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第一篇　数与代数
第一章　数与式
第2讲　整式及其运算
1. 了解整式的相关概念（单项式、多项式、同类项、去括号法则）.
2. 掌握整式的运算（整式的加减乘除、幂的运算、乘法公式）.
类型一　幂的运算
例1　计算：（1）m·m7＝ 　m8　.
（2）m4÷m2＝ 　m2　.
（3）（xy2）2＝ 　x2y4　.
（4）已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝ 　12　.
【解后感悟】
1. 学会逆向思维，知道指数何时“加”“减”“乘”.
2. 学会转化，将底数不相等的转化为同底的.
m8　
m2　
x2y4　
12　
1. 下列计算正确的是（　A　）
A. a3·a2＝a5 B. 2a＋3a＝6a
C. a8÷a2＝a4 D. （a2）3＝a5
2. 若a，b是正整数，且满足 ＝ ，则a与b的关系正确的是（　A　）　　
A. a＋3＝8b B. 3a＝8b
C. a＋3＝b8 D. 3a＝8＋b
A
A
8个2b相乘
8个2a相加
类型二　整式的有关概念
例2　（1）单项式5mn2的次数是 　3　.
（2）若3x2ym与－5xny3是同类项，则m＋n＝ 　5　.
【解后感悟】
1. 单项式的次数：单项式所有字母的指数和；多项式的次数：取各单项式的最高次数.
2. 同类项：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同.
3　
5　
3. 单项式πr2的次数为 　2　.
4. 两个四次多项式的和为（　D　）
A. 八次多项式
B. 四次多项式
C. 四次单项式
D. 不高于四次的整式
2　
D
类型三　整式的运算
例3　（1）化简：（a＋b）2－b（2a＋b）.
【答案】原式＝a2＋2ab＋b2－2ab－b2＝a2.
（2）若代数式5a－3b的值是－2，则代数式2（a－b）＋4（2a－b）＋3＝ 　－1　.
（3）（2x）3·（－2y3）÷（－16xy2）＝ 　x2y　.
【解后感悟】
1. 整式的运算包括整式的加、减、乘、除、乘方.化简时，注意整式的运算顺序，能用乘法公式的就用乘法公式.
2. 代入时有时需要整体求值.
－1　
x2y　
5. 若m＋2n＝1，则3m2＋6mn＋6n＝ 　3　.
6. 先化简，再求值：（4ab3－8a2b2）÷（4ab）＋（2a＋b）（2a－b），其中a＝2，b＝1.
【答案】原式＝4a2－2ab，将a＝2，b＝1代入得原式＝12.
3　
类型四　乘法公式
例4　（1）先化简，再求值：（2x＋y）2－（2x＋y）（2x－y）－2y（x＋y），其中x＝（ ）2 023，y＝22 022.
【答案】原式＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2＝2xy，当x＝（ ）2 023，
y＝22 022时，原式＝2×（ ）2 023×22 022＝2× ×（ ）2 022×22 022＝2× ×（ ×2）2 022＝2× ×12 022＝1.
（2）已知a＋b＝10，a－b＝8，则a2－b2＝ 　80　.
（3）若a2＋b2＝2，a＋b＝3，则ab＝ 　 　.
80　
　
【解后感悟】
常见公式变形：
1. a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab＝ .
2.4ab＝（a＋b）2－（a－b）2.
7. 选择计算（－4xy2＋3x2y）（4xy2＋3x2y）的最佳方法是（　B　）
A. 运用多项式乘多项式法则
B. 运用平方差公式
C. 运用单项式乘多项式法则
D. 运用完全平方公式
B
8. 已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝ 　29　.
29　
【规律探究题】
某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.
观察思考
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2所示）；当正方形地砖只有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3所示）；以此类推.
规律总结
（1）若人行道上每增加一块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 　2　块.
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 　2n＋4　（结果用含n的代数式表示）.
2　
2n＋4　
问题解决
（3）现有2 021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（3）2n＋4≤2 021，解得n≤1 008.5，∵n为整数，∴n＝1 008，即需要1 008块正方形地砖.
方法与对策：每后一个图形比前一个图形多2的，跟2n有关；每后一个图形是前一个图形2倍的，跟2n有关.从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律.
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第一篇　数与代数
第一章　数与式
第3讲　因式分解
1. 了解因式分解的定义.
2. 掌握因式分解（提公因式法、公式法）.
