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第二篇　图形与几何
第七章　图形变换与解直角三角形
第29讲　相似形的应用
1. 利用相似求图形的面积.
2. 利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形来测物体的高、河的宽等.
3. 掌握三角形重心.
类型一　三角形的重心
例1　如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，求OD的长.
【答案】OD＝2.
【解后感悟】
三角形重心是两条中线的交点，它将一条中线分成1∶2两部分.
类型二　利用相似解决物体的高（长）度
例2　小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图1所示，测得C地与树AB相距10 m，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°.
方案二：如图2所示，测得C地与树AB相距10 m，在C处放一面镜子，后退2 m到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A.
已知小明身高1.6 m，试选择一个方案求出树AB的高度（结果保留整数，tan 32°≈0.62）.
【答案】方案一：作DE⊥AB，垂足为E，则四边形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝10 m，在Rt△ADE中，∠ADE＝32°，∴AE＝DE·tan32°≈10×0.62＝6.2 m，树AB的高度为6.2＋1.6≈8 m.
方案二：根据题意可得∠ACB＝∠DCE，∵∠B＝∠E＝90°，∴△ACB∽
△DCE，∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AB＝8 m，答：树AB的高度为8 m.
【解后感悟】
此题是相似三角形在实际生活中的运用，通过实际问题构建相似三角形.
1. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.已知CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.
【答案】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°.∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴ ＝ .又∵AD＝AB＋BD，BD＝8.5 m，BC＝1 m，DE＝1.5 m，∴ ＝ ，∴AB＝17 m，即河宽为17 m.
类型三　利用相似求图形的面积、周长
例3　一个等腰直角三角形和一个正方形按如图所示摆放，①②③这三块面积之比为1∶4∶41，那么④⑤这两块面积之比是 　9∶14　.
【解后感悟】
本题考查了等腰三角形和矩形的面积公式，及相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
9∶14　
2. 如图，正方形ABCD与△EBC中，AD 分别与EB，EC相交于点F，G，若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则FG与BC的长度比为
（　C　）
A. 3∶5 B. 3∶6
C. 3∶7 D. 3∶8
C
【实际应用题】
有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积.
【答案】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于点F，如图1，得出S1＝AB·BC＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，如图2，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰直角三角形，得出AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH＝FG－HG＝1，AG＝AB－BG＝5，得出S2＝AE·AG＝6×5＝30.
图1　 　图2
（2）能否截出比第（1）题中更大面积的矩形材料？如果能，求出这个矩形材料面积的最大值；如果不能，请说明理由.
【答案】（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，如图3，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰直角三角形，得出MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝CG，设AM＝x，则BM＝6－x，FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋BM＝11－x，得出S＝AM×FM＝x（11－x）
＝－x2＋11x＝－（x－5.5）2＋30.25，∴当x＝5.5时，
S的最大值为30.25.∴能截出最大面积为30.25的矩形材料.
图3
方法与对策：本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题是三角形余料问题的拓展，运用二次函数模型，鼓励学生尝试探究.
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第二篇　图形与几何
第七章　图形变换与解直角三角形
第31讲　解直角三角形的应用
1. 了解解直角三角形的定义.
2. 熟悉解直角三角形的常用关系.
3. 掌握解直角三角形的应用（仰角、坡度、方向角等）.
类型一　解直角三角形常见数量关系
例1　如图，矩形ABCD的对角线交于点O. 已知AB＝m，∠BAC＝α，则下列结论错误的是（　C　）
A. ∠BDC＝α B. BC＝m·tan α
C. AO＝ D. BD＝
【解后感悟】
根据已知条件选择合适的三角函数. 　
C
1. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（　D　）
A. a sin α＋b sin α
B. a cos α＋b cos α
C. a sin α＋b cos α
D. a cos α＋b sin α
D
类型二　解直角三角形的测量问题
例2　综合与实践活动中，要用测角仪测量某河上一座桥的桥塔AB的高度（如图1所示）.某学习小组设计了一个方案：如图2所示，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥AB，垂足为C. 在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°.
（1）求线段CD的长.
【答案】（1）设CD＝x m，由DE＝36 m，得CE＝CD＋DE＝（x＋36）m.∵EC⊥AB，垂足为C，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.在Rt△BCD中，tan∠CDB＝ ，∠CDB＝45°，∴BC＝CD·tan∠CDB＝x·tan 45°＝x（m）.在Rt△BCE中，tan∠CEB＝ ，∠CEB＝31°，∴BC＝CE·tan∠CEB＝（x＋36）·tan 31°，∴x＝（x＋36）·tan 31°，得x＝ ≈54.答：线段CD的长约为54 m.
