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22.2 函数的表示
函数的表示（第1课时）
　　下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？
h/km 0 1 2 3 4 5 …
t/℃ 20 14 8 2 －4 －10 …
　　（1）某地海拔 h（单位：km）与此海拔处气温 t（单位：℃）之间的对应关系如下表，t 的值随 h 的值的变化而变化．
　　海拔 h 是自变量，此海拔处气温 t 是 h 的函数．
　　下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？
　　（2）如图，小球从高为 4 m，坡角为 45°的斜坡坡顶开始滚下，小球离出发点的水平距离为 x m，离水平面的高度为 y m，y 随着 x 的变化而变化．
　　小球离出发点的水平距离 x 是自变量，离水平面的高度 y 是 x 的函数．
4
4
45°
y
x
　　下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？
　　（3）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之改变．
　　正方形的边长 x 是自变量，正方形的面积 S 是 x 的函数．
　　有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映．对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．
　　正方形的面积 S 与边长 x 的函数解析式为 S＝x2．根据问题的实际意义，可知自变量 x 的取值范围是 x＞0．请你利用在坐标系中画图的方法来表示 S 与 x 的关系．
问题
　　思考：（1）怎样获得组成图形的点？
　　先确定点的坐标．　　　
　　取一些自变量的值，计算出相应的函数值．
　　　　 （2）怎样确定满足函数关系的点的坐标？
　　正方形的面积 S 与边长 x 的函数解析式为 S＝x2．根据问题的实际意义，可知自变量 x 的取值范围是 x＞0．请你利用在坐标系中画图的方法来表示 S 与 x 的关系．
问题
　　思考：（3）自变量 x 的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值 S，是否唯一确定了一个点(x，S)呢？
　　是．
探究
　　计算并填写下表：
x 0.5 1 1.5 2
S
x 2.5 3 3.5 4
S
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
16
　　在平面直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点．
S
1
1
2
3
4
O
x
4
9
16
探究
S
1
1
2
3
4
O
x
4
9
16
用空心圈表示不在曲线的点
用平滑曲线连接画出的点
　　表示 x 与 S 的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置．
探究
S
1
1
2
3
4
O
x
4
9
16
　　所得曲线上每一个点都代表 x 的值与 S 的值的一种对应，例如点(2，4) 表示当 x＝2 时，S＝4．
(2，4)
　　右图的曲线即函数 S＝x2（x＞0）的图象．
　　一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
S
1
1
2
3
4
O
x
4
9
16
新知
　　函数图象是一条由点组成的线（直线或曲线），其中所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围，各点的纵坐标分别是自变量取值为对应横坐标时的函数值．
　　通过图象，可以数形结合地研究函数．
新知
　　函数图象直观地反映了变量之间的对应关系和变化规律，怎样画一个函数的图象呢？
问题
　　在式子 y＝x＋0.5 中，对于 x 每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即 y 是 x 的函数，请画出这个函数的图象．
　　解：从式子 y＝x＋0.5 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数．
探究
　　从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … …
－2.5
－1.5
－0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
　　如图，根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －2.5 －1.5 －0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …
2
－2
2
－2
O
x
y
y＝x＋0.5
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －2.5 －1.5 －0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …
　　从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当 x 由小变大时，y＝x＋0.5 随之增大．
2
－2
2
－2
O
x
y
y＝x＋0.5
　　思考：当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？
　　描点法画函数图象的一般步骤如下：
　　第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
　　第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
　　第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
归纳
练习
　　画出函数 y＝ (x＞0)的图象．
　　解：①列表．
x … 0.5 1 1.5 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 2 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
　　②描点．
　　③连线（如图）．
x … 0.5 1 1.5 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 2 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
O
4
2
6
8
10
12
2
1
3
6
5
4
x
y
O
4
2
6
8
10
12
2
1
3
6
5
4
x
y
　　思考：当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？
　　从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当 x 由小变大时，y＝ (x＞0)随之减小．