类型一　因式分解的意义
例1　下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　C　）
A. （a＋3）2＝a2＋6a＋9
B. a2－4a＋4＝a（a－4）＋4
C. 5ax2－5ay2＝5a（x＋y）（x－y）
D. a2－2a－8＝（a－2）（a＋4）
【解后感悟】
正确把握因式分解的定义是解题关键. 　
C
1. 下面的多项式中，能因式分解的是（　D　）
A. m2＋n B. m2－m＋1
C. m2－n D. m2－2m＋1
2. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得到结果是（x＋1）（x－3），则a，b的值分别是（　B　）
A. a＝2，b＝3 B. a＝－2，b＝－3
C. a＝－2，b＝3 D. a＝2，b＝－3
D
B
类型二　因式分解的几何性
例2　如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形.若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2所示.比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是 　a2－b2＝（a＋b）（a－b）　.
【解后感悟】
利用图形的面积来解释代数式的恒等变形，是数形结合思想的具体应用.
a2－b2＝（a＋b）（a－b）　
3. 如图1所示，用a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的正方形.
（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积.
【答案】（1）方法一：从整体上看，图1是边长为（a＋b）的正方形，其面积为（a＋b）2；方法二：各个部分的面积之和为a2＋2ab＋b2.　
（2）如图2所示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形.试由图形推出2a2＋3ab＋b2因式分解的结果.
【答案】（2）根据计算图2面积的不同计算方法可得，2a2＋3ab＋b2＝（a＋b）（2a＋b）.
（3）请你用拼图等方法推出3a2＋5ab＋2b2因式分解的结果，画出你的拼图.
【答案】（3）3a2＋5ab＋2b2＝（a＋b）（3a＋2b）.
类型三　因式分解的方法
例3　分解因式：
（1）x2－4x＝ 　x（x－4）　.
（2）m2＋4m＋4＝ 　（m＋2）2　.
（3）x3＋6x2＋9x＝ 　x（x＋3）2　.
（4）xy2－x3＝ 　x（y＋x）（y－x）　.
（5）（a－b）2－（b－a）＝ 　（a－b）（a－b＋1）　.
【解后感悟】
二项式→平方差公式；三项式→完全平方公式或十字相乘法；四项式→分组分解法.
x（x－4）　
（m＋2）2　
x（x＋3）2　
x（y＋x）（y－x）　
（a－b）（a－b＋1）　
4. 利用十字相乘法分解因式.
（1）x2－x－6.
【答案】原式＝（x－3）（x＋2）.
（2）2x2－x－6.
【答案】原式＝（2x＋3）（x－2）.
（3）x3＋2x2－3x.
【答案】原式＝x（x＋3）（x－1）.
类型四　因式分解的应用
例4　（1）若x＋y＝3，xy＝2，则代数式x2y＋xy2＝ 　6　.
（2）已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x＝ 　6　.
6　
6　
（3）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t 是正整数，且s≤t）.如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q（p≤q）是n的最佳分解，并规定： 此时有F（n）＝｜p－q｜.例如 18可以分解成1×18，2×9，3×6 这三种，但｜3－6｜＜｜2－9｜＜｜1－18｜，因此F（18）＝｜3－6｜＝3.下列关于F（n）的说法中，正确的有（　D　）
①如果正整数n为质数，那么F（n）＝n－1；②如果正整数n是完全平方数，那么F（n）＝0；③如果正整数n＝k2－1（k为正整数），那么F（n）＝2.
D
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【解后感悟】
将所求式子进行适当的变形是解本题的关键.
5. 已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式是（2x－5），求另一个因式以及k的值.
【答案】设另一个因式为（x＋a），得2x2＋3x－k＝（2x－5）（x＋a），则2x2＋3x－k＝2x2＋（2a－5）x－5a，因此 解得 故另一个因式为（x＋4），k的值为20.
【阅读理解题】
数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2（x，y均为自然数）”的问题.
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息见下表（n为正整数）：
N 奇数 4的倍数
表示 结果 1＝12－02 4＝22－02
3＝22－12 8＝32－12
5＝32－22 12＝42－22
7＝42－32 16＝52－32
9＝52－42 20＝62－42
… …
一般结论 2n－1＝n2－（n－1）2 4n＝ 　　　　　
按上表规律，完成下列问题：
①24＝ 　7　2－ 　5　2；
②4n＝ 　（n＋1）2－（n－1）2　.