【答案】（2）在Rt△ACD中，tan∠CDA＝ ，∠CDA＝6°，∴AC＝CD·tan∠CDA＝54×tan 6°≈5.4（m）.∴AB＝AC＋BC≈59 m.答：桥塔AB的高度约为59 m.
（2）求桥塔AB的高度.
（结果取整数，参考数据：tan 31°≈0.6，tan 6°≈0.1）
【解后感悟】
本题考查了仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角的定义并构造两直角三角形.
2. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10 m的小楼房AB，小李在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°（AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　B　）
A. 20 m B. 15 m
C. 12 m D. （10＋5 ） m
B
类型三　解直角三角形的数学建模
例3　有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2、图3是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度.
（1）如图2所示，若AB＝CD＝110 cm，∠AOC＝120°，求h的值.
【答案】（1）如图1，过点B作BE⊥AC于点E，∵OA＝OC，∠AOC＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝ ＝30°，∴h＝BE＝AB· sin 30°＝110× ＝55（cm）.
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120 cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图3所示）.求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1 cm.参考数据： sin 37°≈0.6， cos 37°≈0.8， sin 53°≈0.8， cos 53°≈0.6）.
【答案】（2）如图2，过点B作BE⊥AC于点E，∵OA＝OC，∠AOC＝74°，∴∠OAC＝∠OCA＝ ＝53°，∴AB＝BE÷ sin 53°≈120÷0.8＝150（cm），即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150 cm.
【解后感悟】
本题从生活情景中取材，考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键.
3. 共享单车为市民出行提供了便利.图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30 cm，BE＝40 cm，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90 cm时骑着比较舒适，此时CE的长约为（　B　）
（结果精确到1 cm，参考数据： sin 70°≈0.9， cos 70°≈0.3，tan 70°≈2.7）
B
A. 25 cm B. 27 cm
C. 22 cm D. 20 cm
类型四　解直角三角形中一个常见的模型
例4　越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6 m，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5 m的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长（结果精确到1 m.参考数据： sin 33°≈0.54， cos 33°≈
0.84，tan 33°≈0.65）.
【答案】延长BC交MN于点H，BE＝3.5 m，设MH＝x，∵∠MEC＝45°，故EH＝x，在Rt△MHB中，tan∠MBH＝ ＝ ≈0.65，解得x＝6.5，则MN＝1.6＋6.5＝8.1≈8（m），∴电池板离地面的高度MN的长约为8 m.
【解后感悟】
本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
本题涉及一个基本图形，常用于测高度、宽度、距离等.
如图1是基本图形，若点C，D，B在同一直线上，且∠ABC＝90°，∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a，AB＝x，则有x＝BD·tan β，x＝CB·tan α，因此 － ＝a，即x＝ .如图2为变式，结论是x＝ .
4. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 　17　m（精确到1 m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈
0.80，tan 37°≈0.75）.
17　
【课本改编题】
某学校的校门是伸缩门（如图1所示），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30 cm.校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2所示）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3所示）.
问：校门打开了多少米（结果精确到1 m.参考数据： sin 5°≈0.087 2， cos 5°≈0.996 2， sin 10°≈0.173 6， cos 10°≈0.984 8）？
【答案】如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD. 根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0.3 m.∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3 m，∴大门的宽是0.3×20＝6（m）；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0.3 m.∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝ sin ∠B1A1O1·A1B1＝ sin 5°×0.3≈0.026 16（m），∴B1D1＝2B1O1≈0.052 32 m，∴伸缩门的宽是0.052 32×20＝1.046 4（m），∴校门打开的宽度为6－1.046 4≈5（m）.故校门打开了5 m.
方法与对策：解应用题的基本思路是构建数学模型.解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要涉及三角形的实际问题，把它抽象到解直角三角形中进行解答，之后再还原成实际问题.这种题型是中考常用的考查方式.
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第二篇　图形与几何
第七章　图形变换与解直角三角形
第28讲　图形的相似
1. 了解比例线段（黄金分割点、平行线分线段成比例定理）等概念.
2. 了解相似多边形的判定与性质、图形的位似等概念.
3. 掌握相似三角形的判定与性质.
4. 了解图形的位似，知道位似可以将一个图形放大或缩小.
类型一　比例性质、黄金分割等相关概念
例1　如图，已知E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3∶S2的值.