　　y＝ (x＞0)
归纳
画函数的图象需要注意以下四点：
　　（1）自变量的取值不宜过大或过小，尽可能取整数．
　　（2）列表中的自变量的值、函数值分别对应着该点的横、纵坐 标，防止出现横、纵坐标颠倒的错误．
　　（3）连线时，要用平滑的线按照横坐标从小到大（或从大到小）进行．
　　（4）图象有端点时，要注意端点值是否能取到，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈．
　　我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？
思考
　　函数的图象与函数的关系：
　　（1）图象上每一个点的横坐标和纵坐标一定是这个函数的自变量 x 和函数 y 的一组对应值．
　　（2）以自变量 x 的一个值和函数 y 的对应值为坐标的点必定在这个函数的图象上．
　　解：（1）①∵当x＝－5 时，y＝－5＋0.5＝－4.5，
　　∴(－5，－4.5)在函数 y＝x＋0.5 的图象上．
　　②∵当x＝4 时，y＝4＋0.5＝4.5≠－3.5，
　　∴(4，－3.5)不在函数 y＝x＋0.5 的图象上．
问题
　　（1）判断下列各点是否在函数 y＝x＋0.5 的图象上？
　　 ①(－5，－4.5)； ②(4，－3.5)．
　　（2）判断下列各点是否在函数 y＝ (x＞0)的图象上？
　　 ①(0.5，12)； ②(12，2)．
问题
　　解：（2）①∵当x＝0.5 时，y＝ ＝12，
　　∴(0.5，12)在函数 y＝ 的图象上．
　　②∵当x＝12 时，y＝ ＝0.5≠2，
　　∴(12，2)不在函数 y＝ 的图象上．
归纳
代入法验证点是否在函数图象上
　　欲判断点 P(x，y)是否在函数的图象上，只需把 x，y 的值代入函数的解析式，如果左、右两边相等，那么这个点就在函数的图象上，否则，就不在函数的图象上．
思考
2
－2
2
－2
O
x
y
　　是否可以通过观察图象，进行判断呢？
　　观察图象，发现：点(－5，－4.5)在函数
y＝x＋0.5 的图象上； 点(4，－3.5)不在函数
y＝x＋0.5 的图象上．
(4，－3.5)
(－5，－4.5)
　　判断下列各点是否在函数 y＝x＋0.5 的图象上？
　　①(－5，－4.5)； ②(4，－3.5)．
y＝x＋0.5
　　例　已知函数 y＝x2－1的图象如图所示．
　　（1）判断点 A(2.5，－4)，B(－1.6，1.56) 是否在函数 y＝x2－1 的图象上；
　　（2）从函数的图象中观察，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，还是 y 随 x 的增大而减小？当 x＞0 时呢？
　　解：（1）∵当x＝2.5 时，y＝2.52－1＝5.25≠－4，
　　 ∴点 A(2.5，－4)不在函数 y＝x2－1 的图象上．
　　∵当x＝－1.6 时，y＝(－1.6)2－1＝1.56，
　　 ∴点 B(－1.6，1.56)在函数 y＝x2－1 的图象上．
　　（2）观察函数的图象，发现：当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大．
描点法画函数图象
判断一个点是否在函数图象上
一般步骤
列表
描点
连线
函数的表示（第2课时）
　　什么是函数的图象？
　　一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
问题
　　如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？
　　由图可以看出，气温 T 随时间 t 的变化而变化，对于时间 t 的每一个确定的值，气温 T 都有唯一确定的值与其对应．因此，气温 T 是时间 t 的函数，上图是这个函数的图象．
由图象可知：
（1）这一天中凌晨 4 时气温最低（－3 ℃），14 时气温最（8℃）．
由图象可知：
（2）从 0 时至 4 时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从 4 时到 14 时气温呈上升状态，从 14 时至 24 时气温又呈下降状态．
由图象可知：
（3）还可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少．
　　例　如图 1 所示，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上．李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．图 2 反映了这个过程中，李明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系．
图 1
图2
　　根据图象回答下列问题：
　　（1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多少时间？
　　（2）李明吃早餐用了多少时间？
　　（3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多少时间？
　　（4）李明查资料用了多长时间？
　　（5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？
图2
　　分析：李明离家的距离 y 是时间 x 的函数．由图象中有两段平行于 x 轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里．
图2
　　解：（1）由纵坐标看出，食堂离小明家 0.6 km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了 8 min．
　　（2）由横坐标看出，25－8＝17，李明吃早餐用了 17 min．
图2
　　解：（3）由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆 0.2 km；由横坐标看出，28－25＝3，李明从食堂到图书馆用了 3 min．
　　（4）由横坐标看出，58－28＝30，李明查资料用了 30 min．
图2
　　解：（5）由纵坐标看出，图书馆离李明家 0.8 km；由横坐标看出，68－58＝10，李明从图书馆回家用了 10 min．由此算出李明从图书馆回家的平均速度是 0.08 km/min．
图2
获取函数图象信息的“三个技巧”
　　（1）弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么及图象上最高点、最低点、转折点的意义．
　　（2）从左向右上升的线表示函数值随自变量的增大而增大，从左向右下降的线表示函数值随自变量的增大而减小，水平线表示函 数值不随自变量的变化而变化．
　　（3）直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢．
归纳
函数的图象
解读函数图象信息
函数的图象的定义
函数的表示（第3课时）
x
　　如图，要做一个面积为 12 m2 的小矩形花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
