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2.3 平行线的性质
一、单选题
1．如图，直线，若，于点，则为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，已知，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
5.已知：如图，在四边形中，分别是上的点，连接，且．求证：．是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是（ ）
①，②．③，④．⑤．
A．①④③②⑤ B．③⑤①④② C．③④①②⑤ D．①⑤③④②
二、填空题
6．如图，直线，，则 ．
7．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ．
8．如图，直线，相交于点O，是内部的一条射线，E，G是上的点，且于点D，，交于点F．若，则的度数是 ．
9．如图，已知平分，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是 ．
10．如图，将一副三角板按照图示放置（有一条直角边重合），含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，当 时，两块三角板的斜边互相平行．
三、解答题
11．如下图，射线平分，点在射线上，且交于点，是射线上的一个动点．
(1)当平分时，若，求的度数；
(2)当时，试探究和之间的数量关系．
12．如图，点是上一点，，，，．
(1)___________；
(2)求证：直线；
(3)若，求的度数．
13．两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图①，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．
(1)若，，求的度数．
(2)如图②，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，求的度数．
14．综合与实践
问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间．
初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由；
深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________．
15．问题情境：如图1，，，，求度数．
小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求．
(1)按小彬的思路，求的度数；
(2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系．
16．已知，，点在上，点在上，点为一动点．
(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示）
参考答案
一、单选题
1．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故选：C．
2．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．B
解：由平面镜反射光线的规律和，可得，，
∴，
∵反射光线与平行，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
解：依题意，得，，
∵，
∴，
故A选项不符合题意；
过点作，如图所示：
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
故B选项不符合题意；
∵，，
∴
∴，
故C选项不符合题意；
∵，且，
∴，
∵，，
∴，
∴
故D选项符合题意；
故选：D．
5．B
解：，
，
，
，
，
，
∴证明步骤正确的顺序是③⑤①④②，
故选：B．
二、填空题
6．
解：如图：
∵直线，，
∴，
∴，
故答案为：．
7．
解：如图，过点作，
，
，
，，
．
故答案为：．
8．
解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
9．①②④
解：平分，
，
平分，
，
又，
，
，故①正确；
，
，
，故②正确；
若，
，
，
，
，
，故④正确；
从现有条件无法推导出③的结论．
故答案为：①②④．
10．或或
解：依题意，当其中一个三角板转回原位时，两个同时停止转动，
∴时间（秒），
依题意，
∵两块三角板的斜边互相平行，
∴第一种情况，连接，如图所示：
∵，
∴
则
∴，
则，
∵，
∴，
∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，
∴，
解得，
∴第二种情况，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
依题意，
∵
∴
解得
∴第三种情况，连接，如图所示：
∵，
同理得 ，
则，
∵，
∴，
∵含的三角板绕点以2度/秒的速度逆时针转动，含的三角板绕点以6度/秒的速度顺时针转动，设转动时间为秒，
则
∵
∴，
解得，
综上：当或或，两块三角板的斜边互相平行．
故答案为：或或
三、解答题
11．（1）解：∵平分，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：如图①，当点在线段上时，设，则，
∴．
∵，
∴，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图②，当点在射线上时，设，则，
∴．
∵，
∴，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
综上所述，和之间的数量关系为或．
12．（1）解：∵，，
∴，
故答案为：70；
（2）证明：∵，，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
13．（1）解：过点作，如图①，
则．
，
，
．
（2）解：过点作，如图②，则．
，
，
．
，，
，，
．
14．解：（），理由，
如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（）如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（1）解：，，
，
，，
，，
，，
；
（2）解：，理由如下：
如图1，过点E作，
，
，
，，
；
（3）解：如图2所示，当E在延长线上时，过点E作，
，
，
，，
；
如图3所示，当E在延长线上时，过点E作，
，
，
，，
；
综上所述，与α，β之间的数量关系为或．
16．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图，过点作，
∴．
由题意可知：，
故可设，则．
∴，，．
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，解得：，
∴，．
∵，
∴，
∴．
②如图，过点作．
由题意可设，则．
∵，平分，
∴，．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
由（1）可知，
∴，
∴，
即，解得：，
∴．
（3）过点作，过点作．
设，，
同理（2）可得：，，
∴，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，
∴，，
由（2）得，
∴.
∵的角平分线和的角平分线相交于点。
同理可得：
∴，
∴，
∴

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