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2025-2026学年江苏省南通市通州区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何体中，主视图、左视图和俯视图都相同的是（　　）
A. B.
C. D.
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.在下列事件中，不可能事件是（　　）
A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B. 任意画一个圆，它是轴对称图形
C. 从只有红球的袋子中摸出黄球 D. 射击运动员射击一次，命中靶心
4.关于反比例函数，下列描述正确的是（　　）
A. y随x的增大而增大 B. y随x的增大而减小
C. x＞0时，y随x的增大而增大 D. x＜0时，y随x的增大而减小
5.把二次函数y=x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式，正确的是（　　）
A. y=（x-2）2-1 B. y=（x-2）2+1 C. y=（x-2）2-7 D. y=（x+2）2+1
6.如图，△ABC与△DEF相似，则它们的相似比是（　　）
A.
B. 2：1
C.
D.
7.如图，点D，F和E，H分别是△ABC的边AB，AC的三等分点，连接DE，FH.下列结论错误的是（　　）
A. DE∥FH
B.
C.
D.
8.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，点E是的中点，连接OC，DE.若∠OCD=22°，则∠CDE的度数为（　　）
A. 44°
B. 45°
C. 51°
D. 68°
9.如图，△ABC在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，1），点B坐标为，点C与坐标原点重合，将△ABC在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点A1处，第2次绕点A1顺时针旋转至点C1落在x轴上点C2处，第3次绕点C2顺时针旋转至点B1落在x轴上点B2处，…，以此类推，点A50的坐标为（　　）
A. B. C. D.
10.已知点A（-t2+3，n），点B（t2-1，n）都在关于x的函数y=x2+bx的图象上.若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（　　）
A. -1＜n＜3 B. -1＜n≤3 C. -1≤n＜3 D. -1≤n≤3
二、填空题：本题共6小题，共22分。
11.抛物线y=-x2+1的顶点坐标是 .
12.有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6.从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是 .
13.若圆的直径为6cm,则它的内接正六边形的边长为 cm.
14.在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在第四象限内得到△A′B′C′，则点A（2，-3）的对应点A′的坐标为 .
15.如图，直线y=-x-a与双曲线相交于A，B两点，连接BO并延长，交双曲线的另一分支于点C，连接AC交y轴于点D.若点A的横坐标为-1，，则k的值是 .
16.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC的延长线上，点E在边BC上，连接AE，DE，∠AED=90°，且AE=DE，以EC的中点F为圆心，FE长为半径画圆，交边AC于点G，交ED于点H.
（1）连接CH，∠ECH=______度；
（2）若BF=2，则AE的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：sin60°cos30°+sin230°-tan45°.
18.(本小题10分)
如图①是一款可折叠升降的手机支架，图②是它的侧面示意图，支杆PA与底座AB垂直，垂足为A，与支撑板CD相交于点P，点P到支撑板的下端点D的距离为12厘米，支撑板CD与支杆PA的夹角∠APD=60°.将CD绕点P顺时针旋转15°至EF的位置，求支撑板的下端到底座AB的距离减少了多少厘米？（结果保留根号）
19.(本小题10分)
现有两个白炽灯泡，每个灯泡能通电的概率都是50%.电路有以下两种连接方式：
串联：如图①，电流需同时通过两个灯泡，有一个灯泡不通电，电路就不通电.
并联：如图②，每个灯泡独立连接到电源，有一个灯泡通电，电路就通电.
（1）请用列表或画树状图的方法，求并联方式下“电路通电”的概率；
（2）要使“电路通电”的可能性较大，应选择的连接方式是______.（填“串联”或“并联”）
20.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3.
（1）请利用无刻度的直尺和圆规在边BC上确定点O，使得以O为圆心，OB为半径的半圆与边AD相切于点E，与边CD交于点F，与BC的延长线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求由线段CF，CG和围成的图形面积.
21.(本小题10分)
已知一次函数y=-x+1与反比例函数，其中x与y的对应值如下表：
x -3 -2 -1 1 2 3
y=-x+1 4 3 m 0 -1 -2
1 2 -2 n
（1）求表格中m,n的值；
（2）当时，直接写出x的取值范围.
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.
（1）求证；
（2）连接CD，若∠CDE=∠B，CE=2，求BE的长.
23.(本小题10分)
学校新添了一台移动喷灌机，它的喷水头距离地面1米（即PA=1），喷出的水流轨迹可近似看作一条抛物线.当水流与喷水头的水平距离为3米时，达到最大高度10米.
（1）如图①，甲同学站在喷灌机正前方10米处，她会被水流喷到吗？请说明理由；
（2）如图②，喷灌机正前方9米处有一排高1米的幼苗，为了让水流恰好浇灌到幼苗顶端，需要将喷灌机向前移动多少米？
24.(本小题10分)
【问题背景】
已知四边形ABCD，点E在边BC上运动，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段FE，连接CF.
【问题探究】
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，连接AC，AF，求证△ABE∽△ACF；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=6，当点E从B运动到C时，点F从G运动到H.求点F的运动路径的长；
【拓展应用】
（3）如图3，等边三角形ABC中，D是AB的中点，点E在边BC上运动，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段FE，连接CF.若AB=4，则线段CF的最小值是______.
25.(本小题18分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y=x2+ax+a-1（a为常数，且a≠2）.
（1）证明：抛物线C与x轴一定有两个公共点；
（2）若抛物线C与直线y=x+1相交于A，B两点，且，求抛物线C的解析式；
（3）将抛物线C在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的图象记为C′.若直线y=ax+a与C′始终有3个公共点，请直接写出a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】（0，1）
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】（4，-6）
15.【答案】3
16.【答案】75；
①75；②
17.【答案】0．
18.【答案】支撑板下端D到底座AB的距离减少了（）厘米．
19.【答案】 串联
20.【答案】
21.【答案】m=2，n=-1 x＜-1或0＜x＜2
22.【答案】∵DE是AB的垂直平分线，
∴ED⊥AB，点D是AB的中点，
∴∠EDB=90°=∠ACB．
又∵∠B=∠B，
∴△EDB∽△ACB．
∴（相似三角形对应边成比例）．
∴BE BC=AB BD．
∵点D是AB的中点，
∴．
∴ 4
23.【答案】甲同学不会被水流喷到．
理由如下：建立如图①所示的平面直角坐标系，
∵抛物线顶点为（3，10），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+10．
将点P（0，1）代入，得1=a（0-3）2+10，
解得a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x-3）2+10；当x=10时，y=-（10-3）2+10=-39＜0，
∴甲同学不会被水流喷到 喷灌机应向前移动3米
24.【答案】∵四边形ABCD是正方形，AC为四边形的对角线，
∴∠BAC=45°，，
∵∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠EAF=45°，，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠CAF，
∵，
∴△ABE∽△ACF
25.【答案】设y=0，
则抛物线与x轴交点的横坐标满足方程：
x2+ax+a-1=0，
Δ=a2-4×1×（a-1）=a2-4a+4=（a-2）2，
∵a为常数，且a≠2，
∴（a-2）2＞0，
即Δ＞0，
∴抛物线C与x轴一定有两个公共点 y=x2+6x+5或y=x2-1 0＜a＜1
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