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2025-2026学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件中，是必然事件的是（　　）
A. 任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地 B. 对顶角相等
C. 射击运动员射击一次，命中十环 D. 买一张电影票，座位号是奇数
2.已知线段a=2，b=8，则它们的比例中项线段的长为（　　）
A. 4 B. 6 C. 10 D. 16
3.已知⊙O的半径为3，平面内一点P到圆心O的距离OP=2，则点P在（　　）
A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 无法确定
4.抛物线y=x2通过平移后得到y=（x+3）2，则下列平移方式正确的是（　　）
A. 向上平移3个单位 B. 向下平移3个单位 C. 向左平移3个单位 D. 向右平移3个单位
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF=2AC，点B坐标为，则点E的坐标为（　　）
A.
B.
C. （-2，1）
D. （-1，2）
7.已知二次函数y=x2-4x+m,当x取1，2，3，4时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，y4，则下列选项中最大的是（　　）
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
8.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径画弧，三段圆弧所围成的封闭图形叫做“莱洛三角形”.若等边三角形ABC的边长为1，则该“莱洛三角形”的周长为（　　）
A. π B. C. 2π D. 3π
9.如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，以A为圆心，AD长为半径作弧，与线段CD交于点E.若△ABD和△AEC的面积之比为3：1，则tanB的值为（　　）
A. B. C. D.
10.如图1，正方形ABCD的四个顶点在正八边形的四条边上，A为MN边上一点（不与M，N重合），八边形对角线PQ交正方形一组对边于点E，F，设AM=x,四边形AEFD的面积为y,y关于x的函数图象如图2所示，最低点为H（a,1），则下列关于a,b的关系式正确的是（　　）
A. b-a2=1 B. b+a2=4 C. b-2a2=1 D. b+2a2=4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知，则的值是______．
12.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点个数为 个.
13.某校作了关于九年级学生食堂自助餐时打菜个数的统计，在200名同学的餐盘中，统计结果如下表：
每个同学打菜的个数 2 3 4 5
学生的人数 14 66 90 30
根据以上结果，估计当天随机查看一名九年级同学的餐盘，他打菜的个数超过3个的概率为 .
14.若锐角β=2α，则sinβ=2sinαcosα.已知，则sinβ的值为 .
15.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，半径OD交AC于点E，AE=CE.若BC=16，OE=5，则DE的长为 .
16.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，AC=DC=BD，AE平分∠BAC交BC于点E，CF⊥AE交于点F.若EF=1，AC=4，则AD的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：2sin45°+cos230°-sin30°.
18.(本小题8分)
为了丰富学生课余生活，某校每周开展丰富多彩的课后拓展课程，并于开学初进行线上自主选课报名.小欢和小喜打算从以下三个课程里各自随机选择一个：
①甬城建筑几何探秘；
②日常生活函数循迹；
③科创百态AI建模.
（1）小欢选择课程③的概率为______；
（2）用画树状图或列表的方式，求小欢和小喜选择同一课程的概率.
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D是AC的中点，在AB上取点E，使∠ADE=∠B.
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AD=3，AE=2，求BE的长.
20.(本小题8分)
图1，图2，图3都是正方形网格，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）如图1，在AB，AC边上分别作出一点D，E，使得△ADE∽△ABC；
（2）如图2，在AB边上作出点F，使得CF⊥AB；
（3）如图3，△ABC绕图中某一点顺时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点B'的位置如图所示，在图中作出△A'B'C'.
21.(本小题8分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，∠ACB=60°.求∠BAD的度数.
22.(本小题10分)
我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1）.现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿BC方向传播，再经下表面折射后沿CD方向射出，可知CD∥AB，CD与竖直墙面交于点D.经查阅，记玻璃的折射率为n,在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商.例如在图2中，.
（1）在图2中，已知∠ABM=60°，∠BCD=165°，求该玻璃的折射率n；
（2）在（1）的基础上，如果图2中该玻璃砖厚度BH=6cm,现撤去玻璃砖（保持光线AB不变），那么光线与墙面的交点将往哪个方向移动多少距离？
23.(本小题10分)
已知二次函数y=x2+bx+c（b,c为常数），图象经过点A（k,2），且k≥0.
（1）若k=0，二次函数对称轴为直线x=1，
①求二次函数的表达式；
②若点B为二次函数图象上一点，且点B到x轴，y轴的距离相等，求点B的坐标；
（2）若A为该二次函数图象的顶点，P（m,n）为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，n的最大值与最小值的差为5，求k的值.
24.(本小题12分)
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，D为优弧ACB的中点，DC与AB延长线交于点G，DF⊥AC，分别交AC，AB于点E，F.
（1）若=40°，则∠AFD=______°，∠DAC=______°；
（2）求证：AF=FG；
（3）如图2，连结OF，如果四边形OFBC的面积等于△CBG面积的2倍，求的值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】+．
18.【答案】
19.【答案】证明：∵∠DAE=∠BAC，∠ADE=∠B，
∴△ABC∽△ADE BE=7
20.【答案】如图一中，点D，E即为所求（答案不唯一） 如图二中，点F即为所求； 如图三中，△A′B′C′即为所求
21.【答案】30°．
22.【答案】该玻璃的折射率n=== 光线与墙面的交点将往上移动，移动的距离为（6-2）cm
23.【答案】①二次函数的表达式为y=x2-2x+2；②点B的坐标为（1，1）或（2，2）
24.【答案】70;35 证明：∵D为的中点，
∴∠BAD=∠ACD，
∵DF⊥AC，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∵AC为直径，
∴∠ADC=∠CDE+∠ADE=90°，
∴∠DCE=∠ADE，
∴∠DCE=∠DAF，
∴AF=DF，
又∵∠ADF+∠FDG=90°，∠DAF+∠G=90°，
∴∠FDG=∠G，
∴DF=GF，
∴AF=GF
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