7　
5　
（n＋1）2－（n－1）2　
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如4n－2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2－y2（x，y均为自然数）.师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝（2k）2－（2m）2＝4（k2－m2）为4的倍数，
而4n－2不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为偶数；
②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝（2k＋1）2－（2m＋1）2＝ 　4（k2－m2＋k－m）　为4的倍数，
而4n－2不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为奇数；
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数？
而4n－2是偶数，矛盾，故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知，猜测正确.
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容.
4（k2－m2＋k－m）　
方法与对策：有规律的问题，先从前几项中归纳出一般规律，然后再考虑用n表示第n个式子的表达方式.在阅读题目时也要耐心理解. 　
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第一篇　数与代数
第一章　数与式
第4讲　分式及其运算
1. 了解分式的相关概念（分式的定义、分式有无意义的条件、分式的基本性质、约分、通分）.
2. 掌握分式的运算（分式的加、减、乘、除、乘方）.
类型一　分式的概念
例1　分式 .
（1）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠±3　.
（2）把分式化为最简分式 　 　.
x≠±3　
　
【解后感悟】
1. 分式有意义 分母不等于零；分式的值等于零 分子等于零且分母不等于零.
2. 最简分式：一个分式中没有可约的因式.
1. 下列分式中，最简分式是（　A　）
A. B.
C. D.
A
类型二　分式的约分和通分
例2　计算：（1） ＝ 　1－2a　.
（2） ＋ ＝ 　1　.
（3） － ＝ 　 　.
（4）1－a－ ＝ 　 　.
【解后感悟】
约分的关键是找公因式，若分子和分母是多项式，先将其因式分解，然后将相同的因式约去即可.分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母.
1－2a　
1　
　
　
类型三　分式的运算与求值
例3 （1） ÷ ＝ 　a　.
（2）先化简，再求值： · － ，其中a＝ .
【答案】原式＝ · － ＝ － ＝ ＝ ，当a＝ 时，原式＝ ＝－1.
a　
（3）先化简（x－1－ ）÷ ，再从－1，1，2这三个数中选一个合适的数作为x的值代入求值.
【答案】原式＝ · ＝ · ＝x＋1，∵x＋1≠0，x2＋2x＋1≠0，x2－4≠0，∴x≠－1，且x≠2，将x＝1代入得，原式＝1＋1＝2.
【解后感悟】
分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分；化简求值题要将原式化为最简后再代入，但要注意分式成立的条件.
2. 已知a－b－1＝0，求代数式 的值.
【答案】原式＝ ＝ ＝ ，∵a－b－1＝0，∴a－b＝1，∴原式＝ ＝3.
类型四　分式的应用
例4　甲、乙两人两次到某地采购某种产品，两次购买的单价不同，分别为x元/kg与y元/kg.甲每次买100 kg，乙每次买100元.你认为谁的购买方式较为划算.
【答案】∵甲的平均单价为 ＝ （元/kg），乙的平均单价为 ＝ （元/kg），又∵ － ＝ ＝ ＞0，∴乙的购买方式较划算.
【解后感悟】
本题的关键是用代数式表示两次购买的平均单价，再用作差法比较大小.
3. 一种商品原来的销售利润率是20％.现在由于进价提高了5％，而售价没变，所以该商品的销售利润率为 　40　％[注：销售利润率＝（售价－进价）÷售价].
16　
【阅读理解题】
已知a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如2的差倒数是 ＝－1.现已知a1＝－ ，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数.
（1）求a2，a3，a4的值.
【答案】（1）∵a1＝－ ，∴a2＝ ＝ ，a3＝ ＝3，a4＝ ＝－ .　
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a2 020·a2 021·a2 022的值.
【答案】（2）a2 020＝a1＝－ ，a2 021＝a2＝ ，a2 022＝a3＝3，
∴a2 020·a2 021·a2 022＝－ × ×3＝－1.　
（3）计算：a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＋a2 022.
【答案】（3）原式＝ ×674＝ ×674＝ .
方法与对策：解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律周期，求出所求式子的值.
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第一篇　数与代数
第一章　数与式
第5讲　二次根式及其运算
1. 了解根式的有关概念（二次根式的定义、最简二次根式）.
2. 掌握二次根式的性质.
3. 掌握二次根式的运算（根式的加、减、乘、除、乘方）.
