表示为：，
所以可得到等式：；
故答案为：；
（3）①由（2）得，
∵，
∴，
故答案为：5；
②方法1：，
．
方法2：令，
则，
所以．

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