【答案】
【解后感悟】
E是AB的黄金分割点 AE2＝BE×AB AE＝ AB≈0.618AB.
1. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）.已知CD＝80 cm，则AB约是（　B　）
A. 30 cm
B. 49 cm
C. 55 cm
D. 129 cm
B
类型二　相似多边形
例2　如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F，若四边形EFDC与矩形ADCB相似，则AD的值为（　B　）
A. B.
C. D. 2
B
【解后感悟】
相似多边形判定：各角对应相等，各边对应成比例，两者缺一不可.
类型三　相似三角形的判定与性质
例3　如图1所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝ ，D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）.以点D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连结CF.
（1）求证：△ABD∽△DCE.
【答案】（1）由∠ADE＝∠B＝∠C，一线三等角可证△ABD∽△DCE.
（2）当DE∥AB时（如图2所示），求AE的长.
【答案】 （2）由AB＝AC＝20，tan B＝ ，如图1，过点A作AM⊥BC于点M. 可得BC＝32，即AB∶AC∶BC＝5∶5∶8；∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE＝∠B＝∠ACB＝∠CDE，∴△ABD∽△CBA. ∴ ＝ .∴DB＝ ＝ ＝ ，∵DE∥AB，∴ ＝ .∴AE＝ ＝ ＝ .
图1
（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由.
（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，如图2，过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，由∠DAF＝90°＝∠MAN，可得△AFN∽△ADM，∴ ＝ ＝tan∠ADF＝tan B＝ ，由题意易求AM＝12，BM＝CM＝16，∴AN＝ AM＝ ×12＝9，∴CH＝CM－MH＝CM－AN＝16－9＝7.当DF＝CF时，又∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝14，∴BD＝BC－CD＝32－14＝18.所以，点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18.
图2
【解后感悟】
本题考查一线三等角基本模型.当∠FAD＝90°时，想到构造相似三角形解决问题.
2. 如图，已知点A（－7，0），B（x，10），C（－17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝ （k≠0）的图象相交于点D，且OD∶OB＝1∶4，则k的值是多少？
【答案】如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E，G，∵点A（－7，0），B（x，10），C（－17，y），∴BE＝10，OF＝17，OA＝7，∴EF＝BC＝OA＝7，∴OE＝17＋7＝24.∵BE∥DG，∴△ODG∽△OBE，∵OD∶OB＝1∶4，∴ ＝ ， ＝ ，
∴DG＝ ，OG＝6，∴D（－6，2.5）.
∵点D在反比例函数图象上，∴k＝－6×2.5＝－15.
故答案为－15.
类型四　图形的位似
例4　如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－3，6），B（－9，－3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（　D　）
D
A. （－1，2）
B. （－9，18）
C. （－9，18）或（9，－18）
D. （－1，2）或（1，－2）
【解后感悟】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
【相似多解性】
如图，已知在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，AC＝3.D，E分别是边AB，AC上的动点，将△ADE沿着DE翻折，使点A的对应点F落在△ABC内（包括边上），连结BF.
（1）当EF∥AB时，求∠AED的度数.
【答案】（1）∵△ADE折叠到△FDE，∴∠AED＝∠DEF，∵∠C＝90°，∠ABC＝45°，AB∥EF，∴∠FEC＝∠A＝45°，∴∠AED＝∠DEF＝67.5°.
（2）当△BDF与△ABC相似时，求线段AE的长.
【答案】（2）∵点F在△ABC内部或边上，∴∠DBF≤45°，∵△ABC与△BDF相似，∴∠DBF＝45°，即F在BC边上，若∠BDF＝90°，且由折叠可得DF＝AD＝BD，∴点F在点C处，如图1，又∵DE⊥AC，∴AE＝ AC＝ .若∠BFD＝90°，如图2， 由折叠可得∠DFE＝∠A＝45°，∴∠EFC＝45°，∴EC＝FC，设AE＝x，则EC＝FC＝3－x，由（3－x）2＋（3－x）2＝x2，解得x＝6±3 ，∵x＜3，∴AE＝6－3 .∴AE的长为 或6－3 .
方法与对策：当一个动态三角形与固定三角形相似时，一般先考虑固定三角形的角、边关系，如本题先考虑∠C＝90°，再考虑三边比为1∶1∶ ，然后再画出满足条件的动态三角形，最后求解.
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第二篇　图形与几何
第七章　图形变换与解直角三角形
第26讲　图形的轴对称与中心对称
1. 了解轴对称与轴对称图形概念的联系和区别.