类型一　二次根式的有关概念
例1　（1）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　C　）
A. B. C. D.
（2）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（　D　）
A. x≠2 B. x≥0
C. x≥2 D. x≥0且x≠2
【解后感悟】
代数式有意义的主要根据：
1. 二次根式的被开方数大于或等于零.
C
D
2. 分式的分母不为零. 　
1. 下列各式是最简二次根式的是（　A　）
A. B. C. D.
2. 若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x＞3　.
A
x＞3　
类型二　二次根式的性质
例2　（1）计算： ＝ 　 －1　.
（2）计算 ÷（3 ）× 的结果正确的是（　A　）
A. 1 B. C. 5 D. 9
【解后感悟】
当平方在根号内，不妨先带上绝对值，降低出错率.多个根号的乘除，根据根式性质，可以先统一在一个根号内，再化简.
－1　
A
3. 能够说明“ ＝x不成立”的x的值是 　－1（不唯一）　（写出一个即可）.
4. 已知1＜x＜2，化简 ＋｜x－2｜的结果为（　B　）
A. －1 B. 1
C. 2x－3 D. 3－2x
－1（不唯一）　
B
类型三　二次根式的运算与求值
例3　（1）已知：①（ ）2＝2；② ＝2；③（－2 ）2＝12；④（ ＋ ）（ － ）＝－1.其中结果正确的个数为（　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2）计算：（2＋ ）2＋（2－ ）2＝ 　14　.
（3）化简： （ － ）－ －｜ －3｜＝ 　－6　.
【解后感悟】
二次根式的运算，注意运算律和乘法公式的灵活运用，以达到简便的目的.
D
14　
－6　
5. 计算：（ ＋1）（ －1）＝ 　2　.
6. 计算：（ －3 ）÷ ＝ 　3　.
2　
3　
类型四　二次根式的综合型问题
例4　在日常生活中，取款、上网都需要密码，有的人把自己的出生年月作为密码，有的人把生活中的重要数字或自己认为吉利的数字作为密码，这样很容易被知情人窃用.有一种用二次根式法产生的密码，如对于二次根式 ，计算的结果是11，取被开方数和计算结果，再在中间加一个数字0，于是就得到一个六个数字的密码“121 011”.对于二次根式 ，用上述方法产生的密码是 　081 009　.
【解后感悟】
运用二次根式解决实际问题的过程中主要用到二次根式的概念、性质和运算方法等知识点.
081 009　
7. 如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2 和2，则图中阴影部分的面积是 　2　.
2　
【探索规律题】
阅读材料
已知a，b为非负实数，因为a＋b－2 ＝（ ）2＋（ ）2－2 · ＝（ － ）2≥0，所以a＋b≥2 ，当且仅当“a＝b”时，等号成立.这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.例：已知x＞0，求代数式x＋ 的最小值.
解：令a＝x，b＝ ，则由a＋b≥2 ，得x＋ ≥2 ＝4.当且仅当x＝ ，即x＝2时，代数式取到最小值，最小值为4.
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x＝ 　 　时，代数式x＋ 取到最小值，最小值为 　 .
（2）用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，则当这个矩形花园的长为 　10　m，宽为 　10　m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是 　40　m.
（3）若x为任意实数，代数式 的值为m，则m的范围为 　 －1　.
方法与对策：解决新知识的探究性问题，要从小题中先理解并学会使用新知识，然后再进行深入探究或综合运用.
　
2 　
10　
10　
40　
－ 1≤m≤
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第一篇　数与代数
第一章　数与式
第1讲　实数及其运算
1. 了解实数的分类.
2. 了解实数的有关概念（数轴、绝对值、相反数、倒数、平方根、立方根、算术平方根、两个实数的大小比较、科学记数法、近似数）.
3. 掌握实数的运算.
类型一　相反数、倒数、绝对值、数轴
例1　（1）如图为洪涛的小测卷，他的得分应是 　75　分.
姓名： 　洪涛　　得分 　？　
填空（每小题25分，共100分）
①2的相反数是 　－2　；
②倒数等于它本身的数是 　1和－1　；
③－1的绝对值是 　1　；
④｜1－ ｜的绝对值是 　 　.
75　
1－
（2）如图，数轴上点A表示的实数是 　 －1　.
－1　
【解后感悟】
1.0的相反数是它本身，非负数的绝对值是它本身，0没有倒数.
