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章末复习
第二十二章 函数 章末复习
　　客观世界中存在着大量的运动变化现象，本章结合一些实际问题，分析了一个运动变化过程中两个变量之间的一种对应关系，即每当其中某个变量取一个确定的值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应，由此初步认识了函数及其表示法．
两个变量之间的函数关系可以用解析式表示，也可以用表格或图象表示，这三种函数的表示方法各有优点．例如，解析法比较精确，列表法比较直接，而图象法比较直观等．在研究函数的过程中，有时为了更好地分析函数关系，会同时使用两种甚至三种表示方法，其中结合使用解析法和图象法研究函数的方法体现了数形结合的思想．
　在利用函数解决问题时，关键在于分析问题中变量之间的对应关系，并选择适当的方法表示这种关系，从而将实际问题转化为函数问题．这一过程有助于提升我们的抽象能力，增强模型观念．
　　请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
　　1．举例说明什么是常量和变量．
　　2．举例说明两个变量 x 和 y 满足什么条件时，y 是 x 的函数．
　3．函数有哪些表示法？它们各有什么优点？请举例说明．
　　4．举例说明如何利用函数解决实际问题．
考点一　识别常量与变量
例1　指出下列问题中的常量与变量．
（1）某餐饮店的盒饭每盒 8 元，买 n 盒需要付 S 元．
（2）某市的自来水价为 4 元/t，某户用水量 x 和应缴水费 y．
解：（1）常量是 8，变量是 n，S．
（2）常量是自来水价 4 元/t，变量是用水量 x 和应缴水费 y．
　　常量是“已知数”，是指在整个变化过程中保持不变的量；判断一个量是不是变量，关键是看在这个变化过程中其数值是否发生变化．
考点一　识别常量与变量
　　1．李师傅到单位附近加油站加油，所用的加油机上的数据显示盘如图所示，则其中的常量是（ ）
　　
　　
　　解析：常量是数值始终不变的量，变量是数值变化的量，单价是不变的量，而金额是随着油量的变化而变化的量．故选 C．
考点一　识别常量与变量
C
A.金额 B.油量 C.单价 D.金额和油量
考点二　函数的概念与函数自变量的取值范围
　　例2　学校为创建多媒体教学中心，准备了资金 150 万元．已知每台电脑价格为 5 000 元，求表示所剩资金 y（单位：万元）与购进电脑数量 x（单位：台）之间的函数关系的式子，并求出自变量的取值范围．
　　解：根据相等关系“所剩资金＝准备资金－每台电脑价格×购进电脑数量”，可得 y＝150－0.5x．若此式符合题意，则 x 是不小于0的整数，且 y ≥0， 即
解得0≤ x ≤300，且 x 为整数．
所以自变量的取值范围是0≤ x ≤300，且 x 为整数．
考点二　函数的概念与函数自变量的取值范围
，且 x≠2
　　例3　函数 中自变量 x 的取值范围是
________________．
　　解析：要使函数解析式 有意义，
　　x 必须满足
　　解得 ，且 x≠2．
　　根据题干中的等量关系列出函数关系式，再根据函数的概念，能使函数成立的自变量的值，是自变量的取值范围．求函数中自变量的取值范围一般分为两大类：一是函数解析式，二是实际问题．在函数解析式中又分为四种类型：整式、分式、零指数幂和带根号的式子．特别注意，在实际问题中要考虑实际问题的前提条件．
考点二　函数的概念与函数自变量的取值范围
　　2．要用 20 m 长的绳子围成矩形，矩形的面积 S（单位：m2）与矩形的一边长 x（单位：m）之间的函数解析式为_____________________．
　　矩形的面积 S 与矩形的一边长 x 之间的函数解析式为
．
　　由 得 x 的取值范围为 ．
　　解析：由题意知，矩形的一边长为 x，
　　则它的邻边长为 ．
考点二　函数的概念与函数自变量的取值范围
考点三　描点法画函数的图象
　　例4　画出函数 y＝x+0.5 的图象，并判断点（1，1），（﹣1，﹣0.5），（﹣2，﹣1）是否在函数 y＝x+0.5 的图象上．
　　解：列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣2.5 ﹣1.5 ﹣0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …
考点三　描点法画函数的图象
　　．
　　解：根据表中数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，如图．
当 x＝1时，y＝1.5 ≠1；当 x＝﹣1时，y＝﹣0.5；当 x＝﹣2时，y＝﹣1.5≠﹣1．所以点（﹣1，
﹣0.5）在函数 y＝x2－1的图象上，点（1，1），（﹣2，﹣1）不在函数 y＝x+0.5 的图象上．
　　画函数图象的一般方法是列表、描点、连线，并且为了更好地画出函数的图象，列表时尽量选择整数；判断点是不是在函数的图象上时，把点的横坐标代入函数解析式，看所得的函数值与纵坐标是否相等，若相等，则该点在函数的图象上；若不相等，则不在函数的图象上．
考点三　描点法画函数的图象
考点三　描点法画函数的图象
　　3．画出函数 y＝﹣2x＋1的图象，并判断点（﹣1，3），（1，0），（﹣2，5）是否在函数 y＝﹣2x＋1的图象上．
　　解：列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 7 5 3 1 ﹣1 ﹣3 ﹣5 …
考点三　描点法画函数的图象
　　．
　　解：根据表中数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，如图．
