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2025-2026学年辽宁省沈阳市虹桥中学教育集团九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯.如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　）
A. B. C. D.
3.东北四城市2025年1月份平均气温如表所示，其中气温最低的城市是（　　）
城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春
1月份平均气温 -7.3℃ -1.1℃ -10.52℃ -16.9℃
A. 沈阳 B. 大连 C. 哈尔滨 D. 长春
4.下列计算正确的是（　　）
A. m+3m=4m2 B. 2m 3m=5m2 C. （mn）2=mn2 D. （m2）3=m6
5.下列命题是真命题的是（　　）
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相平分
C. 对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直
6.下列说法中正确的是（　　）
A. 一个抽奖活动的中奖率是10%，则抽100次奖一定会中奖10次
B. 了解某批灯泡的使用寿命，采取普查方式
C. 一组数据1、2、3、4的中位数是2.5
D. 若甲组数据的方差是S甲2，乙组数据的方差是S乙2，若S甲2＞S乙2则甲组数据比乙组数据稳定
7.如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ADE为等边三角形，BD与CF交于点M，则∠DMC为（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
8.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与车各多少？设有x人，y辆车，则符合题意的方程组是（　　）
A. B. C. D.
9.如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　）
A. （9，4）
B. （4，9）
C. （1，）
D. （1，）
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=1.下列结论：①c＜0；②a-b+c＞0；③若点B（-n,y1），C（n+2，y2）都在该抛物线上，则y1=y2.其中正确结论的个数为（　　）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x3-4x2+4x= ．
12.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的的概率是______．
13.如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD.若，则∠D的度数为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC=30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 .
15.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD=a,AB=10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE.以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 （用含a的代数式表示）.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算
（1）计算：；
（2）解分式方程：.
17.(本小题10分)
某公司准备采购办公电脑，若采购1台A型电脑和2台B型电脑，需花费1.32万元；若采购3台A型电脑和1台B型电脑，需花费1.46万元.
（1）求A、B两种型号电脑每台的售价各是多少万元？
（2）若该公司采购A、B两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台A型电脑.
18.(本小题10分)
某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：
信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89.
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数.
19.(本小题10分)
如图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一直线上，AB=AC=AD；测得BC=1.71m,DE=2，∠B=55°.
（1）连接CD，求证：∠BCD=90°；
（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）.（精确到0.1m,参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
20.(本小题10分)
某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试.测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如表所示：
行驶时间x（h） 0 1 2 3 4 …
剩余电量y（kW h） 80 65 50 35 20 …
行驶路程S（km） 0 80 160 240 320 …
这辆新能源汽车电池的剩余电量y（kW h）与行驶时间x（h），行驶路程S（km）与行驶时间x（h）之间满足不同的一次函数关系.
（1）①直接写出S与x之间的函数关系式______；
②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的10%时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤.求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程.
21.(本小题10分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA=∠CAD.
（1）如图1，求证：CE是⊙O的切线；
（2）如图2，若∠CEA=2∠DAB，OA=8，求的长.
22.(本小题10分)
综合与实践.
【了解定义】
如图1，在△ABC和△DBC中，AB=AC，DB=DC，点A，D在底BC的同侧.我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形.在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线.图1中∠ABD和∠ACD是腰角，线段AD是轴线.
【探究性质】
小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边.
小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明.
（1）已知：如图1，△ABC和△DBC是同位等腰三角形，连接AD.求证：∠ABD=∠ACD，直线AD是线段BC的垂直平分线.
【辨析理解】
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，∠ACD=45°，AE⊥CD，垂足为E，AE的延长线与BC相交于点F，点G在线段EC上，且EG=EF，连接BG.求证：△ABC和△GBC是同位等腰三角形.
【拓展应用】
（3）如图3，△ABC和△DBC是同位等腰三角形，∠ACB=60°，点E在DB的延长线上，且∠DCE=∠ACB，AD的延长线与BC，EC分别交于点M，N，点F在EC上，BF∥AC.若CD=3，BE=4，求FN的长.