2. 绝对值几何意义：例如｜－4｜＝4，几何意义为数轴上表示－4的点到原点的距离为4.
1.3－｜1－ ｜＝ 　4－ 　.
4－ 　
类型二　平方根、算术平方根、立方根
例2　（1）64的平方根是 　±8　，算术平方根是 　8　，立方根是 　4　.
（2） 的平方根是 　±2 　，立方根是 　2　.
±8　
8　
4　
±2 　
2　
【解后感悟】
1. 平方根：如果x2＝a（a≥0），那么这个数x就叫作a的平方根，记作± .一个正数有两个平方根且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
2. 算术平方根：一个正数正的平方根叫作这个数的算术平方根，规定0的算术平方根是0.
3. 立方根：若x3＝a，则x叫作a的立方根，记作
类型三　科学记数法和近似数
例3　杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80 800个座位.数据80 800用科学记数法表示为（　B　）
A. 8.8×104
B. 8.08×104
C. 8.8×105
D. 8.08×105
B
【解后感悟】
科学记数法表示形式为a×10n，其中1≤｜a｜＜10.当原数绝对值大于1时，n是正整数，位数等于n＋1；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，n表示前面有｜n｜个0.
类型四　实数的大小比较
例4　（1）比0小1的数是（　B　）
A. 0 B. －1 C. 1 D. ±1
（2）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
（　C　）
A. b＞－1 B. ｜b｜＞2
C. a＋b＞0 D. ab＞0
B
C
【解后感悟】
实数的大小比较常用以下方法：
1. 几何比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2. 代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小.
3. 差值比较法：设a，b是两个任意实数，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.
类型五　实数的运算
例5　（1）计算：
4 sin 60°＋（π－2）0－ － .
【答案】原式＝4× ＋1－4－2 ＝－3.
（2）对于两实数a，b，定义一种新运算法则“*”如下：当a≥b时，a*b＝b2；当a＜b时，a*b＝a.则当x＝2时，可得新运算：（1*x）·x－（3*x）＝ 　－2　（“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）.
（3）如果一个数等于它的全部真因数（含1，不含它本身）的和，那么这个数称为“完美数”.例如，6的真因数是1，2，3，且6＝1＋2＋3，则称6为“完美数”.下列数中为“完美数”的是（　C　）
A. 8 B. 18 C. 28 D. 32
－2　
C
【解后感悟】
1.0指数幂：a0＝ 　1　（其中a≠0）.
2. 负整指数幂：a－p＝ 　 　（其中p为正整数，a≠0）.
1　
　
2. 若实数x满足（x－1 ＝1，求x的值.
【答案】x的值为－2或2或0.
【规律探究题】
　发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的果眼.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的果眼，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略果眼的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么果眼在菠萝的侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的果眼.该菠萝的果眼在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个果眼，每列有k个果眼，行上相邻的两个果眼、列上相邻的两个果眼的间距都为d（n，k均为正整数，n＞k≥3，d＞0），如图1所示.
小明设计了如下三种铲果眼方案.
方案1：图2是横向铲果眼示意图，每行铲的路径长为 　（n－1）d　，共铲 　2k　行，则铲除全部果眼的路径总长为 　2（n－1）dk　.
方案2：图3是纵向铲果眼示意图，则铲除全部果眼的路径总长为 　2（k－1）dn　.
方案3：图4是销售员斜着铲果眼示意图，写出该方案铲除全部果眼的路径总长.
（n－1）d　
2k　
2（n－1）dk　
2（k－
1）dn　
【答案】方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为 ＝ ，根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线段长，每条线段上有2k－1个 d，∴ 铲除全部果眼的路径总长为 ×（2k－1）nd.
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲果眼路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.
解决问题　由上得2（n－1）dk－2（k－1）dn＝2ndk－2dk－2ndk＋2dn＝2d（n－k）＞0，∴ 方案1的路径总长大于方案2的路径总长；2（k－1）dn－ ×（2k－1）dn＝ dn，∵ n＞k≥3，当k＝3时，（2－ ）×3－2＋ ＝4－ ＞0，即2（k－1）dn－ ×（2k－1）dn＞0，∴方案3铲果眼路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗.
方法与对策：解决实际问题，并带有项目化的特色的题目，要充分联系生活实际.在阅读题目时也要耐心理解.
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