当 x＝﹣1时，y＝3；当 x＝1时，y＝﹣1≠0；当x＝﹣2时，y＝5．所以点（﹣1，3），（﹣2，5）在函数 y＝﹣2x＋1的图象上，点（1，0）不在函数 y＝﹣2x＋1的图象上．
考点四　从函数图象中获取信息
　　例5　某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量 y（单位：L）与时间 x（单位：min）之间的函数关系对应的图象大致为（　　）．
　　 A B C D
　　D
　　解析：在注水、清洗、排水三个连续过程中，注水时水量是从 0 开始逐渐增多的，清洗时水量保持不变，排水时水量逐渐减少，所以只有选项 D 中的图象符合要求．
图象信息题的解答方法
　　（1）理解题意，注意问题中变量之间的数量关系；
　　（2）观察图象，特别是图象中的交点、拐点以及两坐标轴表示的意义等；
　　（3）对这些信息进行处理，解决问题．
考点四　从函数图象中获取信息
　　4．如图，一个函数的图象由射线 BA、线段 BC、射线 CD 组成，其中点 A(－1，2)，B(1，3)，C(2，1)，D(6，5)，则此函数
（　　）．
　　A．当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大
　　B．当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小
　　C．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大
　　D．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
A
　　解析：由函数图象可得，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大，故 A 选项正确，B 选项错误；当1＜x＜2时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，故 C，D 选项错误．故选 A．
考点四　从函数图象中获取信息
考点五　函数的应用
　　例6　某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费，而乙种方式不需要．两种收费方式的费用 y（单位：元）与印刷数量 x（单位：份）之间的关系如下图所示．
　　（1）甲种收费方式的函数解析式为____________，乙种收费方式的函数解析式__________．
y＝0.1x＋6
y＝0.12x
　　（2）该校某年级需印刷100～450（含 100 和 450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
　　解：由 0.1x＋6＞0.12x，得 x＜300；
　　由 0.1x＋6＝0.12x，得 x＝300；
　　由 0.1x＋6＜0.12x，得 x＞300．
　　由此可知，当 100≤x＜300 时，选择乙种收费方式较合算；
　　当 x＝300 时，选择甲、乙两种收费方式都可以；
　　当 300＜x≤450 时，选择甲种收费方式较合算．
考点五　函数的应用
　　（1）在实际问题中求函数解析式时，可根据两个变量之间的数量关系获得．
　　（2）在一些实际问题中，自变量的取值范围是受某些条件限制的，根据求出的自变量的取值范围来选择方案．
考点五　函数的应用
　　6．用 A4 纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费 0.1 元；在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20 时，每页收费 0.12 元；一次复印页数超过 20 时，超过部分每页收费 0.09 元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为 x（x 为非负整数）．
　　（1）根据题意，填写下表：
　　解：填写表格如上．
一次复印页数 5 10 20 30 …
甲复印店收费/元 0.5 2 …
乙复印店收费/元 0.6 2.4 …
1 3
1.2 3.3
考点五　函数的应用
　　（2）设在甲复印店复印收费 y1 元，在乙复印店复印收费 y2 元，分别写出 y1，y2 关于 x 的函数解析式；
　　解：y1＝0.1x(x≥0)．
　　当 0≤x≤20 时，y2＝0.12x；
　　当 x＞20 时，y2＝0.12×20＋0.09(x－20)，
　　即 y2＝0.09x＋0.6．
考点五　函数的应用
　　（3）当 x＞70 时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
　　解：顾客在乙复印店复印花费少．理由如下：
　　当 x＞70 时，y1＝0.1x，y2＝0.09x＋0.6．
　　所以 y1－y2＝0.1x－(0.09x＋0.6)＝0.01x－0.6．
　　记 y＝0.01x－0.6，
　　因为 0.01＞0，所以 y 随 x 的增大而增大．
　　又因为当 x＝70 时，y＝0.1，所以当 x＞70 时，y＞0.1＞0，
　　所以 y1＞y2．
　　所以当 x＞70 时，顾客在乙复印店复印花费少．
考点五　函数的应用
　　
1.解析法；
2.列表法；
3.图象法．
考点六　函数的表示
对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系．有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法．
函数的三种表示方法：
函数的概念
常量与变量
函数的表示
函数的应用
解析法
列表法
图象法

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