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2025-2026学年北京师大附属实验中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中是中心对称图形的是（　　）
A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 正五边形
2.关于二次函数y=-2（x-4）2+6，下列说法正确的是（　　）
A. 最大值4 B. 最小值4 C. 最大值6 D. 最小值6
3.一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（　　）
A. 至少有1个球是黑球 B. 至少有1个球是白球 C. 至少有2个球是黑球 D. 至少有2个球是白球
4.把抛物线向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A. B. C. D.
5.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点E，若，∠ACB=45°，则AB=（　　）
A. 2
B.
C.
D. 4
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，=，∠A=50°，则∠B=（　　）
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
7.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）
A. 10m
B. 15m
C. 20m
D. 22.5m
8.如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=1，下面结论中正确的是（　　）
①该圆的半径为1；
②AC的长为；
③AC平分∠BAD；
④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为.
A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在平面直角坐标系中，点（-5，1）关于原点对称的点的坐标是 .
10.若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为______cm2．
11.如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m.若将该绿地的长、宽各增加xm,扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 .（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）

12.2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 .（结果精确到0.1）
13.如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，若⊙O的半径为5，∠APB=90°，则PO的长为 .
14.请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+3x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是 .
15.如图，点M在函数图象上，过点M作MA⊥x轴于点A，交函数（x＞0）图象于点N，连接OM和ON，如果△MON的面积为1，那么k= .
16.有A，B，C，D，E，F六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）.将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表：
卡牌类型 A B C D E F
数量（张） 4 10 3 2 1 10
根据以上信息，可知：
①n= ；
②拥有“卡牌组合” 的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型）.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：x2－4x－1＝0．
四、解答题：本题共5小题，共39分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
已知a方程2x2-3x-6=0的一个根，求代数式（a+1）（a-1）+3a（a-2）的值.
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，点（2，3）在函数y=kx+1（k≠0）的图象上.
（1）求k的值；
（2）当n＜x＜2时，对于x的每一个值，函数y=kx+1（k≠0）的函数值都大于y=-2x的函数值，且小于y=-2x+b的函数值，直接写出n的最小值和b的取值范围.
20.(本小题8分)
如图,AB为O的直径,C为BA延长线上一点,CD是O的切线,D为切点,OFAD于点E,交CD于点F.
(1)求证:ADC=AOF.
(2)若C=,BD=8,求EF的长.
21.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，M（3-2a,m），N（a+2，n）是抛物线y=ax2-2ax（a≠0）两点.
（1）当a=-1时，比较m,n的大小，并说明理由；
（2）当m＜n时，记抛物线在点M，N之间的部分（含点M，N）为图形G，若在图形G上存在两点A、B（点A在点B左侧），点P（p,q）沿图形G从点A运动到点B的过程中，q随p的增大到增大，求a的取值范围.
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，M是BC中点，点D在线段CM上，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°-2α得线段AE，连接BE，DE.
（1）比较∠ABC与∠ABE大小，用等式表示线段BE，BM，DM之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】（5，-1）
10.【答案】3π
11.【答案】二次函数关系
12.【答案】0.9
13.【答案】
14.【答案】2（答案不唯一）
15.【答案】1
16.【答案】10
BFE

17.【答案】解：∵x2-4x-1=0，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
∴（x-2）2=5，
∴x=2±，
∴x1=2+，x2=2-．
18.【答案】11．
19.【答案】解：（1）将点（2，3）代入y=kx+1，得2k+1=3，
∴k=1；
（2）n的最小值为-，b的取值范围是b≥7．
20.【答案】解：（1）连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴∠AOF=∠B，
∵CD是⊙O的切线，D为切点，
∴∠CDO=90°，
∴∠ADC+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°，
∴∠ADC=∠BDO，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）∵OF∥BD，AO=OB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AE=DE，OE=BD=8=4，
∵sinC==，
∴设OD=x，OC=3x，
∴OB=x，
∴CB=4x，
∵OF∥BD，
∴△COF∽△CBD，
∴=，
∴=，
∴OF=6，
∴EF=OF-OE=6-4=2．
21.【答案】证明：m＜n，理由如下：
∵a=-1，
∴y=-x2+2x，M（5，m），N（1，n），
∴m=-15，n=1，
∴m＜n ， a＜-1或
22.【答案】∠ABC=∠ABE=α；BM=BE+DM；证明：∵∠ABC=∠ACB=α，
∴AB=AC，
∵将线段AD逆时针旋转180°-2α得线段AE，
∴AD=AE、∠DAE=∠BAC=180°-2α，
∴∠CAD+∠DAB=∠EAB+∠DAB，
∴∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴∠ACD=∠ABE、CD=BE，
∴∠ABE=∠ABC，
∵M点是BC中点，
∴BM=CM=CD+DM，
∴BM=BE+DM NE=ND；证明：过点E作EH⊥AB，交BC于点H，
由（1）可知∠ABE=∠ABC，
∵EH⊥AB，
∴∠BEH=∠BHE，
∴BE=BH，
∴CD=BH，
∴MD=MH，
∵MN⊥AB、EH⊥AB，
∴MN∥EH，
∴，
∴NE=ND
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