　　（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
　　（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
　　（3）当 x 的值分别为 1，2，4，6，8，10，12 时，请列表表示变量之间的对应关系；
　　 （4）能画出函数的图象吗？
　　如图，要做一个面积为 12 m2 的小矩形花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
　　（1）变量 y 是变量 x 的函数吗？如果是，写出自变量的取值范围；
　　y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是 x＞0．
x
　　如图，要做一个面积为 12 m2 的小矩形花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
　　（2）能求出这个问题的函数解析式吗？
　　由题意，得该花坛的另一边长为 m ．
　　这个问题的函数解析式是 y＝2 ．
x
　　如图，要做一个面积为 12 m2 的小矩形花坛，该花坛的一边长为 x m，周长为 y m．
　　（3）当 x 的值分别为 1，2，4，6，8，10，12 时，请列表表示变量之间的对应关系；
x/m 1 2 4 6 8 10 12
y/m 26 16 14 16 19 22.4 26
x
　　（4）能画出函数的图象吗？
O
y/m
x/m
14
10
18
26
22
4
8
12
16
　　描点，连线．
　　函数的图象如图所示．
　　由上可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数，这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法．
新知
　　注意：并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来．例如，气温与时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而不能用解析法表示．
　　从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优点和缺点？
问题
表示方法 解析法 列表法 图象法
优点
简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系
一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值
能直观形象地表示函数关系
表示方法 解析法 列表法 图象法
缺点
求出对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来
自变量的值不能一一列出，也不容易看出自变量与函数之间的对应关系
观察图象只能得到近似的数值
　　（1）对于每一个大于 0 的自变量的值，想准确确定对应的函数值，用什么表示方法较好？
　　（2）对于 x 的值分别为 1，2，4，6，8，10，12 时，想知道对应的函数值，用什么表示方法较好？
思考
　　表格法．
　　解析法．
　　（3）想知道当 x 的值增大时，函数值 y 怎样变化，用什么表示方法较好？
思考
　　图象法．
归纳
函数三种表示方法的选用技巧
　　（1）列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法．
　　（2）图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法．
　　（3）解析法：需要明显表现自变量与函数的对应规律时选用解析法．
　　例　一个水库的水位在最近 5 h 内持续上涨，下表记录了这 5 h 内 6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
　　
　　（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？水位变化有什么规律吗？
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
　　解：（1）如图，描出表中数据对应的点．可以看出，这 6 个点在一条直线上，再结合表中数据，可以发现每小时水位上升 0.3 m．由此猜想，如果画出这 5 h 内其他时刻（如 t＝2.5 h 等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．
　　例　一水库的水位在最近 5 h 内持续上涨，下表记录了这 5 h 内 6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
　　
　　（2）水位高度 y 是不是时间 t 的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
　　解：（2）由于水位在最近 5 h 内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数．开始时水位高度为 3 m，以后每小时水位上升 0.3 m．
　　函数 y＝0.3t＋3（0≤t≤5）是符合表中数据的一个函数，它表示经过 t h 水位高度 y为（0.3t＋3）m．其图象是图中点 A(0，3)和点 B(5，4.5)之间的线段 AB．
　　如果在这 5 h 内，水位一直匀速上升，即上升速度为 0.3 m/h，那么函数 y＝0.3t＋3（0≤t≤5）就精确地表示了这种变化规律，即使在这 5 h 内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升 0.3 m 是
确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律．
　　例　一水库的水位在最近 5 h 内持续上涨，下表记录了这 5 h 内 6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
　　
　　（3）如果这种上涨规律还会持续 2 h，那么 2 h 后水位高度将为多少米？
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
　　解：（3）如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过 2 h，即 t＝5＋2＝7（h）时，水位高度 y＝0.3×7＋3＝5.1（m）．
　　如图，把图中的函数图象（线段 AB）向右延伸到 t＝7 所对应的位置，从图象也能看出这时的水位高度约为 5.1 m．
　　表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法．由例题可以看出，函数的不同表示方法之间可以转化．
归纳
函数的表示方法
用适当的方法表示函数
函数的三种表示方法
解析法
列表法
图象法

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