2. 了解中心对称图形与成中心对称的联系与区别.
3. 掌握轴对称和中心对称的性质.
4. 能利用轴对称性质解决翻折中的数学问题.
类型一　轴对称与轴对称图形
例1　（1）对于下列图形：①等边三角形；②直角三角形；③平行四边形；④菱形；⑤圆.其中是轴对称图形的是 　①④⑤　（填写图形的相应编号）.
（2）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B'，当B'D∥AC时，则∠BCD＝ 　33°　.
①④⑤　
33°　
【解后感悟】
利用轴对称解决问题常从点、线、角、整体四方面考虑轴对称的性质.
1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k＝ 　2 　.
2 　
类型二　中心对称与中心对称图形
例2　下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　C　）
① ② ③ ④
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
【解后感悟】
注意中心对称与中心对称图形的区别和联系.对称点的连线段被对称中心平分.
C
2. 下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（　C　）
A. B. C. D.
C
类型三　轴对称变换解决“将军饮马”问题
例3　如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为
　2 　.
【解后感悟】
以轴对称图形为背景求线段之和最小，运用轴对称转化为两点之间线段最短、垂线段最短等知识解决.
2 　
3. 如图，已知∠AOB＝50°，P为∠AOB内部一点，M，N分别为射线OA，OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝ 　80°　.
80°　
【探索研究题】
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AE＝ AD，连结DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连结CE，CF. 若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝
　 　.
　
方法与对策：折叠问题作为初中阶段最经典的动手操作型问题，要注意两个重要结论：①折叠前后对应边相等，对应角相等，即全等的概念；②折痕所在的直线是任意两对应点所连线段的垂直平分线.
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第二篇　图形与几何
第七章　图形变换与解直角三角形
第27讲　图形平移与旋转
1. 会描述图形的平移与旋转.
2. 掌握图形平移的性质.
3. 掌握图形旋转的性质.
类型一　图形的平移
例1　“方胜”是中国古代妇女的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（　D　）
D
A. 1 cm
B. 2 cm
C. （ －1）cm
D. （2 －1）cm
【解后感悟】
1. 图形的平移不改变图形的形状和大小.
2. 在图形中要找到表示平移距离的线段长，如图中的线段BB'和DD'.
类型二　图形的旋转
例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为
（　C　）
C
A. 18°
B. 20°
C. 24°
D. 28°
【解后感悟】
1. 图形的旋转不改变图形的形状和大小. 　
2. 描述旋转三要素：旋转中心、方向和角度.
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，D是AC的中点，连结BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF. 连结CF，当CF∥AB时，CF＝ 　2＋ 　.
2＋ 　
类型三　平移、旋转变换解决路径、面积等问题
例3　（1）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离AA'＝ 　4或8　.
4或8　
（2）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB，BC，弧CO，弧OA所围成图形的面积是 　2 cm2　.
【解后感悟】
求图中的阴影部分的面积时，如果不能直接求，可以转化为规则图形来求.
2 cm2　
2. 一把含30°角的直角三角尺ABC按如图1所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12 cm.现将该三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线l上，则点A经过的路径长至少为 　8π　cm（结果保留π）.
　　　　
8π　
3. 如图2所示，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为（0，2 ），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O'A'B'，此时点B'的坐标为（2 ，2 ），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 　4　.
4　
【课本改编题】
小王在学习浙教版九年级上册课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB'C'D'.
[探究1]如图1所示，当α＝90°时，点C'恰好在DB延长线上.若AB＝1，求BC的长.
【答案】[探究1]如图1，设BC＝x，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB'C'D'，∴点A，B，D'在一条线上，∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C'＝AB'＝AB＝1，∴D'B＝AD'－AB＝x－1，∵∠BAD＝∠D'＝90°，∴D'C'∥DA，又∵点C'在DB的延长线上，∴△D'C'B∽△ADB，∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得x1＝ ，x2＝ （不合题意，舍去），∴BC＝ .
[探究2]如图2所示，连结AC'，过点D'作D'M∥AC'交BD于点M. 线段D'M与DM相等吗？请说明理由.
【答案】[探究2]D'M＝DM. 证明：如图2，连结DD'，∵D'M∥AC'，∴∠AD'M＝∠D'AC'，∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，∴△AC'D'≌△DBA（SAS），∴∠D'AC'＝∠ADB，∴∠ADB＝∠AD'M，∵AD'＝AD，∴∠ADD'＝∠AD'D，∴∠MDD'＝∠MD'D，∴D'M＝DM.
