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2025-2026学年浙江省杭州市翠苑中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小刚抛掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（　　）
A. 0 B. 1 C. D.
2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（-2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）

A. x＜-2 B. x＞4 C. -2＜x＜4 D. x＞0
3.如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=6m,则坡面AB的长度是（　　）
A. 10m
B.
C.
D.
4.2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力.小全和小华准备在比较热门的DeepSeeK，豆包，Kimi三个软件中随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.关于二次函数y=（x-2）2-1，下列说法错误的是（　　）
A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=2
C. 有最大值-1 D. x＞2时，y随x增大而增大
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，DE⊥BC于点E，若AB=10，BC=6，则DE的长为（　　）
A. B. 4 C. 10 D.
7.如图，正六边形ABCDEF内作正方形ABHG，连接AD，交GH于点O，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD，若∠AOD=120°，AD=3，则AC的长度为（　　）
A. 3
B.
C.
D.
9.如图，在平面直角坐标系中，等腰△OAB顶点A在x轴的正半轴上，且AB=OA=2，∠OAB=120°，将△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2026次旋转结束时，点B的坐标为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（　　）
A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
估计该麦种的发芽概率为 .（精确到0.01）
试验种子数n/粒 50 100 500 1000 2000 3000
发芽频数m 45 92 476 952 1902 2853
发芽频率 0.9 0.92 0.952 0.952 0.951 0.951
12.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c为常数）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，则m的取值范围是 .
13.如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，C是的中点，若∠C=110°，∠D=100°，则∠A的度数为 °.
14.如图，在4×6的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.∠ACB的正切值为 .
15.已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 ．
16.如图，在 ABCD中，点E是CD边上的一点，若AB=5，CE=2，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AG，点A在EG的延长线上，BG恰好平分∠ABE，则AG的长为 ，cos∠EAD的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
中华文化之瑰宝—“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位.
（1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是______.
（2）若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率.
18.(本小题9分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点.（网格线的交点）
（1）在AB边上找一点E，使得△ABC∽△CBE；
（2）在AC边上找一点F，使得CF：FA=2：3.
19.(本小题9分)
如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°.
（1）求∠BPC的度数；
（2）求该铁塔PC的高度.（结果保留根号）
20.(本小题9分)
如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E.
（1）求证：点D为的中点；
（2）若BE=4，AC=6，求DE.
21.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，作CD⊥AB，垂足为点D.
（1）求线段AD的长；
（2）点M是BC上的一点，满足BM=2CM，连接AM交CD于点E，求.
22.(本小题9分)
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上.
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
23.(本小题9分)
已知二次函数y=2x2-4ax+a2+2a+2（a为常数）.
（1）若a=1，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若a＞0，该二次函数在-1≤x≤2时有最小值2，求a的值；
（3）将二次函数y=2x2-4ax+a2+2a+2的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：y1=2（x-h）2.若2≤x≤m时，y1≤x恒成立，求m的最大值.
24.(本小题9分)
如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，连接AG并延长，交DC的延长线于点F，连接AD，CG，GD，其中GD与AB交于点H.
（1）求证：∠ADG=∠F.
（2）如图2，若，连接AC，求证：AC2=AH×AF；
（3）在（2）的条件下，已知AG=6，，求DF的长.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】0.95
12.【答案】m≤10
13.【答案】115
14.【答案】
15.【答案】m≥-2
16.【答案】3

17.【答案】； ．
18.【答案】（1）使得△ABC∽△CBE的点E，如图1即为所求； （2）使得CF：FA=2：3的点F，如图2即为所求．

19.【答案】（1） （2）（9+3）米
20.【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，
∴=，
即点D为的中点；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，
∴BE=EC=4，
∴BC=8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=6，
∴，
∴OD=OB=5，
∴，
∴DE=OD-OE=5-3=2．
21.【答案】（1） （2）
22.【答案】∵四边形EGHF为矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC 48 2400
23.【答案】解：（1）∵a=1，
∴y=2x2-4x+5（a为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是直线x=1；
（2）∵y=2x2-4ax+a2+2a+2=2（x-a）2-a2+2a+2，
∴二次函数的对称轴是直线x=a,
当0＜a≤2时，x=a函数有最小值．即-a2+2a+2=2，解得：a=0（舍去）或a=2；
当a＞2时，x=2函数有最小值．即8-8a+a2+2a+2=2解得：a=2（舍去）或a=4，
综上，a=2或a=4；
（3）如图，令y2=x设其图象与原抛物线C交点的横坐标为x0和x1，x0＜x1，
观察图象，随着抛物线C的向右不断平移x0和x1的值不断增大，
当2≤x≤m时，y1≤x恒成立，即x0=2时，m的最大值为x1，
∴2（2-h）2=2得h=1（舍去）或3，
∴2（x-3）2=x得x=2或，
∴m的最大值为．
24.【答案】（1）连接BG，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴∠AGB=∠AEF=90°，
∴∠BAG+∠B=∠EAF+∠F=90°，
∴∠B=∠F，
∵∠ADG=∠B，
∴∠ADG=∠F （2）∵CD⊥AB，，
∴∠GAC=∠CAB=∠BAD=∠GDC，
∵，
∴AC=AD，
∵∠ACG=∠ADH，
∴△AGC≌△AHD（ASA），
∴AG=AH，
∵∠ADG=∠F=∠ACG，
∴△CAG∽△FAC，
∴AC2=AG AF=AH AF （3）
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