23.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b=0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m,1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点.
（I）当a=1，c=-1时，求该抛物线顶点P的坐标；
（Ⅱ）当时，求a的值；
（Ⅲ）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN=90°，DM=DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】x（x-2）2
12.【答案】
13.【答案】45°
14.【答案】2
15.【答案】a-10
16.【答案】；
无解．
17.【答案】每台A型电脑的售价是0.32万元，每台B型电脑的售价是0.5万元；
该公司至少要采购5台A型电脑．
18.【答案】解：（1）样本容量为：12÷40%=30，
30-1-12-10=7（人），
即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人；
（2）所抽取的学生成绩的中位数为=85；
（3）360×=120（人），
答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人．
19.【答案】证明∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC
∵∠B+∠ADC+∠BCD=180°
即2（∠B+∠ADC）=180°
∴∠B+∠ADC=90°
即∠BCD=90° 雕塑的高约为4.1米
20.【答案】①S=80x；
②y=-15x+80；
行驶的最远路程为384km．
21.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵∠CAO是△ACE的一个外角，
∴∠CAO=∠CEA+∠ACE，
即∠CAD+∠DAB=∠CEA+∠ACE，
∵∠CEA=∠CAD．
∴∠DAB=∠ACE，
∵，
∴∠ABC=∠DAB，
∴∠ABC=∠ACE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ABC+∠OCA=90°，
∴∠ACE+∠OCA=90°，
即∠OCE=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，
设∠DAB=x,
∵∠CEA=2∠DAB，
∴∠CEA=2x,
∵∠CEA=∠CAD，
∴∠CAD=2x,
∵，
∴∠ABC=∠DAB=x,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∴x+2x+x=90°，
∴x=22.5°，
即∠DAB=22.5°，
∴∠BOD=2∠DAB=45°，
∵OA=8，
∴的长为=2π．
22.【答案】见解析；
见解析；
．
23.【答案】解：（I）∵2a+b=0，a=1，
∴b=-2a=-2，
又∵c=-1，
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1，
∵y=x2-2x-1=（x-1）2-2，
∴该抛物线顶点P的坐标为（1，-2）．
（II）如图，过点M（m,1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，
则∠MHO=90°，HM=1，OH=m,
在Rt△MOH中，由，
∴，
解得（舍），
∴点M的坐标为，
∵2a+b=0，即，
∴抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为x=1．
∵对称轴与x轴相交于点D，
∴OD=1，∠ODP=90°．
在Rt△OPD中，由，
∴，
解得（负值舍去），
由a＞0，得该抛物线顶点P的坐标为，
∴该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
∴a=10．
（III）过点M（m,1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，
则∠MHO=90°，HM=1，OH=m,
∴DH=OH-OD=m-1，
在Rt△DMH中，DM2=DH2+HM2=（m-1）2+1，
如图，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN=90°，
∵∠MDN=90°，DM=DN，
又∵∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH，
在Rt△NDK和△DMH中，
，
∴△NDK≌△DMH（AAS），
∴点N的坐标为（2，1-m），
在Rt△DMN中，∠DMN=∠DNM=45°，
∴MN2=DM2+DN2=2DM2，即．
∵，
∴ME=NF，
在△DMN的外部，作∠DNG=45°，且NG=DM，连接GF，
得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°，
∴△GNF≌△DME（SAS），
∴GF=DE，
∴DE+MF=GF+MF≥GM，
当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即，
在Rt△GMN中，GM2=NG2+MN2=3DM2，
∴，
∴DM2=5，
∴（m-1）2+1=5，
解得m1=3，m2=-1（舍），
∴点M的坐标为（3，1），点N的坐标为（2，-2），
∵点M（3，1），N（2，-2）都在抛物线y=ax2-2ax+c上，
∴1=9a-6a+c,-2=4a-4a+c,
∴a=1．
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