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3所示），求证：MN2＝PN×DN.
【答案】[探究3]证明：如图3，连结AM，∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，∴△AD'M≌△ADM（SSS），∴∠MAD'＝∠MAD，∠AD'M＝∠ADM，∵∠AMN＝∠MAD＋∠NDA，∠NAM＝∠MAD'＋∠NAP，且∠AD'M＝∠D'AC'，∴∠AMN＝∠NAM，∴MN＝AN，在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，∴△NPA∽△NAD，∴ ＝ ，∴AN2＝PN·DN，∴MN2＝PN·DN.
方法与对策：本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键.
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第二篇　图形与几何
第七章　图形变换与解直角三角形
第30讲　锐角三角函数
1. 了解锐角三角函数的定义.
2. 熟记特殊三角函数值.
3. 学会在等腰三角形、圆、网格等背景下求锐角三角函数值.
4. 掌握三角形面积公式S＝ ab sin C.
类型一　锐角三角函数的概念
例1　（1）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3 m.若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（　A　）
A
A. 3 sin α m
B. 3 cos α m
C. m
D. m
（2）由完全相同的正六边形拼成如图所示的蜂窝状图案，A，B，C是正六边形的顶点，则tan∠BAC＝ 　 　.
【解后感悟】
锐角三角函数的定义突出在直角三角形背景下的边角关系，若没有直角，则需构造直角.
　
1. 在Rt△ABC中，若2AB＝AC，则 cos C＝ 　 　.
或 　
2. 如图，△ABC的顶点都是边长为1的正方形网格的格点.
（1）直接写出 cos B和tan（∠ACB－90°）的值.
【答案】（1）如图，过点A作AF⊥BC于点F，AE⊥CE于点E. 在Rt△ABF中， cos B＝ ＝ ＝ ；在Rt△ACE中，tan（∠ACB－90°）＝tan∠ACE＝ ＝ .　
（2）求 sin A的值.
【答案】（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵S△ABC＝ CD×AB＝ BC×AF，∴CD×AB＝BC×AF，∴CD×3 ＝2×3，∴CD＝ ，在Rt△ADC中， sin A＝ ＝ ＝ .
类型二　特殊角的三角函数值
例2　（1）求2 cos 30°－tan 45°－ 的值是（　B　）
A. 2 －2 B. 0
C. 2 D. 2
（2）下列运算：① sin 30°＝ ；② ＝2 ；③π0＝π；④2－2＝－4，其中运算结果正确的个数为（　D　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
B
D
【解后感悟】
1. 熟记特殊三角函数值，如 cos 30°，tan 30°等.
2. 函数的增减性（α为锐角）：① sin α，tan α的值都随α的增大而增大；② cos α的值随α的增大而减小.
3. 利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合.
类型三　解直角三角形的几何应用
例3　如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连结AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.
（1）求 sin ∠EAC的值.
【答案】（1）如图，作EM⊥AC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°，在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，∴AE＝ ＝ ，在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，∴EM＝CM＝ ，∴在Rt△AEM中， sin ∠EAM＝ ＝ ＝ ；
另解：用S△EAC＝ ×AE×AC× sin ∠EAC较为简便.
（2）求线段AH的长.
【答案】（2）在△GDC和△EDA中， ∴△GDC≌△EDA，∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝ ，∵∠HEC＝∠DEA，∴∠EHC＝∠EDA＝90°，∴AH⊥GC，∵S△AGC＝ ·AG·DC＝ ·GC·AH，∴ ×4×3＝ × ×AH，∴AH＝ .
【解后感悟】
在本章中，三角形面积公式又有新形式.
三角形面积公式：S△ACB＝ ah＝ ab sin C.
在求 sin ∠EAC的值时，可考虑S△EAC＝ ×AE×AC× sin ∠EAC，从而轻松求解.
本题运用的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用，注意数形结合和转化思想的应用.
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则 cos ∠CEF的值为（　A　）
A. B. C. D.
A
4. 将如图1所示的七巧板，拼成如图2所示的四边形ABCD，连结AC，则tan∠CAB＝ 　 　.
　
【网格中的三角函数】
如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（　B　）
A. 2 B. 2 C. D. 3
B
方法与对策：求一个角的三角函数值，一般有两种解决方向：①根据这个角作垂线使得其在已知边长的直角三角形中；②找到与其相等的其他角，或转移这个角到新的位置.在网格中，第2条尤其重要.
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